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Full text of "ELEMENTE DER PROJECTIVISCHEN GEOMETRIE"

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ELEMENTE DER 



PROJECTIVISCHEN 



GEOMETRIE 






DIRECTOR DER INGENIEURSCHULE IN ROM. 



ÜXTER MITWIRKUNa DES VERFASSERS ÜBERTRAGES VON 

Fr. R. TEAUTVITTIS, 

LEHRER DER MATHEIMATIK IN WINTERTHUR. 



Mit 214: Figuren im Text. 



1 



STUTTGART. 
Verlag der J. G. GOTTA'schen Buchhandlung. 

1882. 



Druck von Gebrüder Kröner in Stuttgart. 



Vorwort des Verfassers. 



AmpUssiraa et pulcherrima scieiitia figu- 
rarum. At quam est inepte sortita nomen 
Geometriajl 

Nicod. Frisch lin US, in Bialogo primo. 

Perspectivae methodus, quS nec inter in- 
ventas nec inter inventu possibiles uUa com- 
pendiosior esse YidetLir . , . 

B. Pascal in Lit. ad Äcad. Paris, 1654. 

Da veniam scriptis, quorum non gloria nobis 
Causa, sed utilitas officiumque fuit. 

0 V i d i u s , in Fastis III , 9. 



Dieses Buch ist nicht für Diejenigen bestimmt, welche 
den hohen Beruf haben, die Wissenschaft zu fördern; sie 
würden darin weder neue Theorien noch neue Methoden finden. 
Alle Lehrsätze sind alt, mehrere gehen auf die Geometer des 
entferntesten Alterthums zurück. Man findet Spuren davon 
in Euclid (285 v. Gh.), in Apollonius Yon Perga (247 
V. Gh.), in Papp US von Alexandrien (4 Jahrhunderte 
n. Gh.), in Desargues von Lyon (1593 — 1662), in Pascal 
(1623—1662), in de la Hire (1640—1718), in Newton 
(1642—1727), in Maclaurin (1698—1746), in J. H. Lam- 
bert (1728 — 1777), u, s. w. Gewöhnlich nennt man die Theo- 
rien und Methoden, welche aus diesen Sätzen ein homogenes 
und harmonisches Ganzes herstellen, neuere Geometrie, 
weil sie von solchen Geometern ausgebildet und vervollkommnet 
wurden, die uns weniger ferne stehen, wie Carnot, Brian- 



IV 



Vorwort des Verfassers. 



choii, Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles, Staudt,.,, 
deren Werke in der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts ver- 
öffentlicht worden sind. 

Der einzige Zweck meiner Arbeit ist, die Kenntniss dieser 
so schönen und so nützlichen Theorien in den italienischen 
Schulen zu verbreiten. 

Man darf jedoch nicht glauben, dass in Italien nicht schon 
iobenswerthe Anstrengungen gemacht worden seien, sich mit den 
neuesten Forschungen der Geometrie auf dem Laufenden zu er- 
halten. G. Bellavitis war der Erste, wenn ich mich nicht 
irre, welcher der stuclirenden Jugend, mit seinem Saggio di 
geometria derivata '''), den Weg dazu gebahnt hat; viele 
andere Schriften liess er nachfolgen; in Neapel hat N. 
Trudi die Fragen eines berühmten Programmes gelöst, 
welchem der Zweck zu Grunde lag, den Methoden der geo- 
metrischen Erfindung iVufschwung zu geben und sie zu ver- 
gleichen. Im Jahre 1854 führte die Universität von Pavia einen 
Ours über höhere Geometrie ein und als Italien seine poli- 
tische Unabhängigkeit wieder gewonnen hatte '^'^), wurde auf 
den Vorschlag des Professors Brioschi an allen unseren 
grossen Universitäten ein Lehrstuhl für jene Wissenschaft er- 
richtet. Der Verfasser hat dieselbe sechs Jahre lang in Bo- 
logna unterrichtet (1861 — 1866) und deren Methoden auf die 
darstellende Geometrie angewandt '^^); später (1867) an die 



■"■) Nuovi Sagg-i dell' Accademia di Padova, vol. 40, (1838), 
S. 243-288. 

'""1) Produzioni relative al programma di tre qiiistione geometriclie, 
proposto dal prof. V. Flaiiti nell' aprile 1839 (Napoli, 1840—1841). 

Ich citire Bellavitis und Trudi beispielsweise, ohne damit sagen 
zu wollen, dass nicht noch andere italienische Geometer sich bis zum 
heutigen Tage mit projectivischer Geometrie beschäftigt haben. Ich bitte, 
mich zum voraus zu entschuldigen für die Namen, die ich nicht ange- 
führt habe; der Leser sei hiemit versichert, dass es unabsichtlich ge- 
schieht; ich habe mir übrigens auch nicht die Aufgabe gestellt, ein hi- 
storisches Resume über die Fortschritte der AVissenschaft aufzustellen. 

""■'^) In Neapel war dieser Lehrstuhl durch J. Battaglini besetzt, 
dessen Wissenschaftlichkeit und dessen Arbeiten allgemein bekannt sind. 

■■-■3) Diese Bahn war schon von Anderen eingeschlagen. Siehe Bei- 



Vorwort des Verfassers 



V 



technische Hochschule in Mailand versetzt und durch den 
Director, Herrn Brioschi, veranlasst, einen Ours über gra- 
phische Statik abzuhalten, fand er es nöthig, als unentbehr- 
liche Vorbereitung darauf, eine ganze Reihe von Vorlesungen 
der Geometrie der Lage oder der proj ectivischen Geo- 
metrie zu widmen*). So ist jedes Jahr eine grosse Zahl 
junger Leute mit den neueren Methoden vertraut gemacht wor- 
den und haben sie gelernt, dieselben auf die verschiedenen 
Theile des technischen Zeichnens anzuwenden. 

Das Alles genügte nicht; trotz der endlosen Fruchtbarkeit 
dieser Methoden sind sie so einfach, dass kein Theil der Mathe- 
matik so leicht und mit so geringen Vorkenntnissen gelernt 
werden kann. Um sich davon zu überzeugen, hat man nur zu 
beachten, dass Staudt seine „Geometrie der Lage" (1847) 
schreiben konnte, ohne sich auf einen Begriff der Eiementar- 
geometrie zu stützen. Wenn aber dieses vorzügliche Buch 
keine grössere Anerkennung erhielt, so geschah es, weil es 
gar keine Figuren mit sich führt und in einem besonders 
trockenen und gedrcängten Styl geschrieben ist. Andere von 
demselben Gedanken geleitete Schriftsteller '^^) haben nach den 
Fundamentalbegriffen des Raumes, der Fläche, der Linie, des 
Punktes, der Geraden und der Ebene sogleich diejenigen der 
Colli neation und der R e c i p r o c i t ä t aufgestellt. Mit dies em 
Gedanken wird vielleicht bald auch die Frage über den ersten 
Unterricht in der Geometrie gelöst; so dass wir dann, wenn 
ich mich nicht täusche, eine Methode haben werden, die 
würdig sein wird, die alte von Euclid zu verdrängen. 



lavitis, Lezioni di geometria descrittiva (Padova 1851). Bas vorzüg- 
liche Werk von Prof. Fiedler, die Darstellende Geometrie (Lei^Dzig, 1871), 
ist nacli denselben Gedanken abgefasst. E. Padova und A. Sayno 
haben eine italienische Uebersetzung dieses Werkes für den Gebrauch an 
polytechnischen Schulen veröffentlicht. 

■"■) In Zürich hielt Professor Reye einen Ours über „Geometrie der 
Lage", um die Studirenden auf den Unterricht von Professor Culmann, 
den Schöpfer der graphischen Statik, vorzubereiten. 

""!) Z. B. E. Müller, Elemente der Geometrie, streng systematisch 
dargestellt (Braunschweig, 1869). 



VI 



Vorwort des Verfassers. 



Diese Einfaclilieit der Lehren, welche die projectivische 
Geometrie ausmachen, diese Fasslichkeit, welche sie fähig 
macht, in die Elemente der Wissenschaft einzudringen, ist 
in solchem Grade anerkannt, dass in allen Ländern namhafte 
Männer aufgestanden sind , um deren Aufnahme in den Rah- 
men der Schulpensen zu verlangen. In dem gelehrten 
und thätigen Deutschland ins Besondere werden immer neue 
Bücher veröffentlicht, welche die projectivische Geometrie 
hald allein, bald mit der gewöhnlichen Geometrie, in immer 
einfacherem Kleide und auch dem weniger Begabten zugäng- 
lich machen. Diese für Gymnasien und Realschulen bestimm- 
ten Bücher zeigen, dass die Neuere Geometrie jeden Tag 
mehr in den Unterricht der Mittelschulen eindringt. Werke 
derselben Art, aber mit unbestimmterem Zwecke, werden 
auch in England und Frankreich publicirt. 

Dieses Lehrgebäude, dessen Anfangsgründe wir ausein- 
ander setzen wollen, hat verschiedene Namen erhalten. Ich 
will es nicht „Höhere Geometrie" heissen, denn das, was 
einst „höher" hiess, ist heute höchst elementar, und auch 
nicht „Neuere Geometrie", welcher Name nur einen rela- 
tiven Begriff ausdrückt; wenn übrigens auch die Methoden 

als moderne angesehen werden können , so ist doch der Stoff 
grösstentheils ein alter. Der Titel „Geometrie der Lage", 
im Sinne Staudt's'O, scheint mir ebensowenig der richtige zu 
sein, w^eil er die Betrachtung der metrischen Eigenschaften 
der Figuren ausschliesst. Ich habe den Titel „Projectivische 



") Gleichbedeutend mit demjenigen von Descriptive Geometry von 
Cayley (Sixtli Memoir upon quantics in den Philosophical Transactions 
of the Royal Society of London, 1859, S. 90). „Geometrie de position" 
in dem Sinne von Carnot entspiriclit einer Auffassung-, die ganz von der- 
jenigen verschieden ist, welche ich mit dem Titel meines Buches aus- 
drücken wollte. Ich berühre nur andere Namen, wie „Geometrie se- 
gmentaire" und „Organische Geometrie", welche nach meiner Ansicht allzu 
speciellen Begriffen entsprechen. Dagegen umfasst die Benennung „Geo- 
metria derivata" von Bellavitis ein grösseres Feld als die meinige. 



Vorwort des Verfassers. 



Vir 



Geometrie" gewählt '0, welcher die wahre Natur der Methoden 
ausdrückt, die w^esentlich auf der centralen oder perspectivi- 
schen Projection beruhen. Ich bin in meiner Wahl dadurch 
bestärkt w- erden, dass der grosse Poncelet, der Haupt- 
schöpfer der neueren Methoden, sein unsterbliches Buch mit 
„Traite des proprietes projectives des flgures" (1822) be- 
titelt hat. 

Die Nomenclatur, die ich im Texte angewandt habe, ist 
dieselbe, w^elche ich seit vielen Jahren in meinen Schriften 
und öffentlichen Vorlesungen gebrauche. Es ist nicht die- 
jenige einer besonderen Schule; der eine Ausdruck rührt von 
Steiner, der andere von Pon cel et oderChasles; ich habe 
mich bemüht, diejenigen zu wählen, w^elche den Begriffen 
selbst am besten entsprechen und welche sieh am leichtesten 
in unsere Sprache übertragen Hessen; ich habe im Uebrigen 
Benennungen gewissenhaft respectirt, die von den Schrift- 
stellern allgemein gebraucht werden. 

In der Entwicklung der Materie habe ich mich nicht 
darauf beschränkt, dem einen oder andern Verfasser aus- 
schliesslich zu folgen, vielmehr entlehnte ich Allen gerade so 
viel, als mir zu meinem Zwecke dienlich schien, welcher der 
ist, ein durchaus elementares und technisches Buch zu schrei- 
ben, das auch denjenigen zugänglich ist, die keine anderen 
mathematischen Vorkenntnisse besitzen als die ersten Elemente 
der gewöhnlichen Geometrie. Ich hätte, wie Staudt, alle 
Vorbegriffe übergehen können; in diesem Falle wäre aber 
meine Arbeit zu breit gew^orden, um sie Schülern technischer 
Anstalten zu widmen , die doch in den vorhergehenden Cursen 
die gewöhnlichen Elemente der Mathematik verarbeitet haben. 
Man bedarf nicht der ganzen traditionellen Geometrie, um 
dieses Buch verstehen zu können: es genügt, die Fundamen- 
tal- Sätze über den Kreis und die Aehnlichkeit der Dreiecke 
zu kennen. 



•''} Siehe Klein, üeber die sogenannte Mcht-Exiclidische Geonaetrie 
(Göttinger Nachrichten, 30. August 1871). 



vin 



Yorwort des Verfassers, 



Ich habe gesagt, das Buch soll einen technischen Cha- 
rakter haben, es soll die Schüler rasch dazu befähigen, die 
theoretischen Kenntnisse auf die Zeichnung anzuwenden. Aus 
diesem Grunde habe ich den graphischen Eigenschaften 
vor den metrischen den Vorzug gegeben; ich habe mich 
darum mehr an die Methode der Geometrie der Lage von 
Staudt als an diejenige der Geometrie superieure von 
Chasles angelehnt '^); ich wollte indessen die metrischen 
Eigenschaften nicht ganz unberührt lassen, weil ein solcher 
Vorgang andere praktische Zwecke des Unterrichtes ge- 
schädigt hätte '■^^). Ich habe also den wichtigen Begriff des 
Doppel - Verhältniss es in mein Buch eingeführt, wo- 
durch es mir möglich geworden, gestützt auf die oben ange- 
führten wenigen Sätze der gewöhnlichen Geometrie, die nütz- 
lichsten metrischen Eigenschaften, die den projectivischen 
Figuren angehören oder innig mit ihnen verknüpft sind, zu 
behandeln. 

Ich habe mich der Centralproj ection bedient, um den 
Begriff der unendlich fernen Elemente aufzustellen und, 
dem Beispiele Steiner's und Staudt's folgend, das Gesetz 
der Dualität an den Anfang des Buches gestellt, weil es 
eine logische Thatsache ist, die sich unmittelbar und selb- 
ständig aus der Möglichkeit ergibt, mit dem Punkt oder der 
Ebene als Element den Raum zu construiren. Die Sätze und 
Beweise, die sich vermöge dieses Gesetzes paarweise ent- 
sprechen, habe ich oft in Doppelcolonnen gebracht; bisweilen 
aber habe ich auch diese Anordnung verlassen, um den Schü- 
lern Gelegenheit zu geben, sich in der Ableitung correlativer 
Sätze zu üben. Professor Reye bemerkt mit Recht in der 
Vorrede seines Buches, „es bietet die Geometrie Nichts, was 
„für den Anfänger so anregend wäre, ihn so zum Selbst- 



") Vgl. Reye, Geometrie der Lage (Hannover, 1866), S. XI der 
Vorrede. Von diesem vortrefflichen Werke erscMen die zweite Auflage 
(1877—1880). 

'"■!) Vgl. Zecli, die höhere Geometrie in ihrer Anwendimg auf Kegel- 
schnitte und Flächen zweiter Ordnung (Stuttgart, 1857), Vorwort. 



Vorwort des Verfassers. 



IX 



„schaffen anspornte, wie das Gesetz der Reciprocität; und je 
„früher er damit bekannt gemacht wird, desto besser," 

Die Anordnung des Stoffes, die ich vorgezogen habe, ist 
eine Yon den zaWreichen für den Schulgebrauch erdachten; 
doch hoffe ich auch für Diejenigen geschrieben zu haben, die 
es vorziehen, einen anderen Lehrgang einzusclilagen. Ich 
werde einige Beispiele geben. Schon von Anfang an wechsle 
ich zwischen den Lehrsätzen der ebenen Geometrie und der 
Raumgeometrie ab, weil mich die Erfahrung gelehrt hat, und 
Andere haben vor mir das gleiche bemerkt, dass die Betrach- 
tungen im Eaume sehr oft das Mittel an die Hand geben, 
solche Partien leicht und anschaulich zu machen, die mit 
blosser Hülfe der ebenen Geometrie complicirt und scliAvierig 
darzulegen sind; zudem üben sie den Geist und fördern die 
Entwicklung der geometrischen Vorstellungskraft, die für den 
Techniker von so hoher Bedeutung ist, indem er sich die 
Figuren im Räume ohne Zeichnung und ohne Modell vorzu- 
stellen hat; der Lehrer kann es auch für passend erachten, 
sich wenigstens in den Anfängen, in der ebenen Geometrie 
allein zu bewegen: er wird in diesem Falle ohne irgend welche 
Nachtheile einige Nummern des Buches ''^) übergehen können 
und sie später vortragen. Ich definire die Kegelschnitte als 
Projectionen des Kreises und übertrage, nachdem ich für diese 
Ciirve zwei Fundamentalsätze bewiesen habe, diese Sätze 
auf die Kegelschnitte; dann entwickle ich an diesen die ganze 
Theorie der ein- und umschriebenen Polygone, diejenige der 
Pole und Polaren, ohne mich weiter mit dem speciellen Fall 
des Kreises zu beschäftigen. Man könnte auch aus diesen 
beiden Hauptsätzen für den Kreis die Lehrsätze des Pascal, 
des Brian chon und des Desargues, sowie die Theorie der 
Pole ableiten und nachher das Ganze mit Hülfe der Projection 
oder der Collineation auf die Kegelschnitte anwenden. Es 
ist kaum nothwendig, sich weiter über diesen Gegenstand 
zu verbreiten. Ist einmal der Stoff vollkommen beherrscht. 



") Nr. 19, 20, 28, 29, 31, 32, 41, 42. 
V) Nr, 108, 110. 



X 



Vorwort des Verfassers, 



SO wird jeder Lehrer selbst sehen, welche Vertheiliing ihm 
am besten zusagt; er wird auch von Jahr zu Jahr, je nach 
den Resultaten seiner eigenen Erfahrung, mehr das Wesent- 
liche von dem Unwesentlichen trennen. 

In einem Unterrichtscursus sind nicht alle Nummern 
meines Buches gleich wichtig und nothwendig. Der w^eise 
Lehrer wird leicht inne werden, dass die Zahl der Funda- 
mentalsätze eine sehr geringe ist und dass diese allein dem 
Gedächtniss einzuprägen sind; alles Andere sind Folgerungen, 
besondere Fälle und Uebungen. Von diesen Letzteren hat 
man eine grosse Auswahl; die einen können in der Schule 
behandelt werden, die andern zu Hause; es wird nothwendig 
sein, und das ist hier das Wichtigste, dass die Schüler täg- 
lich selbst Ableitungen und Lösungen finden, dass sie sich 
nicht auf die passive Rolle, die von dem Lehrer vorgetragenen 
Dinge anzuhören und zu wiederholen, beschränken, sondern 
dass sie zur Erörterung neuer Dinge selbst thätig zu sein, 
angespornt werden. In dieser und keiner anderen Weise 
wird es gelingen, in ihnen die Liebe zum Studium anzu- 
fachen, und sie dahin zu führen, dass sie die so fruchtbaren 
Theorien der projectivischen Geometrie vollständig beherr- 
schen. Endlich ist noch darüber zu wachen, dass die theo- 
retischen Schlüsse, die an den Beweisen von Lehrsätzen und 
der Ableitung von Folgerungen gemacht Vierden, stets von der 
graphischen Ausführung der Auflösung von Aufgaben begleitet 
sei. Man kann hier wiederholen, was Monge für die dar- 
stellende Geometrie empfohlen hat 

Das Meiste verdanke ich den epochemachenden Werken 
von Poncelet, Steiner, Chasles und Staudt*'); clenn 

■"') Es ist notliwendig (für den Unterriclit in darstellender Geometrie), 
dass das Anhören der Methoden von der Praxis und der Ausfüliriing be- 
gleitet sei; so sollen sicli die Schüler in den graphischen Constructionen 
üben. . . (Programme de la Geometrie descriptive). 

■'•1) Poncelet, Traite des proprietes projectives des figiires (Paris, 
1822). — Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geome- 
trischer Gestalten von einander, etc. (Berlin, 1832). Gesamm, Werke, 
L Bd., S. 228-460 (Berlin, 1881). — Chasles, Trait6 de Geometrie su- 
.perieure (Paris, 1852); Traite des sections coniqnes (Paris, 1865). — 



Vorwort des Verfassers. 



XI 



wer sich der Geometrie widmet, wird stets seine ersten Stu- 
dien in diesen Werl^en machen; ihnen Imbe ich auch ausser 
dem Wesen der Methoden die Beweise vieler Lehrsätze und 
die Auflösungen der Aufgaben entnommen. Keben diesen 
Werken habe ich diejenigen von ApoUonius, Pappus, De- 
sargues, de la Hire, Newton, Maclaurin, Lambert, 
Carnot, Brianchon, Möbius, Bellavitis, . . . und . die 
Neueren von Zech, Gaskin, Witzschell, Townsend, 
Reye, Poudra, Fiedler... zu Rathe gezogen. 

Um die Schwierigkeiten meines Unternehmens nicht noch 
grösser zu machen als sie schon sind, habe ich mich der Ver- 
bindlichkeit enthoben, beständig die Quellen, deren ich mich 
bediente, oder die ersten und eigentlichen Verfasser und Er- 
finder der verschiedenen Sätze oder Theorien, anzuführen. Man 
möge mich darum entschuldigen, wenn die angeführte Quelle 
nicht immer die erste ist '^0, oder wenn das eine oder andere 
Citat gänzlich fehlt. Meine Gitate sind nicht zahlreich; mein 
Hauptzweck dabei war immer der, die jungen Leute mit den 
Namen der grossen Geometer und den Titeln ihrer classisch 
gewordenen Werke bekannt zu machen. Indem ich gewissen 
Hauptsätzen die berühmten Namen von Euclid, Apoll onius, 
Pappus, Desargues, Pascal, Newton, Carnot... bei- 
fügte, wollte ich das Gedächtniss unterstützen, die Dinge 
selbst fest zu halten und jene wissenschaftliche Neugierde an- 
regen, die so sehr dazu beiträgt, unsere Kenntnisse zu er- 
weitern ''^^). 



Staudt, Geometrie der Lage ("Nürnberg, 1847). Icli übergehe stillschwei- 
gend andere Schriften dieser grossen Meister, sowäe die VV^erke des be- 
rühmten Plücker nnd anderer Geometer (Seydewitz, Göpel, Weis- 
senborn, de Jonqiiieres, Hesse, Paulus, Schröter, Geiser,.,), 
weil ich bei der Abfassung dieses Buches nicht Veranlassung fand, aus 
ihnen zu schöpfen. 

*) Von den genannten Autoren citire ich fast immer die allgemein 
bekannten Abhandlungen, obschon ihre Entdeckungen bisweilen anderen 
Orts veröffentlicht wurden. Die Arbeiten von Ohasles z. B. über die 
Theorie der Kegelschnitte gehen zum grossen Theil dem Jahr 1830 
voran; diejenigen von Staudt datiren von 1831 etc, 

-i) Ich habe oft die „Elemente der Mathematik" vonBaltzer citirt, 



xn 



Vorwort des Verfassers. 



Die gemacliteii Citate haben noch den weiteren Zweck, 
die Furcht derjenigen zu beschwichtigen, welche bei dem 
blossen Namen der projectivischen Geometrie schon in Auf- 
regung gerathen, als ob es sich um neue Dinge handelte, die 
von bizarren Köpfen erfunden worden sind. Ich wollte sie 
überzeugen, dass die meisten dieser Dinge ein ehrwürdiges 
Alter besitzen, von den Geistern der berühmtesten Denker 
gereift und seither auf jene ausserordentliche Einfachheit ge- 
bracht worden sind, welche Ger gönne als das Zeichen der 
Vollkommenheit für eine wissenschaftliche Theorie betrach- 
tete '^), In meiner Analyse werde ich in der Keihenfolge des 
in dem Buch enthaltenen Stoffes fortschreiten. 

Den Begriff der unendlich fernen E 1 e m e n t e 
verdanken wir dem berühmten Desargues, der vor 
mehr als zweihundert Jahren schon ausdrücklich parallele 
Gerade als solche betrachtete, die in unendlicher Ferne 
zusammenstossen und parallele Ebenen als solche be- 
handelte, die durch eine und dieselbe unendlich ferne Ge- 
rade gehen *^-). 

Derselbe Begriff wurde von Poncelet beleuchtet, der 
als Folge aus den Postulaten der Geometrie von Euclid zu 
dem Schlüsse kam, dass die unendlich fernen Punkte des 
Raumes als ein und derselben Ebene angehörend betrachtet 
werden müssen ''^^). 



doch nicht als Originalquelle, sondern mit; der Absicht, in dem Stiidi- 
renden den Wunsch zu wecken, dieses vorzügliche Lehrbuch durchzu- 
studiren. 

'"') „ , , . Man kann sich nicht rühmen, das letzte Wort einer Theorie 
gesprochen zu haben, so lange man sie nicht mit wenig Worten einem 
Vorübergehenden auf der Strasse erklären kann.** (Chasles, Apercu 
historique, S. 115). 

""1) Oeuvres de Desargues, reunies et analysees par M. Poudra 
(Paris, 1864), t. I: Brouillon-projet d'une atteinte aux evenements des 
rencontres d'un cone avec un plan (1639), 8. 104, 105 et 205. 

■--2) Loc, cit., S. 105—106. 

'•'^) Traite des proprietes projectives des figures (Paris, 1822, Nr. 96 
et 580). 



Vorwort des Verfassers. 



XIII 



Desargiies ■'^') und Newton haben die Asymptoten 
der Hyperbel als Tangenten angesehen, deren Berührungs- 
punkte unendlich fern sind. 

Die Colli neation ebener Figuren wird in einigen äl- 
teren Werken über Perspective, zum Beispiel in Lambert''^) 
oder sogar in Desargues "^'3) gefunden, welcher den Lehrsatz 
über perspectivische oder collineare Dreiecke und Vierecke 
ausgesprochen und bewiesen hat; der Lehrsatz über die Drei- 
ecke (Nr. 14) fällt übrigens dem Inhalte nach mit einem be- 
rühmten Porisma Euclids (Nr. 88) zusammen, das von Pap- 
pus**) übertragen wurde. Die Collineation der räumlichen 
Figuren wurde (unter dem Namen Homologie) zum ersten- 
mal von Poncelet ''^'^) betrachtet. 

Das G-esetz der Dualität wurde von Ger gönne ''0) als 
absolutes Princip ausgesprochen; wir verdanken es Ponce- 
let *') als Folge der Polarentheorie (principe de reciprocite 
polaire). 

Die geometrischen Gebilde (Punkte einer Geraden, Strah- 
lenbüschel) findet man, die Namen ausgenommen, in Desar- 
gues und den späteren Geometern, Steiner hat sie aus- 
drücklich definirt *^). 

Garnot hat das vollständige Vierseit betrachtet, 
Steiner ''^1^') hat dessen Begriff auf alle Polygone und die 
räumlichen Figuren ausgedehnt. 

Die harmonische Theilung war den Geometern des ent- 



-'•■) Loc. cit., S. 210. 

*l) Pliilosopliiae naturalis principia mathematica (1686), Buch I, 
Satz 2.7, scol. 

■-^) Freie Perspective, 2te Aufl. (Zürich, 1774). 
---3) Loc. cit., S. 413 bis 416. 

■='■^3 eil a sie s, Les trois livres des porismes d'Eiiclide, etc. (Paris, 
1860), S. 102. 

■--ö) Loc. cit., S. 369 u. folg. 

---6) Annales de Mathematiques, t. XVI (Montpellier, 1826), S. 209. 
■'•-?) Ännales de Matliematiques , t. VIII (Montpellier, 1818), S. 201. 
---S) Systematische Entwickelung, S. XIII- XIV. Ges. Werlte, S. 237. 
•"■9) De la correlation des figures de Geometrie (Paris, 1801), S. 152 
•■10) Loc. cit., S. 72 und 235. § 19, 55. 



XIV 



Vorwort des Verfassers. 



ferntesten Altertliums bekannt; man findet die Fundamental- 
Eigenschaften derselben z. B, in Apollo n ins de la 
Hire gibt die Construction des vierten Elementes einer 
liarmonisclien Gruppe mit Hülfe der Eigenschaft des Yierseits, 
d. h. mit der ausschliesslichen Verwendung des Lineals. 

Seit 1832 hat Steiner die Constructionen der pro- 
jectivischen Gebilde gelehrt '■''^). Die vollständige Theorie 
der Doppelverhältnisse verdanken wir M ö b i u s "'''3), aber 
schon E u c 1 i d , P a p p u s '■'^) , D e s a r g u e s , Brian- 
chon hatten den Fundamentalsatz (Nr. 54) derselben be- 
wiesen. 

Desargues ist der Schöpfer der Involutionstheo- 
rie; von welcher einige besondere Fälle schon den griechi- 
schen Geometern bekannt waren *^). 

Die Erzeugung der Kegelschnitte mit Hülfe projectivischer 
Gebilde wurde vor vierzig Jahren durch Steiner und Chasles 
auseinander gesetzt; sie beruht auf zwei Fundamental- 
sätzen (Nr. 113, 114), aus welchen die ganze Lehre von diesen 
so wichtigen Curven abgeleitet wird. Dieselbe Erzeugung ent- 
hält die organische Beschreibung von Newton *y) und ver- 
schiedene Lehrsätze von Maclaurin. 

Im Alter von sechzehn Jahren (1640) hat Pascal den 
berühmten Lehrsatz von dem mystischen Sechseck *^^) ge- 
funden, und im Jahr 1806 fand Brianchon den reciproken 
Satz von dem Sechseck mit Hülfe der Poltheorie (Nr. 117). 



Conicorum, üb. I, 34, 36, 37, 38. 
'"'1) Sectiones conicae (Parisiis, 1685), I, 20. 
■"-'^) Lot\ cit., S. 91, § 24. 

'"'3) Der barycentrisclie Calcul (Leipzig, 1827), Cap. V, 
■-■■i) Collectiones raatliematicae, VII, 129, 
•■^5) Loc. cit., S. 425. 

'■•'6) Merßoire sur les lignes du second ordre (Paris, 1817), S. 7. 
-') Loc. cit., S. 119, 147, 171, 176. 

■"'8) Pappus, Collectiones mathematicae, lib. VII, S. 37 — 56, 127, 
128, 130—133. 

'■'■9) Loc. cit., Buch I, Lemma 21. 

10"-) Briefe vow Leibnitz an M. Perier in den Werken von B, Pas- 
cal (Ausg. Bossut, Bd. V, S. 459). 



Vorwort des Verfassers. 



XV 



Die Eigenschaften des von vier Tangenten gebildeten 
Vierseits und der Vierecke der Berülirmigspunkte finden sich 
in dem lateinischen Anhang (De lineariim geometricarum pro- 
prietatihus tractatus) zu der englischen Ausgabe (I^ondon, 
1748) der (nach dem Tode publicirten) Algebra von Mac- 
laurin, welcher daraus in mehreren Fällen, wo fünf Ele- 
mente (Punkte oder Tangenten) gegeben sind, die Construction 
eines Kegelschnittes vermittelst Punkte oder Tangenten ab- 
geleitet hatte. Alle möglichen Fälle wurden später von 
Brianchon aufgelöst. 

Der Gedanke, zwei projectivische Punktreihen auf dem- 
selben Kegelschnitt zu betrachten, ist in dem Saggio von 
Bellavitis (S. 270, Anmerk.) ausdrücklich auseinandergesetzt 

Einen berühmten Lehrsatz (Nr. 246) über die Segmente, 
welche ein Kegelschnitt auf den Seiten eines Dreiecks be- 
stimmt, verdanken wir Carnot"). Gewisse besondere Fälle 
kannte man schon lange vorher *i). 

In der Freien Perspective von Lambert trifft man 
hübsche Constructionen , um einige Aufgaben des ersten und 
zweiten Grades mit Hülfe des Lineals zu lösen, wobei jedoch 
gewisse Elemente als gegeben vorausgesetzt werden; aber die 
Möglichkeit, alle Aufgaben des zweiten Grades mit Hülfe des 
Lineals und eines festen Kreises zu lösen, wurde von Pon- 
celet beleuchtet; später hat Steiner in einem köstlichen 
Büchlein die wirkliche Ausführung gezeigt (Nr. 184). 

Die Theorie der Pole und Polaren war schon unter ver- 
schiedenen Namen in den angeführten Werken von Desar- 
gues '^'') und de la Hire '^^) enthalten; sie ist von Monge *^), 
Brianchon ''5) und Poncet et ausgebildet worden. Letzterer 



'"■) Geometrie de position (Paris, 1803), l>Ir. 379. 

'^O Apollonias, Conicorum, lib. III, S. 16—23. Desargues, 
loc. cit,, S. 202. — De la Hire, loc. cit, Bd. V, S. 10, 12. — New- 
ton, Enumeratio lineariim tertii ordinis (London, 1706), S. 4, 

"2) Loc. cit., S. 164, 186, 190 n. folg. 

"3) Loc. cit, I, 21—28; II, 23-30. 

"4) Geometrie descriptive (Paris, 1795), Nr. 40. 

""■5) .Journal de l'Ecole Polytechniqne , cahier XIII (Paris, 1806). 



XVI 



Voiwort des Verfassers. 



hat daraus die Theorie der reciprok-polaren Figuren gezogen, 
welche in Wirklichkeit nichts anderes ist als das Dualitäts- 
gesetz, das von ihm Princip der polaren Reciprocität 
genannt wurde. 

Die wichtigsten Eigenschaften der conjugirten Durchmesser 
endlich sind von Apollonius in den Büchern II und YII 
seines Werkes „Conicorum''- auseinander gesetzt worden. 

Diejenigen, welche eine weitere und genauere Kenntniss 
von dem Fortschritte der Gleometrie von ihren Anfängen bis 
1830 (was für den Stoff dieses Buches genügt) erlangen wol- 
len, haben nur das classische Werk Apergu historique 
von C hast es zu lesen. 



Mailand, November 1872. 



Der Verfasser. 



Vorwort des Uelbersetzers. 



Die vorliegende deutsche Ausgabe ist in der Hauptsache 
eine Uebersetzung des italienischen Originals. Die freundliche 
Bereitwilligkeit, mit welcher mir Herr Professor Cremona 
erlaubte, eine deutsche Ausgabe zu veranstalten, erstreckte 
derselbe jedoch auch dahin, diejenigen Veränderungen anzu- 
bringen, w^elche ihm am dringendsten nothwendig erschienen; 
sie betreffen die §§ 2 und 3 über „Perspectivische Figuren" 
und „Collineation" nebst vielen weniger wesentlichen Ab- 
änderungen in andern Paragraphen. Ferner sind auf seine 
Anregung hin zu den wichtigen Sätzen der Nummer 114 
die Chasles'schen Beweise durch diejenigen von Herrn De- 
wulf ersetzt worden. 

Das italienische Original ist in erster Linie für die tech- 
nischen Hochschulen des Königreichs Italien bestimmt; die 
graphische Methode aber, deren sich der Herr Verfasser in 
seiner bekannten, meisterhaften Weise bedient, wird dem 
Werkchen ohne Zw^eifel auch in deutschen Anstalten Freunde 
verschaffen. 

Winterthur, August 1882. 

Fr. R. Trautvetter» 



Inhalts -Verzeichiiiss. 



Seite 

Vorwort III 

§ 1. Definitionen (1—7) 1 

§ 2. Perspectivisclie Figuren (8 — 14) 3 

Perspectivische Figuren (8) ............ 3 

Der unendlicli lerne Punkt einer Geraden (9) . . , . . 4 

Die unendlicli ferne Gerade einer Ebene (10) . . » . . 6 
Lehrsätze von Desargues über persi^ectivisclie Dreieclte 

(13, 14) ............ 8 

§ 3. Colliueation (15—19) 10 



Collineare FiiJuren (15—19) ........... 10 

Constructionen collinearer Figuren (19) ....... 13 

§ 4. Collineare Figuren im Räume (20) 20 

Die unendlich ferne Ebene (20) 20 

§ 5. Geometrische Gebilde (21—26) ......... 23 

§ 6. Das Gesetz der Dualität (27—32) .26 

§ 7. Projectivisclie Gebilde (33—38) ......... 33 

§ a Harmoni seile Gebilde (39-53) .......... 40 

Fundamental-Lehrsatz (39) . . . 40 

Projectivität harmonischer Gebilde (44) . - 45 

Constructionen (51) .............. 50 

§ 9. Doppelverhältnisse (54—59) 52 

Lehrsatz von Pappus (54) ............ 52 

Eigenschaften der harmonischen Gruppen (55 — 56) ... 58 



Die vierundzwanzig Doppelverhältnisse von vier Elemen- 
ten (57) .................. 62 

Die metrische Eigenschaft als Ausdruck der Projectivität 

von zwei Punktreihen (59) ........... 64 

§10. Constructionen pro.i ectivischer Gebilde (60 — 72) . 65 

Fälle projectivischer Gebilde (62) .......... 66 

Uebereinander liegende projectivisclie Gebilde (63) ... 68 



XX Inlialts-Verzeichniss. 







Seite 




Sie können nicht mehr als zwei entsprechend g-emeinschaft- 






liche Elemente haben (64) ............ 


70 




Constructionen (66™69, 71) ........... 


71 




Lehrsatz von Pappus über das Sechseck, dessen Eck- 






punkte auf zwei Geraden liegen (69) 


77 




Allgemeinere Lehrsätze (70) ........... 


77 


§ 11. 


Besondere Fälle und Uebungen (73—91) ..... 


81 




Aehnliche Punktreilien (73) ^ . 


81 




Gleiche Büschel (78) 


85 




Metrische Eigenschaften (83) 


87 






90 




Porismen von Euclid und Pappus (88) 


93 




Aufgaben, die nur mit dem Lineal gelöst werden (89) . 


94 




Lehrsätze \on Chasles über persjDectiYische, Figuren (90) 


97 


% 12. 


Involution (92—106) 


99 




Definition (93, 94) 


100 






102 




Die beiden Fälle der Involution (98) ........ 


104 




Eine andere metrische Eigenschaft (100) 


107 




Das von einer Transversalen geschnittene Viereck (101) . 


108 






110 






112 


§ 13. 


Pro.i ectivische Gebilde am Kreise (107 — 112) . <. . 


116 


§ 14. 


Pro.i ecti vi sehe Gebilde an Kegelschnitten (113 — 123) 


120 






120 




Erzeugung der Kegelschnitte vermittelst projectivischer 






Gebilde (114) , . . . . 


122 



Lehrsätze von Pascal und Brianchon (117) .... 128 
Lehrsätze von Möbius und Maclaurin (118, 119) . . 130 

Eigenschaft der Parabel (120) . 132 

Eigenschaften der Hyperbel, Lehrsatz von Apollonius 

(122, 123) 135 

§ 15. Constructionen und Uebungen (124 — 126) .... 136 
Anwendung der Lehrsätze von Pascal und Brianchon 
auf die Construction der Kegelschnitte mit Punkten 

oder Tangenten (124) 136 

Fälle, in welchen mehrere Elemente unendlich ferne sind 

(125, 126) .138 

§ 16. Folgeru ngen aus den Sätzen von Pascal und Brian - 
chon (127—142) 143 

Lehrsätze über das eingeschriebene Fünfeck (127) . . . 143 
Lehrsätze von M a c 1 a r i n über das eingeschriebene 
Viereck (129, 131) 145 



Inhalts- Verzeicliniss. 



XXI 



Sßilfi 

Lehrsatz über das umschriebene Vierseit und das Viereck 

der Berührungspunkte (132, 133) 148 

Lehrsatz über das umschriebene Vierseit (135) .... 151 
Lehrsätze über das ein- und umschriebene Dreieck (137, 139) 152 
Lehrsatz über das umschriebene Fünfeck (141) .... 154 
Anwendung dieser Lehrsätze auf die Construction der 
Kegelschnitte (128, 130, 134, 136, 1 38, 140, 141) . . 154 

Kegelschnitte, die sich berühren (142) . ., 156 

§ 17. Lehrsatz von Desargues (143—156) 156 
Der Lehrsatz von Desargues und der correlative 

Satz (143) 156 

Kegelschnitte, die demselben Viereck umschrieben oder 
demselben Vierseit eingeschrieben sind (145) . . . . 158 

Lehr s ä tze von Poncelet (146) 159 

Folgerungen aus dem Lehrsatze von Desargues (147, 

149, 151, 152) 162 

Constructionen (144, 148, 150) 165 

Harmonische Gruppe von vier Punkten oder vier Tangenten 

(152, 153) 166 

Eigenschaft der Hyperbel (154) . . . 169 

Lehrsatz von „Pappus ad quatuor lineas" und der 

correlative 8atz (155, 156) 170 

§ 18. Entsprechend gemeinschaftliche Elemente und 

Doppelelemente (157—165) 171 

Projectivische Punktreihen auf einem Kegelschnitt (157) . 171 
Projectivische Reihen von Tangenten an einem Kegel- 
schnitt (158) . 174 

Involutorische Punkte auf einem Kegelschnitt (159 — 161) 176 
Construction der entsprechend gemeinschaftlichen Elemente 
von zwei übereinander liegenden projectivischen Gebilden 
und der Doppelelemente einer Involution (162) . . . 183 
Gemeinsames Paar von zwei übereinander liegenden Invo- 
lutionen (164) 187 

§ 19. Aufgaben des zweiten Grades (166—185) ..... 191 
Durchschnitt eines Kegelschnittes und einer Geraden ; Tan- 
genten, die aus einem Punkt an einen Kegelschnitt ge - 
legt werden (166) . 191 

Kegelschnitte, die durch vier Punkte und eine Tangente 
oder durch vier Tangenten und einen Punkt bestimmt 

sind (170) 197 

Kegelschnitte, die durch drei Punkte und zwei Tangenten 
oder durch zwei Punkte und drei Tangenten bestimmt 
sind (171) 199 



XXII 



Inhal ts-Verzeiclmiss. 



Seite 

Construction von Polygonen unter gegebenen Bedingungen 
(172—175, 185), VI ... XI .......... 200 

Construction der Schnittpunkte zweier Kegelsclmitte (176) 206 

Verschiedene Aufgaben (177—182, 185) 209 

Geometrische Methode der falschen Position (183) . . . 213 
Auflösung von Aufgaben des zweiten Grades mit blossem 
Gebrauch des Lineals ^ wenn ein fester Kreis gegeben 

ist (184) 213 

§ 20. Pole und Polaren (186—205) 222 

Die Polare eines gegebenen Punktes (186) ....... 222 

Der Pol einer gegebenen Geraden (187) ....... 223 

Reciproke Punkte (189) ............ 226 

Constructionen (191, 193, 200, 201) .227 

Poldreiecke (192, 194) 229 

Vollständige Vierecke mit einem gemeinsamen Diagonal- 

dreieek (196) 232 

Kegelschnitte mit einem gemeinsamen Poldreieck (199, 202) 234 
Andere Lehrsätze über ein- und umschriebene Dreiecke 

(204, 205) 238 

§ 21. Oentrum und Durchmesser (206—229) ...... 240 

Der Durchmesser eines S^^stems paralleler Sehnen (206) . 240 

Der Fall der Parabel (208) 241 

Centrum (210) 242 

Conjugirte Durchmesser (212) 243 

Ein- und umschriebene Parallelogramme (214 — 216) . . 245 

Der Fall des Kreises (217) . 246 

Lehreatz von Möbius (219) 248 

Involution von reciproken Punkten oder reciproken Ge - 
raden (220) 250 

Ideelle Durchmesser und Sehnen (218, 223) . . . . . 253 
Involutio n conjugirter Durchmesser ; Axen (225, 226 ) . . 254 
Lehrsatz von Newton über die Mittelpunkte von Kegel - 
schnitten, die einem Vierseit eingeschrieben sind (228) 257 

Constructionen (213, 222, 227, 229) 259 

§ 22. Reciprok-polare Figuren (230—238) ....... 260 

Reciprok-j)olare Curven (230) 260 

Die reciprok-polare Curve eines Kegelschnittes ist ein an- 
derer Kegelschnitt (232) 261 

Die r eciprok-polaren Figuren sind correlative F iguren (234) 262 
Zwei Poldreiecke desselben Kegelschnittes (236) .... 264 
Zwei Dreiecke, die demselben Kegelschnitt eingeschrieben 

oder umschrieben sind (237) 266 

Lehrsatz von Hesse (238) ........... 268 



Inhalts- Verzeich niss. 



XXIIl 



Seite, 

Polarsystem (238), IV 270 

§ 33. Folgerungen inid Constriictioneii (239—271) . . 272 
Verscliiedene Constrnctionen an der Hyperbel und der 



Parabel (23 9—24 3) . . 272 

Eigenschaften der conjugirten Durcbmesser ; Lehrsätze 

von ApollonU-is (244—245) . 275 

Lehrsatz von Ca r not (246) . 284 

Constrnctionen von Kegelschnitten (247—249, 252—259, 

261) 290 

Gleichseitige Hyperbel (250) 292 



Construction, nm zu erkennen, welcher Art von Kegel- 
schnitten ein gegebener Bogen angehört (251) . . 295 
Die Trisection eines gegebenen Kreisbog ens (260) . . 302 
Organische Beschreibung der Kegelschnitte nach New- 
ton (262) . ■ ■ ■ 306' 

Andere Lehrsätze nnd verschiedene Aufgaben (265—270) 308 
Anwendung der Poltheorie auf die Lösung von Auf- 
gaben des zweiten Grades (271) 310 

Verbesserungen 312 



Elemente der projectivisclien Geometrie, 



§ lo Beünitioiieii. 

1. Eine „Figur" ist irgend ein Inbegriff von Punkten, 
Geraden und Ebenen; Gerade und Ebenen sind unbegrenzt 
zu denken, ohne Rücksicht auf die begrenzten Theile des 
Raumes, weiche von ihnen eingeschlossen werden. Unter dem 
Namen „Dreieck" z. B. muss man sich ein System von drei 
Punkten und drei verbindenden Geraden denken; ein „Te- 
traeder" ist ein System von vier Ebenen und vier Punkten, 
in denen je drei Ebenen sieh schneiden etc. 

Um eine gieichmässige Benennung zu erzielen, bezeichne 
ich immer die Punkte durch die grossen Buchstaben A, B, C, . . , 
die Geraden durch die kleinen Buchstaben a, h, c, . . . die Ebenen 
durch die griechischen Buchstaben c^, y,,..; ausserdem be- 
zeichnet AB die Strecke, die von den Punkten A und B be- 
grenzt ist; Aa bezeichnet die Ebene, welche durch den Punkt 
A und die Gerade a geht; aa ist der Punkt, in welchem die 
Gerade a die Ebene a durchdringt; aß ist die Gerade, bestimmt 
durch die Ebenen a und />; ABC ist die Ebene der drei 
Punkte A, B, C; aß/ ist der üurchschnittspunkt der drei 
Eb enen a, 7; . B C ist der Durchschnittspunkt der Ebene 
a und der Geraden BO; A . ßy ist die Ebene, welche durch 
den Punkt A und die Schnittlinie der beiden Ebenen ß und 
y gelegt wird; B c ist die Gerade, in welcher sich die Ebene 
a und die durch den Punkt B und die Gerade c bestimmte 
Ebene schneiden; A.ßc ist die Gerade, welche den Punkt A 
mit dem Durchschnittspunkt der Ebene ß und der Geraden c 

L. Cremona, Elem. d. projeot. Geometrie. 1 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



verbindet; etc. Mit . B C :^ A' wird angezeigt, dass der Punkt;, 
in welchem die Ebene a von der Geraden B C geschnitten wirdy 
mit dem Punkte A' zusammenfällt; u ~ ABC zeigt an, dass in 
der Geraden u die drei Punkte A, B, 0 liegen etc. 

2. Von einem festen Punkte S (Proj ectionsmi tt el- 
punkt) eine Figur (AB CD .. ., ahcd . . .), die aus Punkten 
und Geraden zusammengesetzt ist, projiciren, heisst: die 
projicirenden Geraden (Strahlen) SA, SB, SC, SD,... und 
die Ebenen (projicirenden Ebenen) Sa, Sb, Sc, Sd... con- 
struiren. Man erhält so eine neue Figur, die aus Geraden 
und Ebenen zusammengesetzt ist, welche durch den Mittel- 
punkt S gehen. 

3. Eine aus Ebenen {aßyö. . .) und Geraden iah cd ..} 
zusammengesetzte Figur durch eine feste Ebene o- (Trans ver- 
sa! ebene) schneiden, heisst: die Geraden oder Spuren 
(ja, , ö-/, . . . und die Punkte oder Spuren aa, oh^ ac, . . . 
construiren. Aus dieser Construction ergibt sich eine neue 
Figur, die aus Geraden und Punkten zusammengesetzt ist, 
welche in der Ebene a liegen. 

4. Eine aus Punkten zusammengesetzte Figur ABCD . . • 
aus einer festen Geraden s (Axe) projiciren, heisst: Die Ebe- 
nen sA, sB, sC... construiren. Die neue Figur ist also aus 
Ebenen zusammengesetzt, die alle durch die Axe s gehen. 

5. Eine aus Ebenen zusammengesetzte Figur aßyS... 
durch eine feste Gerade s (Transversale) schneiden, heisst: 
die Punkte sa, sß, s;/, sö... construiren. Die neue Figur 
ist also aus Punkten zusammengesetzt, die alle auf einer 
festen Transversalen s liegen. 

6. Ist eine Figur aus den Geraden a, 6, c. . , zusammen- 
gesetzt, die alle durch einen festen Punkt oder Mittelpunkt 
S gehen, so kann man sie aus einer Geraden oder Axe s 
projiciren, die durch S geht; daraus folgt eine Figur, die aus 
den Ebenen sa, s5, sc... zusammengesetzt ist. 

7. Ist eine Figur aus Geraden a, 6, c... zusammenge- 
setzt, die alle in einer festen Ebene liegen, so kann man sie 
durch eine Gerade (Transversale) s schneiden, die in derselben 



§ 2. Perspectiv]' sehe Figuren. 



3 



Ebene liegt; die Figur, welche daraus hervorgeht , ist aus den 
Punkten sa, .s6, sc... zusammengesetzt'"'). 



8. ■ Betrachte man eine aus Punkten A , B , C , . . . und 
Geraden AB , AC,.., BC,... einer Ebene <t bestehende 
Figur. Man i)i'ojicire diese aus einem nicht in g liegenden 
Mittelpunkt S, und schneide die Strahlen SA, SB, SC,.., 
und die Ebenen SAB, SAG,.., SBC,... durch eine Trans- 
versalebene r>' (Fig. 1). Dann bilden die Spuren der projici- 



renden Strahlen und Ebenen auf a eine zweite, mit der ersten 
gleichartige Figur. Beide Operationen , durch welche die 
zweite Figur aus der ersten abgeleitet wird, ausführen, heisst: 
aus einem Mittelpunkte S eine gegebene ebene Figur 
G auf eine Bildebene g projiciren. Die neue Figur a' 
heisst perspectivisches Bild oder Projection der ur- 
sprünglichen. Selbstverständlich: projicirt man aus S die 
zweite Figur o auf er, so wird die erste wieder entstehen: 
d. h. die erste Figur ist die Projection der zweiten aus dem 
Mittelpunkte S auf der Bildebene g. Die zwei ebenen Figuren 
G. G heissen persp ectivisch. 

a) Sind A', B', C, . . . die Spuren der Strahlen S A , S B, 
SC,... auf er', so kann man sagen, dass den Punkten A, B, 



'"■) Projiciren und Sclineiden sind die beiden Fundamental- 
eperationen der projectivischen Geometrie. 



§ 2. Perspectiyische Figuren. 



Fig. 1. 




4 



Elemente der projectivischen (ieoinetrie. 



C, . . . der ersten Figur die Punkte A', B', C, . . . der zweiten 
entsprechen, unter der Bedingung, dass zwei entsprechende 
Punkte immer mit dem Mittelpunlde S in gerader Linie liegen. 
Beschreibt der Punkt A eine Gerade a in o-, so beschreibt 
der Strahl SA eine Ebene Sa,- eb'eiiso durchläuft A' eine Ge- 
rade a', den Durchschnitt der Ebenen Sa und a\ Die Ge- 
raden a und a', in welchen die Ebenen o und g von einer 
und derselben projicirenden Ebene durchschnitten werden, 
können also entsprechende Geraden genannt werden. 
Daraus folgt, dass den Geraden AB, AG, . , . BC, . . . die Ge- 
raden A'B', A' G', . B' C', . . . entsprechen, und dass den durch 
einen Punkt A von a laufenden Geraden solche Geraden ent- 
sprechen, welche den entsprechenden Punkt A' enthalten. 

b) Durchläuft der Punkt A eine krumme Linie in cj, so 
wird der entsprechende Punkt A' eine andere, der ersten ent- 
sprechende, krumme Linie in g' beschreiben. Tangenten 
der zwei Curven in entsprechenden Punkten sind entspre- 
chende Geraden. Entsprechende Geraden schneiden die zwei 
Curven in entsprechenden Punkten. Zwei entsprechende Cur- 
ven sind also von derselben Ordnung 

c) Die zwei Figuren können ebenso gut durch die gleich- 
zeitige Bewegung entsprechender Geraden a, d erzeugt wer- 
den. Dreht sich a um einen festen Punkt A, so wird auch 
d stets durch den entsprechenden Punkt A' gehen. 

Umhüllt a eine Curve, so wird d analogerweise die ent- 
sprechende Curve berühren. Entsprechende Lagen von a und 
d berühren die zwei Curven in entsprechenden Punkten. Den 
aus einem Punkte A kommenden Tangenten der ersten Curve 
entsprechen Tangenten der zweiten, welche durch den ent- 
sprechenden Punkt A' gehen. Zwei entsprechende Curven 
sind also von derselben Classe'''). 

9. Betrachten wür zwei entsprechende Geraden a, d der 
perspectivischen Figuren g, g\ Jeder in ihrer Ebene durch 

■'') Ordnung- einer Curve ist die höcl)ste Zahl der Punkte, worin 
sie durch eine willkürliche Ebene geschnitten werden kann. 

■'•"1) Classe einer ebenen Curve ist die höchste Zahl ihrer Tangenten, 
welche in einem v\'illkürlichen Punkt zusammenlaufen können. 



§ 2. Perspectivische Figuren, 5 

S gelegte Strahl trifft a und a' in zwei entpreclienden Punkten 
wie A und A' (Fig. 2). Dreht sich der Strahl um den Punkt S, 
so verändern sich gleichzeitig A und A' ; wird der Strahl nahezu 
parallel a, so nähert sich der Punkt A' dem Punkte I' (ge- 
meinsamer Punkt für a und die Gerade durch S parallel a) 
und der Punkt A entfernt sich unaufhörlich. Damit die Eigen- 
schaft, dass einem Punkte von a' immer auch ein Punkt von a 
entspricht, fortbestehe, sagen wir, es habe die Gerade a im 
Unendlichen einen Punkt I, mit welchem der Punkt A zu- 

Fig. 2. 



K j j 

/ 



■ tK\ / 



W \ )b 

i 

\ \ / 
la 

sammenfällt, wenn A' mit V zusammenfällt, d. h. wenn der 
um S bewegliche Strahl mit a parallel wird. Die Gerade a 
hat einen einzigen Punkt im Unendlichen, vorausgesetzt dass 
durch S ein einziger Strahl parallel zu a geht 

Der Punkt T, das Bild des unendlich fernen Punktes I 
heisst Fluchtpunkt oder Grenzpunkt. Ebenso hat die 
Gerade a' im Unendlichen einen Punkt J', welcher dem Punkt 
J entspricht, wo a von der Parallelen zu a geschnitten wird. 

Zwei parallele Geraden haben denselben Punkt im Un- 
endlichen. Alle Parallelen zu derselben Geraden müssen so 
angesehen werden, als haben sie im Unendlichen einen ge- 
meinsamen Punkt. Zwei Geraden, die in derselben Ebene 



''■) Grundhypothese der euklidischen Geometrie. 



6 



Elemente der projectivischeii Geometrie. 



liegen, haben immer einen gemeinsamen Punkt (in endiiclier 
oder unendlicher Ferne). 

10. Wenn nun die Gerade a alle möglichen Lagen in der 
Ebene g annimmt, so wird die entsprechende Gerade a immer 
der Durchschnitt der Ebenen er' und Sa sein. Indem sich a 
bewegt, erzeugt der Strahl SI (parallel a) eine Ebene tt, 
welche a parallel ist und der Punkt 1' beschreibt die Gerade 
71 (j\ welche wir i' heissen wollen. Die Gerade i' ist also der 
Art, dass einem beliebigen ihrer Punkte ein unendlich ferner 
Punkt der Ebene g entspricht und der auch der Ebene n 
angehört. 

Wir wollen annehmen, dass der geometrische Ort dieser 
unendlich fernen Punkte (der Ebene a) eine Gerade i ist, 
weil sie der Geraden i' der Ebene g' entspricht und als Durch- 
schnitt der Ebenen ti und a angesehen werden kann; so gilt 
allgemein, ohne Ausnahme, das Gesetz, dass jeder Geraden 
der Ebene g' eine Gerade der Ebene g entspricht. 

Die Ebene g hat eine einzige unendlich ferne Gerade, 
weil durch den Punkt S eine einzige Ebene geht, die parallel 
G ist. Die Gerade i'. das Bild der unendlich fernen Geraden 
(i), heisst die „Fluchtlinie" oder „Grenzlinie". Sie ist 
parallel zu <j g'. 

Ebenso hat die Ebene g' eine unendlich ferne Gerade, 
welche dem Durchschnitt der Ebene g mit der Ebene ti' ent- 
spricht, die durch S parallel mit g gelegt wird. Zwei paral- 
lele Ebenen haben dieselbe Gerade in unendlicher Ferne ge- 
mein. Alle Ebenen, die derselben Ebene parallel gehen, 
müssen so angesehen werden, als gehen sie durch eine feste 
unendlich ferne Gerade. 

Ist eine Gerade einer Ebene parallel, so geht die unend- 
lich ferne Gerade der Ebene durch den unendlich fernen 
Punkt der Geraden. Sind zwei Geraden parallel, so treffen 
sie denselben Punkt der unendlich fernen Geraden der Ebene, 
welche durch sie bestimmt ist. 

Zwei Ebenen schneiden sich immer in einer Geraden (in 
endlicher oder unendlicher Ferne). 



§ 2. Perspectivisclie Figuren. 



7 



Eine Gerade und eine Ebene (die nicht diiich jene geht) 
treffen sich immer in einem Punkte (in endlicher oder un- 
endlicher Ferne). 

Drei Ebenen, die nicht durch dieselbe Gerade gehen, 
haben immer einen gemeinsamen Punkt (in endlicher oder 
unendlicher Ferne). 

11. Lehrsatz. Sind zwei ebene Figuren ABC,... 
A'B'C... (Fig. 1), die in verschiedenen Ebenen er und 
liegen, perspectivisch, d. h. convergiren die Strah- 
len AA', BB', CC\.. in einem Punkte S, so schneiden 
sich die entsprechenden Geraden Aß und A'B', AC 
und A'C... BC und B'C... in Punkten, die auf der- 
selben Geraden, nämlich der Durchschnittslinie der 
beiden Ebenen g und g liegen. 

Ist M ein Punkt der Geraden g g und geht eine Gerade 
a der Ebene er durch M, so wird auch die entsprechende Ge- 
rade a' durch M gehen ; in der That sind die beiden Geraden 
a und d die Durchschnittslinien derselben projicirenden Ebene 
mit den beiden Ebenen g und g\ die drei Geraden gg\ a 
und d convergiren also in einem Punkte, der den drei 
Ebenen gemeinsam ist. 

Die Gerade gg' ist der Ort der Punkte, die sich selbst 
entsprechen. 

Die Grenzgerade i' auf der Ebene g' ist der Geraden 
gg' parallel, denn i' und die entsprechende Gerade welche 
ganz in unendlicher Ferne auf g liegt, müssen sich auf gg' 
schneiden. 

Ebenso ist die Grenzgerade j der Ebene g parallel mit g g\ 
Ist jede Figur ein Dreieck, so lautet der Satz, wie folgt: 
Liegen zwei Dreiecke ABC und A'B'C in zwei Ebenen 
G und g\ so dass die Geraden AA', BB', CG durch einen 
gemeinschaftlichen Punkt S gehen, so schneiden sich je zwei 
entsprechende Seiten BC und B'C, CA und CA', AB und 
A'B' in Punkten der Geraden gg. 

12. Lehrsatz. Umgekehrt, wenn den Punkten A, B, 
C... und den Geraden AB. AC, BC... einer ebenen 



8 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Figur (7, in derselben Aufeinanderfolge, die Punkte 
A', B', C ... und die Geraden A'B', A' C . . . B' C . . . einer 
andern Figur a in der Weise entsprechen, dass 
sich die entsprechenden G-eraden AB und A'B', AC 
und A'C ... BC und B'G'... auf Punkten der Durch- 
schnittslinie. beider Ebenen g und a' {cra') schnei- 
den, so sind die beiden Figuren perspectiyisch. 
In der Tliat, sei S der den drei Ebenen AB . A'ß', AC . A'C, 
BC.B'C' gemeinsame Punkt, so convergiren die drei Kanten 
AA', BB', CG' des von denselben Ebenen gebildeten Drei- 
kants in S. Ebenso schneiden sich die drei Ebenen AB . A'B', 
AD.A'D', BD.B'D' in einem Punkte, welcher den Kanten 
AA', BB', DD' gemeinsam ist und dieser Punkt ist wieder 
S, da die zwei Geraden AA', BB' genügen, um ihn zu be- 
stimmen. Es gehen also alle die Geraden AA', BB', CG, 
DD'... durch denselben Punkt S; oder die beiden gedachten 
Figuren sind perspectivisch und S ist ihr Projectiönsmittel- 
punkt (Centrum). 

Ist jede Figur ein Dreieck, so hat man den Satz: 
Liegen zwei Dreiecke ABC und A'ß'G in zwei Ebenen 
(7 und o-', so dass sich je zwei Seiten BC und B'G, CA und 
CA', AB und A'B' in Punkten einer Geraden (o-cr') schnei- 
den, so gehen die Geraden AA', BB', CG durch einen ge- 
meinsamen Punkt S. 

13. Leiirsatg, Wenn zwei Dreiecke AjB,|Gj und 
A^ Bj Gj i n einerlei Ebene er liege n u n d d i e d r e i G e- 
raden A^A,^, B^B^, C^ C2 sich in einem und demselben 
Punkte 0 schneiden, so liegen die drei Punkte, in 
welchen je zwei Seiten BjC^ und B^C^, C^A^ und C2A2, 
A|Bi und A2B2 sich schneiden, in derselben Geraden. 

Durch den Punkt 0, der den Geraden A^Aj, BiBj; G, C^ 
gemeinsam ist, legen wir ausserhalb der Ebene er irgend eine 
Gerade, auf welcher wir zwei Punkte Si und S^ nehmen. 
Projiciren wir das Dreieck A^BiC^ von Sj aus, und das Dreieck 



*) Die Ebenen und 0' sind als verschiedene anzugehen. 



§ 2. Perspectivisclie Figuren. 



9' 



A2B2C.2 von S2 aus. Die Punkte Aj, A2, 0, S2, liegen in 
derselben Ebene, also sclmeiclen sich S^A^ und S2A2 ;in A), 
ebenso B, und S2B2 (in B), ebenso C| und Sy C2 (in C). 
So ist das Dreieck ABC perspectiviscli zu A^ B^ Cj und zu 
A2B2C2. Die Geraden BC, B^Cj, B2C2 schneiden sich paar- 
weise und laufen darum in einem Punkte Aq zusammen'^). 



Ebenso laufen CA, C, A^ und A2C2 in einem Punkte B^ zu- 
sammen, und AB, B|A^, AjB^ in C^. Die drei Punkte A^, 
Bq, Cq liegen auf der Geraden, die den beiden Ebenen g und 
ABC gemeinsam ist. Der Lehrsatz ist also bewiesen. 

14, Lehrsatz. Wenn zwei Dreiecke A|B|C^ und 
A2B2C2 in einerlei Ebene g liegen und die Eigen- 
schaft haben, dass sich die Seiten Bj Cj und B2C2, 
C^ A^ und C2A2, Aj Bj und A2B2 paarweise in drei 
Punkten A^, B^^, Cq einer Geraden schneiden, so 
laufen die verbindenden Geraden A^Aj, Bj B2, C^ Gj 
der Eckpunkte durch einen und denselben Punkt 0. 

Legen wir durch die Gerade A^ Bq Cq eine andere Ebene 
und projiciren darauf von einem beliebigen Centrum S^ aus 



'■•■) BC ist der Dui'chschnitt der Ebenen S, B, C| und SjBjCj, die 
nicht zusammenfallen, d. h. die Geraden B C, B, Cj und B^ liegen nicht 
alle drei in einer Ebene. Die drei Ebenen B C . B^ C, , BG.B^C^ und 
B, C, . B^ (oder 0) schneiden sich in einem Puukte Äq. 



Fig. 3. 




10 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



das Dreieck C.^. Wenn die Projection ABC ist, so 

schneiden sich die Geraden BC, B, C.^ in dem Punkte Aq, 
durch welchen auch B2C2 geht; ebenso wird AC durch B^, 
und AB durch Cq gehen. Die Geraden AAo, BB^, C Cg 
schneiden sich paarweise, ohne dass sie übrigens alle drei in 
einer Ebene liegen; sie convergiren also in einem Punkte 83. 
Die Geraden S., S2, A^ Aj liegen in derselben Ebene, weil sich 
A^ und S^A^ in A schneiden, also schneidet S| 83 die drei 
Geraden A^Ag, B^ B2, C^, d. h. diese drei Geraden A^ A2, 
B1B2, C.J C2 treffen in einem Punkte 0 zusammen, welcher 
der Ebene a und der Geraden S2 gemeinsam ist *), 

§ 3. Collineation. 

15. Es sind gegeben: eine Ebene a und eine andere 
Ebene a', die eine beliebige aus Punkten und Geraden be- 
stehende Figur enthält. Ausserhalb der gegebenen Ebenen 
nehme man zwei Punkte und 83 an und projicire aus jedem 
derselben, als Mittelpunkte betrachtet, die Figur er' auf die Ebene 

So entstehen in g zwei neue Figuren, man heisse sie g.^ 
und Ö-2, w^elche die Projection en einer und derselben Figur a 
auf einer und derselben Ebene er, aber aus verschiedenen 
Mittelpunkten, sind. Bezeichnen wir als entsprechende 
zwei Punkte A^ und A2 oder zwei Geraden und % der 
Figuren und 0-3, wenn sie die Bilder eines und desselben 
Punktes A' oder einer und derselben Geraden a' der Figur o-' 
sind. Dann hat man zwei Figuren und 0-2, in einerlei 
Ebene a gelegen, und so beschaffen, dass den Punkten A^, 
B^, C| , . . . und den Geraden A^ B^ , Aj C, , . . . Bj , . . . der 
einen die Punkte A2, B2, 63, . . . und die Geraden Aj B2, 
A2 C3, . . . B2 C3, . . . der andern entsprechen. Da zwei ent- 
sprechende Geraden von a' und in einem Punkte der Ge- 
raden a g\ und auch zwei entsprechende Geraden von a', 
und 0-3 in einem Punkte derselben Geraden a er' sich schnei- 
den, so folgt daraus, dass drei entsprechende Geraden von 



Baltzer, Stereometrie S. ^4-«=Wr-Die Sätze Nr. 11 und 12 rühren 
von Desargues lier. 



§ 3. CoUineation. 



11 



ö-', und ö-j sich in einem und demselben Punkte schnei- 
den, welcher als Schnittpunkt der Geraden von o-' mit der 
Geraden o- o-' bestimmt ist. Das heisst: zwei entsprechende 
Geraden der Figuren und cr^ schneiden sich immer auf 
einer festen Geraden, der Spur von g auf a. Wenn ausser- 
dem und A2 zwei entsprechende Punkte von und 
sind, so haben die Strahlen S^Aj, S2A2 einen Punkt A' ge- 
mein, also liegen sie in einer und derselben Ebene: folglich 
schneiden sich A^ Aj, S.| S2 in einem Punkte 0. So hat man also 
die Eigenschaft, dass jede Gerade, wie A^ A.^, welche zwei ent- 
sprechende Punkte der Figuren und a.^ verbindet, durch 
einen festen Punkt 0 geht , welcher die Spur von S.j S2 auf 
G ist. Daraus schliessen wir: wenn zwei Figuren g^ und G2 
die Projectionen einer und derselben Figur auf einer und der- 
selben Ebene aus verschiedenen Mittelpunkten sind, so haben 
diese Figuren alle Eigenschaften der perspectivischen Ge- 
bilde (8), obschon sie in einerlei Ebene liegen. Den Punkten 
und Geraden der ersten entsprechen eindeutig die Punkte und 
Geraden der zweiten Figur ; zwei entsprechende Punkte liegen 
immer in einem Strahle, der durch einen festen Punkt 0 geht, 
zwei entsprechende Geraden schneiden sich immer auf einer 
festen Geraden s. 

Solche Figuren heissen collinear oder homologisch 
oder auch perspectivisch; 0 das CoUineations- oder 
Proj ectionscentrum; s die CoUineations- oder Pro- 
jectionsaxe 

16. Lehrsatz. Es seien in einer Ebene er zwei Figuren 
G^ und ö-j gegeben, so dass den Punkten A^, B^, C^,... und 
den Geraden A^ B,j, A^ C^, . . . C^, . . , der einen die Punkte 
A.j, Bj, C^, . . . und die Geraden A.2B2, Ag C<), . . . Bj C2, . . . 
der andern eindeutig entsprechen. Wenn die Durchschnitte 
der entsprechenden Geraden in einer festen Ge- 
raden s liegen, so gehen die geraden Verbindungs- 
linien der entsprechenden Punkte durch einen 
festen Punkt 0. 



Staudt, Geometrie der Lage, 89 und anderswo. 



12 



Elemente der projectivischen Geomeh-ie. 



Beweis: Seien Aj und A2, und B^, C, und €3 drei 

Paare entsprechender Punicte ; sie bilden zwei Dreiecke A^B|Cj 

und A2B2C2, deren Seitenpaare Bj und B^C^, A.| und 

C^A,,, A^ Bi und A^B^ sich in drei Punkten einer geraden 

Linie schneiden. In Folge von Nr. 14 laufen die Strahlen 

A^A,,, B^B-,, C,j C2 in demselben Punkt 0 zusammen; aber es 

genügen zwei Strahlen Aj A2 und B1B2, um diesen Punkt 
zu bestimmen; auf w^elche Art man immer das dritte Paar 

der Punkte €3 wählen möge, der Strahl 0^02 wird immer 

durch 0 gehen. 

Die Figuren cr^, 0-2 sind also coUinear; 0 ist das Cen- 

trum, s die Axe der Collineation. 

17. telirsatz: Wenn den Geraden a, 5, c... nnd 
den Punkten ah^ ac^... hc... einer Figur, in der- 
selben Aufeinanderfolge die Geraden a\ h\ c', . . . 
und die Punkte a' h\ a' c\ . . . h' d einer andern Figur 
entsprechen, die in derselben Ebene liegt, wie die 
erste Fignr, so dass die Paare der entsprechenden 
Punkte a6, a' h\ ac, a c\ 5 c, ö' c' . . . mit einem festen 
Punkte 0 in gerader Linie liegen, so schneiden 
sich die entsprechenden Geraden a und a\ h und 
5', c und c' . , . in Punkten, die alle auf einer Geraden 
liegen. 

Beweis. Seien in der That a und a\ b und b\ c und 
c' drei Paare entsprechender Geraden; da nach Voraussetzung 
die Geraden, welche die entsprechenden Eckpunkte der Drei- 
ecke a6c, a'b'c' verbinden, in demselben Punkte 0 zusam- 
menlaufen, so folgt aus Nr. 13, dass die entsprechenden Seiten 
a und a', b und 6', c und c' sich in drei Punkten einer ge- 
raden Linie schneiden ; aber es genügen zwei Punkte a 
bb\ um diese Gerade zu bestimmen; sie bleibt also dieselbe, 
wenn man statt c und c irgend zwei andere entsprecliende 
Geraden betrachtet. Zwei entsprechende Geraden schneiden 
sich also immer auf einer festen Geraden, welche wir mit s 
bezeichnen wollen; folglich sind die gegebenen Figuren col- 
linear; 0 ist das Centrum, s die Axe der Collineation. 



§ 0. Collineatiori. 



13 



18. Es seien in einer Ebene g zwei collineare Figuren 
o-j und gegeben: 0 das Centrum, s die Axe der CoUineation. 
Durch den Punkt 0 und ausserhalb der Ebene g ziehe man 
eine sonst beliebige Gerade, und auf ihr nehme man einen 
Punkt S^, aus welchem, als Projectionscentrum, die Figur 'g^ 
auf eine neue, durch s willkürlich gelegte Ebene g' projicirt 
werden soll. So erhält man in g' eine Figur A' B' er- 
weiche zu der gegebenen g^ = A, B,| . . . perspectivisch ist. 
Betrachtet man zwei Punkte A' und A2 der Figuren g' und 
(T2, w^elche einem und demselben Punkt A^ von g^ zugeordnet 
sind, als entsprechend, so sind die Punkte und Geraden von 
g' auf die Punkte und Geraden von g^ eindeutig bezogen, 
und schneiden sich je zwei entsprechende Geraden, wie A' ß'^ 
A2B2, auf einer festen Geraden g g' oder s. Folglich sind 
(Nr. 12) die Figuren g' und g^ perspectivisch und gehen die 
Strahlen A' Aj, B' B.^, . . . durch einen festen Punkt S.^. üeber- 
dies schneidet jeder Strahl A' A.2 die Gerade 0 S^ , denn die 
Punkte A', A2 liegen in den Seiten S,j Aj, 0 A^ des Dreiecks 
0 A.| S,|. Die Strahlen A'A2, B' Bj liegen nicht alle in der- 
selben Ebene, weil die Punkte A2, Bg, . . . willkürlich in der 
Ebene g zerstreut sind; der Punkt S2 gehört also der Geraden 
0 S| an. 

Hieraus schliesst man, dass zwei collineare Figuren auf 
unendlich viele Arten als Projectionen einer und derselben 
(in einer durch die Collineationsaxe gehenden Ebene liegen- 
den) Figur, aus zwei verschiedenen, geradlinig mit dem Col- 
iineationscentrum verbundenen, Punkten angesehen werden 
können. 

19. üebung. Gegeben das Centram 0 und die Axe s der 
Collineation und zwei entsprechende Punkte A und A' (mit 0 in 
derselben Geraden), die Figur zu construiren, die einer gegebenen 
Figur coUinear ist. 

Nehmen wir einen zweiten Punkt B der gegebenen Figur 
(Fig. 4). Um den entsprechenden Punkt B' zu erhalten, ist zu 
beachten, dass der Strahl B B' durch 0 gehen niuss, und 
dass sich die entsprechenden Geraden AB und A' B' 
(der einen und der andern Figur) auf der Axe $ schnei- 



14 



Elemente der projectivi^chen Geometrie. 



den müssen; B' ist also der Schnittpunkt von 0 B und der Ge- 
raden, -weiche A' mit dem Schnittpunkt von AB und s verbin- 
det *). Auf dieselbe Weise kann man eine beliebige Anzahl von 
Paaren entsprechender Punkte construiren; um die Gerade r' zu 
zeichnen, die einer gegebenen Geraden r entspricht, genügt es, 
den Punkt B' zu finden, der einem Punkte B der Geraden r ent- 
spricht und die Punkte B' und r s zu verbinden. 

Fig 4. 



0 







~7tt\ 

/Hj. \ 








/y 1 NiB 




5" 


i'/ / 


/ 1 \\J 


i' 










s 




A- 







Um den Punkt 1' zu finden (Fluchtpunkt) , der dem unend- 
lich fernen Punkt I ^^^j^^j^^^sc^^'^^^f einer gegebenen 
Geraden (eines von 0 ausgehenden Strahles 0 I z. B.) entspricht, 
viriederholt man die oben gegebene Gonstruction des Punktes B'; 
d. h. man verbindet einen andern Punkt A der ersten Pigur mit 
dem unendlich fernen Punkt I von Ol (zieht also AI [] Ol), 
verbindet A' mit dem Schnittpunkt von AI und verlängert 
bis Ol, so ist der Schnittpunkt der gesuchte Punkt 1', 

Alle Punkte, die I' analog sind (und den unendlich fernen 
Punkten der gegebenen ersten Pigur entsprechen), fallen auf eine 
Gerade i', die parallel s ist; i' ist die Pluchtlinie der zweiten 
Figur. Vertauscht man in der vorhergehenden Gonstruction die 
Punkte A und A'*i), so erhält man einen Punkt J (Fluchtpunkt) 
der Fluchtlinie j der ersten Figur. 



"'■) Diese Gonstruction zeigt, dass, wenn B auf .v fällt, B' mit B coin- 
cidirr, d. Ii. dass jeder Punkt von s sich selbst entspricht. 

■"'1) Oder: Lege durch A' eine beliebige Gerade J' A', dann eine Ge- 
rade JA durch A und den Schnittpunkt von J' A' mit durch 0 eine 
Gerade 0 J' || AM', der Schnittpunkt von 0 J' und JA ist der Flucht- 
punkt J, und durch J eine Gerade j parallel .? ist die Fluchtlinie der 
ersten Figur, 



§ 3, Collineation, 



15 



Setzen wir voraus, man habe statt der zwei entsprechenden 
Punkte A, A' (Fig. 5.) zwei entsprechende Geraden a, a\ die sich 

Fig. 5. 




s 



auf s schneiden. Jeder durch 0 gelegte Strahl schneidet sie in 
zwei entsprechenden Punkten A, A'. Um die Gerade b' zu er- 
halten, welche der Geraden b der ersten Eigur entspricht, genügt 
es, den Schnittpunkt bs mit dem Schnittpunkt von a' und dem 
durch 0 und a b gehenden Strahl zu verbinden *). 

Es können auch das Oentrum 0, die Axe s und die Flucht- 
linie j der ersten Figur gegeben sein (Fig. 6). Schneidet dann 
eine Gerade a der ersten Figur die Fluchtlinie j in J und die 



Fig. 6. 




Axe s in P, so liegt der entsprechende Punkt J' in gleicher Linie 
mit J und 0 in unendlicher Ferne von 0, aber auch auf der ent- 
sprechenden Geraden a', die ebenfalls durch P gehen muss, also 
ist a' 11 0 J. 

Um den Punkt A' zu finden, der einem gegebenen A ent- 
spricht, muss man die Gerade a' zeichnen, welche der beliebig 



Es folgt daraus, dass a' mit a coincidirt, wenn a durch 0 geht, 
d. h. jede durch 0 gehende Gerade entspricht sich selbst. 



IG 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



durch A gezogenen Geraden a entspricht. Dann ist der Durch- 
schnitt von a' mit 0 A der gesuchte Punkt A'. 

Die Construction der collinearen Figuren vorausgesetzt, seien 
0 das Oentrum, s die Axe der CoUineation und j die Fluchtlinie 
der ersten Figur. 

In der ersten Figur sei ein Kreis C gegeben (Fig 7, 
8, 9); diesem Kreise entspricht in der zweiten Figur eine Curve 
C, welche wir constrniren können, indem wir durch obige Me- 
thode die Punkte und Geraden bestimmen die den Punkten und 
Tangenten von C entsprechen. 

Zwei entsprechende Punkte M, M' der beiden Curven werden 
immer mit 0 in derselben Geraden liegen, nnd zwei entsprechende 
Sehnen (d. h. die Geraden MN, M' N', welche zwei Paare ent- 
sprechender Punkte verbinden) schneiden sich immer anf s; als 
speciellen Fall*), werden zwei entsprechende Tangenten m, m' 
(das sind Tangenten in zwei entsprechenden Punkten M, M') in 
einem Punkte von * zusammenlaufen. 

Es folgt aus der Construction, dass die Curve C, überein- 
stimmend mit dem Kreise, die zwei folgenden Eigenschaften be- 
sitzt : 

1. Jede Gerade in ihrer Ebene schneidet sie in zwei Punk- 
ten, oder ist eine Tangente, oder hat keinen Punkt mit ihr gemein: 

2. durch einen beliebigen Punkt ihrer Ebene kann man zwei 
Tangenten an die Curve ziehen, oder eine einzige (wenn der 
Punkt auf der Curve ist) oder gar keine. 

Da nach Nr. 17 zwei collineare Figuren so ange- 
sehen werden können, als seien sie durch das Zusam- 
menlegen zweier perspectivischer Ebenen entstanden., 
so ist die Curve C nichts anderes als irgend ein ebe- 
ner Schnitt eines schiefen Kegels mit kreisrunder 
Basis. Dieser Kegel (Kegelfläche) wird durch die Geraden ge- 
bildet, die von irgend einem Punkte (0) des Raumes aus die 
Punkte eines Kreises projiciren. Darum heisst die Curve C ein 
Kegelschnitt; die collineare Figu.r eines Kreises ist 
ein Kegelschnitt. 



Die Tangente in M wird als die Gerade angesehen, welche durch 

M und den unendlich naheliee-enden Punkt der Curve ffehr. Baltzer. 
■2.3 

Planimetrie S. 



§ 3. Collineatioii. 



17 



Die Punkte der Flucktlinie j entsprechen den unendlich fernen 
Punkten der zweiten Figur. Nun kann der Kreis C die Linie j 

Fig. 7. 




in zwei Punkten J| J2 schneiden (Fig. 7) oder j in einem Punkte 
J berühren (Fig. 8) oder keinen Punkt mit j gemein haben (Fig. 9), 



Fig. 8. 




Im ersten dieser Fälle (Fig. 7) wird die Ourve C zwei 
Punkte J\ , in unendlicher Ferne in der Richtung der Ge- 
raden 0 J|, 0 J2 haben. Den beiden Geraden, welche den Kreis 
L. Cremona, Elem, d. project. Geometrie. 2 



18 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



in J| und J2 berühreD, werden zwei Geraden f respective parallel 
mit 0 und 0 Jj) entsprechen, welclie so angesehen werden 
können, dass sie die Curve C in den unendlich fernen Punkten 
J'i und J'2 als Tangenten berühren. Diese beiden Tangenten,, 
deren Berührungspunkte in unendlicher Perne liegen, heissen 
Asymptoten der Ourve C, die selbst Hyperbel heisst. 

Im zweiten Pa 11 (Pig. 8) hat 0' einen einzigen Punkt 
im Unendlichen; er muss als Berührungspunkt der Curve mit der 
unendlich fernen Geraden j' angesehen werden, welche der Tan- 
gente j im Punkt J an den Kreis 0 entspricht. Diese Curve C 
heisst Parabel. 

Im dritten Fall (Pig. 9) hat die Curve C keinen unend- 
lich fernen Punkt und heisst Ellipse. Man zeigt auf dieselbe 



Art, dass wenn in der ersten Pigur ein Kegelschnitt C gegeben 
ist, die correspondirende Curve C in der zweiten Pigur eben- 
falls ein Kegelschnitt sein wird. 

Das CoUineationscentrum ist ein Punkt, der sich selbst ent- 
spricht und jeder Strahl, der durch dasselbe geht, entspricht sich 
selbst. Geht also eine Curve C durch 0 (Pig. 10), so geht die 
entsprechende Curve C ebenfalls durch 0 und die beiden Curven 
haben in diesem Punkte eine gemeinsame Tangente. In Pig. 10 



Fig. 9. 




§ 3. Collineation. 



19 



ist ausserdem die Oollineationsaxe s und der dem Punkte A' des 
Kreises entsprechende Punkt A als gegeben vorausgesetzt. 



Fig. 10. 




0 



Ebenso ist jeder Punkt der Oollineationsaxe sich selbst ent- 
sprechend; wenn also eine Curve der ersten Figur die Grerade s 
in einem Punkte berührt, so berührt auch die entsprechende Curve 
der zweiten Figur die Gerade s in demselben Punkte. In Fig. 10' 
geben wir uns einen Kreis, der vermittelst seiner Tangenten- 
coUinear umzuwandeln ist, setzen ausserdem voraus, die Oolli- 
neationsaxe s berühre den Kreis und das CoUineationscentrum 0 
sei ein beliebiger Punkt und geben uns die Gerade a der zweiten 
Figur, die der Tangente a' des Kreises entspricht. 

Beachten wir zwei Specialfälle: 

1. Die Oollineationsaxe s kann ganz im Unend- 
lichen liegen; dann sind zwei entsprechende Geraden immer 
parallel, oder, was dasselbe ist, zwei entsprechende Winkel 
sind immer gleich. In diesem Falle sagt man, dass die beiden 
Figuren ähnlich und ähnlich liegend oder homothe- 
tisch*) sind, und dass der Punkt 0 der Aehnlichkeitspunkt 
ist. In zwei homothetischen Figuren entspricht immer ein Kreis 
einem Kreise. 



"■•) Homothe tische Figuren können als Schnittfiguren paralleler 
Ebenen imd ehier Pyramide oder eines Kegels angesehen werden; j?, die 
Durchschnittslinie der beiden EVjenen, liegt unendlich fern. 



20 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



2. Der Punkt Oj im Gegentlieil, kann unendlich ferne lie- 
gen; alsdann sind die Geraden (Projectionsstrahlen), welche Paare 



Fig. 10'. 




entsprechender Punkte verbinden, parallel einer festen Richtung, 
In diesem Ealle sind die Eiguren affin - colli near und die Ge- 
rade s ist die Affinitätsaxe Einem unendlich fernen 
Punkte entspricht ein unendlich ferner Punkt und die unendlich 
ferne Gerade entspricht sich selbst. Daraus folgt, dass einer 
Ellipse eine Ellipse, einer Hyperbel eine Hyperbel, einer Parabel 
eine Parabel, einem Parallelogramm ein Parallelogramm entspricht. 

§ 4. Colliiieare Figuren im Räume. 

20. Setzen wir jetzt voraus, dass wir eine aus Punkten, Ebenen 
und Geraden zusammengesetzte Eigur haben, die ganz beliebig 



") Baltzer, Stereometrie S. -^WT 

'"'!) Sind zwei Figuren af f in-collinear, so können sie als ebene 
Schnitte eines Prismas oder eines Cylinders angesehen werden. 



§ 4. Collineare Figuren im Räume. 



21 



im ßaume liegen; man macht davon die Relief-Perspective *) 
auf folgende Weise. Man nimmt, einen Punkt 0 im Eaume als 
Projections- oder GoUineati ons-Centrum; eine Oolli- 
neationsebene tt, von welcher jeder Punkt sein eigenes Bild 
sein soll und ausserdem einen Punkt A', als Bild eines Punktes 
A der abzubildenden Pigur, so dass AA' durch 0 geht. Es sei 
nun B irgend ein anderer Punkt; um sein Bild B' zu erhalten, 
legen wir die Ebene OAB und operiren wir in dieser Ebene, 
wie wenn es sich darum handelte, zwei collineare Figuren zu 
construiren, von welchen 0 das Centrum, die Schnittlinie der 
beiden Ebenen OAB und tc die Axe und A , A' zwei entspre- 
chende Punkte wären. Der Punkt B' wird der Schnittpunkt von 
0 B mit der Geraden sein, welche durch A' und den Schnittpunkt 
der Ebene n und der Geraden AB. geht. Nr, 19. Fig. 4. 

Sei 0 ein dritter Punkt; sein Bild C wird der Schnittpimkt 
von 0 0 mit A' ,D oder mit B' E (in sein, wo D und E die 
Punkte sind, in welchen die Ebene n von AO oder BO ge- 
troffen wird. 

Dieses Verfahren wird für jeden Punkt der gegebenen Figur 
den entsprechenden Punkt des Bildes geben u.nd zwei entspre- 
chende Punkte werden immer auf einer nach 0 gerichteten Ge- 
raden liegen. Jede durch 0 gelegte Ebene g schneidet die beiden 
räumlichen (körperlichen) Figuren (die gegebene Figur und ihr 
Bild) nach zwei coUinearen Figuren, für welche 0 das Centrum 
und die Gerade g 7t die Axe der OoUineation ist. Daraus folgt, 
dass jeder Geraden der gegebenen Figur eine Gerade im Bild 
entspricht, und dass zwei entsprechende Geraden immer in einer 
durch 0 gehenden Ebene liegen und sich in einem Punkte der 
Ebene it schneiden. 

Ich behaupte überdies, dass jeder Ebene die der ge- 
gebenen Figur angehört und nicht durch 0 geht, auch eine Ebene 
a' im Bilde entsprechen muss. In der That, den Geraden a, 

c... der Ebene a entsprechen ebenso viele Geraden a', 6', 
c' . . .\ und den Punkten a 6, ac . . . b c . . . die Punkte a' 6', 
a'c',... b' c' . . , Mit andern Worten, die Geraden a', 6', c' . . , 
sind der Art, dass sie sich paarweise schneiden, ohne indess 



■■'■) Die Aufgabe kann bei der Construction der Reliefe und der 
Theaterdecorationen vorkommen (nach Poudra). 



22 



Elemente der prqjectivischen Geometrie. 



einen Allen gemeinsamen Punkt zu haben; also liegen sie in 
derselben Ebene a' 

Zwei entsprechende Ebenen a-, c/J schneiden sich auf der 
Ebene %. Denn alle Punkte und alle Geraden dieser Ebene ent- 
sprechen sich selbst; also fällt die Gerade n mit der Geraden 
a 71 zusammen. 

Die beiden Ebenen a, a enthalten offenbar zwei perspecti- 
vische Eiguren. (Wie die Ebenen er, a' von Nr. 9 und 11.) 

a) In jeder durch 0 gehenden Ebene <7 gibt es eine Flucht- 
linie welche das Bild der unendlich fernen Geraden derselben 
Ebene ist. Die Eluchtlinien zweier Ebenen o-j , haben einen 
gemeinsamen Punkt, der das Bild des unendlich fernen Punktes 
der Linie cTj ö".) ist. Die Grenzlinien aller Ebenen a schneiden 
sich also paarweise: und da sie nicht alle durch denselben 
Punkt gehen (weil die durch 0 gehenden Ebenen nicht alle 
durch dieselbe Gerade gehen), so müssen sie alle in einer Ebene 
(jp' liegen. 

Diese Ebene rjp', welche man die Flucht- oder Grenz- 
Ebene nennen kann, ist der Ebene tt parallel, denn alle Flucht- 
linien der Ebenen g sind derselben Ebene % parallel, 

Die Fluchtebene cp' ist also der Ort der Geraden, die den 
unendlich fernen Geraden aller Ebenen des Raumes entsprechen 
und folglich auch der Ort der Punkte, die den unendlich fernen 
Punkten alier Geraden des Raumes entsprechen: denn die unend- 
lich ferne Linie einer beliebigen Ebene a ist nichts anderes als 
die unendlich ferne Gerade der Ebene diu-ch 0 und parallel mit 
fö; ebenso fällt der unendlich ferne Punkt einer beliebigen Ge- 
raden a zusammen mit dem unendlich fernen Punkt der Geraden, 
die durch 0 geht und parallel a ist. 

b) Die amendlich fernen Punkte des ganzen Raumes sind also 
der Art, dass ihre Bilder die Punkte einer und derselben Ebene 
(f' (der Fluchtebene) sind. 

Es ist also natürlich, alle unendlich fernen Punkte des 
Raumes als in derselben Ebene q,, (der unendlich fernen 



Da c' sowohl o! als V schneidet, ohne durch den Punkt a' fc' zu 
gehen, so hat c' zwei Punkte in der Ebene a' h\ folglich liegt die ganze 
Gerade c' in der Ebene «' 6' . . . 



§ 5. Geometrische Gebilde. 



23 



Ebene) befindlich zu betrachten, welche als Bild die Ebene q)^ 
hat *). 

Wird der Begriff der unendlich fernen Ebene cp angenom- 
men, so ist der unendlich ferne Punkt einer beliebigen Geraden a 
nichts anderes als der Punkt a cp , und die unendlich ferne Ge- 
rade einer beliebigen Ebene a ist nichts anderes als die Gerade 
u cp. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie sich in einem Punkte 
der Ebene cp schneiden; zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre 
Durchschnittslinie in der Ebene cp liegt etc. 

§ 5, Geometrische Gelbiklec 

21. Wir nennen Pimktreihe eine Figur A, B, C... 
die aus Punkten zusammengesetzt ist, welche auf einer Ge- 
raden liegen: eine solche ist z. B. die Figur, die aus der 
'Operation der Nr. 5 oder 7 entstellt. 

Der Ebenenbüschel ist eine Figur 7', . . . aus 

Ebenen gebildet, die alle durch dieselbe Gerade (Axe) gehen: 
z. V). die Figur, die aus der Operation der Nr. 4 oder 6 
liervorgeht. 

Der Strahlenbüschel ist eine Figur a, ö, c,... die 
aus Geraden zusammengesetzt ist, welche alle in derselben 
Ebene liegen und von einem festen Punkte (Centrum... 
Mittelpunkt des Büschels) ausgehen: z. B. die Figur, 
welche man erhielte, indem man die Operation von Nr. 2 auf 
eine Punktreihe oder diejenige von Nr. 3 auf einen Ebenen- 
büschel anwendet. 

Das ebene Gebilde ist aus Punkten und Geraden zu- 
sammengesetzt, die alle in einer Ebene liegen; es ist z.B. 
das Ergebniss der Operation von Nr, 3. 

Der Bündel (Strahlenbündel, Ebenenbündel) ist eine 
Figur aus Geraden und Ebenen zusammengesetzt, die alle 
durch einen festen Punkt (Mittelpunkt des Bündels) 
gehen: z. B. die Figur, die aus der Operation Nr. 2 her- 
vorgeht. 

22. Die drei ersten Figuren können durch eine Pro- 

Baltzer, Stereom. S. »84? 



24 



Elemente der projectivischen Geometi-ie. 



jectioii oder einen Schnitt aus einander abgeleitet werden^ 
Denn : 

Aus einer Punktreihe A, B, C... erhält man einen 
Ebenenbüschel s (A, B, C...), indem man die Punktreihe 
aus einer Axe s (Nr. 4) projicirt ; man erhält aus der Punkt- 
reihe einen Strahlenbüschel 0 (A, B, C . . .) , indem man die 
Reihe aus einem Punkte 0 projicirt (Nr. 2). 

Aus einem Ebenenbüschel erhält man die 

Punktreihe s (c^ , ^, . . .) i indem man ersteren durch eine 
Transversale s schneidet (Nr. 5), man erhält einen Strahlen- 
büschel c7 (c;, z^*, ii^clem man den Büschel durch eine 
Transversalebene a schneidet (Nr. 3). 

Aus einem Strahlenbüschel a, c . . . erhält man die 
Punktreihe a (a, ö, c . . .), indem man den Büschel durch eine 
Transversalebene a schneidet (Nr. 3) ; man erhält den Ebenen- 
büschel 0 (a, 6, c...), indem man den Strahlenbüschel aus 
einem gegebenen Centrum 0 projicirt (Nr. 2). 

23. Analogerweise werden die beiden letzten Figuren 
mit Hülfe der Operation 2 oder B auseinander abgeleitet; 
in der That, projicirt man von einem Centrum 0 aus ein 
ebenes Gebilde, so erhält man einen Bündel; und umgekehrt, 
schneidet man einen Bündel durch eine Transversal ebene, so 
erhält man ein ebenes Gebilde. Zwei ebene perspectivische 
Figuren (Nr. 9) sind zwei Schnitte durch denselben Bündel, 

24. Die Elemente der Punktreihe sind die Punkte; 
die Elemente des Ebenenbüschels sind die Ebenen, die 
Elemente des Strahlenbüschels sind die Geraden oder 
Strahlen. 

Im ebenen Gebilde kann man sowohl die Punkte als 



""'") Wir bezeichnen mit s (A, B, 0 ...) die Reihe der Ebenen * A, 
s B, 5 C . . . ; mit 0 (A, B, C . . ,) die Reihe der Strahlen 0 A, OB, 0 C . . .• 
mit * (a, ^, . . .) die Reihe der Punkte ä «, s ß ^ s y , , .] mit («, ^, 
y . . die Reihe der Geraden tf et, ö ö y. . . , Um die Reihe der Punkte 
A, B, C., zu bezeichnen, bedienen wir uns bald des Zeichens A, B, 
C , . . . bald des Zeichens ABC... 



§ 5. Geometrische GleMlde» 



25 



die Geraden als Elemente ansehen. Betrachtet man die 
Punkte als Elemente, so sind die Geraden des ebenen 
Gebildes eben so viele Punktreihen; betrachtet man aber 
die Geraden (Strahlen) als Elemente, so sind die Punkte 
des ebenen Gebildes die Centren von ebenso vielen Strahlen- 
büscheln. 

Das ebene Gebilde, in welchem die Punkte die Elemente 
sind, enthält also eine unendliche Anzahl von Punktreihen 
und das ebene Gebilde, dessen Elemente die Strahlen sind, 
enthält eine unendliche Anzahl von Strahlenbüscheln 

In dem Bündel kann man ebenso gut die Ebenen als 
auch die Geraden oder Strahlen als Elemente ansehen. Ninrmt 
man die Ebenen als Elemente, so sind die Geraden des 
Bündels die Axen von ebenso vielen Ebenenbüscheln; sieht 
man aber die Geraden als Elemente an, so sind die Ebenen 
ebenso viele Strahlenbüschel. 

Der Bündel enthält also unendlich viele Ebenenbüschel 
oder unendlich viele Strahlenbüschel, je nachdem man die 
Ebenen oder die Geraden als Elemente ansieht. 

25. Der drei-dimensionale Raum kann auch als eine 
geometrische Figur angesehen werden, deren Elemente die 
Punkte oder die Ebenen sind. 

Nimmt man die Punkte als Elemente, so sind die Ge- 
raden des Raumes eben so viele Punktreihen und die Ebenen 
des Raumes eben so viele ebene Gebilde. Betrachtet man aber 
die Ebenen als Elemente, so sind die Geraden des Raumes 
die Axen von eben so vielen Ebenenbüscheln und die Punkte 
des Raumes die Centren von eben so vielen Ebenenbündeln. 
Der Raum schliesst also eine unendliche Anzahl von ebenen 
Gebilden '''^j oder eine unendliche Anzahl von Ebenenbün- 



■"■) Eine dieser Pimktreihen hat alle ihre Punkte in unendliclier Ferne,^ 
jede andere Reihe hat nur einen Punkt im Unendlichen. 

■"'') Die unendlich ferne Gerade gehört einer unendlichen Anzahl 
von Strahlenbüscheln an, die alle ihr Centrum in unendlicher Ferne 
haben, deren Strahlen folglich alle parallel sind. 

''i') Eines von ihnen ist ganz in unendlicher Ferne. 



26 



Elemente der jJi'ojectivischen Geometrie, 



cleln'^') ein, je naclidem man den Punkt oder die Ebene nimmt, 
um ihn zu construiren. 

26. Die drei ersten Figuren, d. h. die Punktreihe, der 
Ebenenbüschel und der Strahlenbüschel, welche die Eigen- 
schaft besitzen, dass jede aus jeder andern mit tlülfe einer 
Operation (Nr. 2, 3...) abgeleitet werden kann, führen den 
gemeinsamen Namen: Geometrische Grundgebilde der 
ersten Stufe. 

Die vierte und fünfte Figur, d. h. das ebene Gebilde und 
der Bündel, welche ebenso auseinander abgeleitet werden 
können (mit der Operation Nr. 2, 3) und die ausserdem 
die Eigenschaft besitzen, eine unendliche Anzahl Yon Grund- 
gebilden der ersten Stufe in sich zu schliessen, heissen geo- 
metrische Grundgebilde der zweiten Stufe. 

Der Raum selbst, der eine unendliche Anzahl von Ge- 
bilden der zweiten Stufe einschliesst, wird als Grundgebilde 
der dritten Stufe angesehen. 

Es gibt also sechs geometrische Grundgebilde, drei der 
ersten Stufe, zwei der zweiten und eines der dritten Stufe''''). 

§ 6. Bas Priiicip der Dualität oder Reciprocität '^j. 

27. Die Geometrie im Allgemeinen studirt die Erzeu- 
gung und die Eigenschaften der Figuren, die 1. im unend- 
lichen Raum, 2. in einer Ebene, 3. in einem Bündel liegen. 
In den drei Fällen ist die betrachtete Figur nichts anderes 
als ein Inbegriff von Elementen oder, was auf dasselbe heraus- 
kommt, die Gesammtheit der successiven Lagen, die von 
einem beweglichen oder veränderlichen Elemente einge- 
nommen werden. Das bewegliche Element, weiches die Fi- 
guren erzeugt, kann im ersten Fall der Punkt oder die Ebene 
sein, im zweiten Fall der Punkt oder die Gerade, im dritten 



"'■') Unter diesen hat es eine unendliche Zalil solcher, deren Centrum 
in unendlicher Ferne und deren Strahlen folglich parallel sind. 
^■1) Staudt, Geom. d. Lage, 26, 28. 
■--i) Staudt, ibid. 66. 



§ 6, Das Princip der Dualität oder Reciprocität. 



27 



Fall die Ebene oder die Gerade. Es gibt also immer zwei 
correlative oder reciproke Arten der Erzeugung der Fi- 
guren oder der Ableitung ihrer Eigenschaften und eben darin 
besteht die geometrische Dualität, welche die Coexistenz von 
je zwei Figuren (und folglich auch ihrer Eigenschaften) ist: 
zwei coexistirende (correlative oder reciproke) Figuren haben 
die gleiche Entstehung und differiren nur durch die Art des 
erzeugenden Elementes. 

In der Raumgeometrie sind die Punktreihe und der Ebenen- 
büschel, das ebene Gebilde (aus Punkten) und der Bündel 
(aus Ebenen), das ebene Gebilde (aus lauter Geraden) und 
der Bündel (aus lauter Strahlen) correlative Gebilde. Der 
Strahlenbüschel ist nur zu sich selbst correlativ. 

In der Geometrie der Ebene sind die Punktreihe und der 
Strahlenbüschel correlative Gebilde. 

In der Geometrie des Bündels sind der Ebenenbüschel 
und der Strahlenbüschel correlative Gebilde. 

Die Geometrie der Ebene und die Geometrie des Bün- 
dels, im drei-dimensionalen Raum betrachtet, sind correlativ. 

28. Es folgen einige Beispiele von correlativen Sätzen 
der Raumgeometrie. Zwei correlative Sätze werden durch 
Vertauschung der Elemente Punkt und Ebene auseinander 
abgeleitet. 



1. Zwei Punkte A, B bestim- 
men eine Gerade (die Gerade 
A B, welche durch die gegebenen 
Punkte geht), welche noch unend- 
lich viele andere Punkte enthält. 

2. Eine Gerade a und ein P u n k t 
B ausserhalb derselben bestim- 
men eine Ebene aB, welche 
die Gerade mit dem Punkte 
verbindet. 

3. Drei Punkte A, B, C, die 
nicht in derselben Geraden lie- 
gen, bestimmen eine Ebene: 
die Ebene A B 0 geht durch die 
drei Punkte. 



Zwei Ebenen ß bestim- 
men eine Gerade {aß ist der 
Schnitt der gegebenen Ebenen), 
durch welche unendlich viele 
andere Ebenen gehen. 

Eine Gerade aund eine Ebene 
ß (die nicht durch die Gerade 
geht) bestimmen einen Punkt 
a ß (wo die Gerade die Ebene 
schneidet). 

Drei Ebenen o;, ß^ /, die 
nicht durch dieselbe Gerade 
gehen, bestimmen einen Punkt: 
im Punkte ß y schneiden sich 
die drei Ebenen. 



28 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



4. Zwei Geraden, die einen 
gemeinsamen Punkt haben, 
liegen in derselben Ebene. 

5. Vier Punkte A, B, C, D 
sind gegeben; wenn sich die Gre- 
raden A B und 0 D schneiden, 
so liegen die vier Punkte in der- 
selben Ebene; folglich schnei- 
den sich auch die Geraden B 0 
und A D, ebenso A G und B D. 

6. Wenn eine beliebige Anzahl 
von Geraden sich paarweise 
schneiden und nicht durch den- 
selben Punkt gehen, so liegen 
sie alle in einer Ebene (Geraden 
eines ebenen Gebildes) *). 



Zwei Geraden, die in dersel- 
ben Ebene liegen, haben einen, 
gemeinsamen Punkt. 

Vier Ebenen § sind 

gegeben; wenn sich die beiden 
Geraden ci ß und y ö schneiden, 
so gehen die vier Ebenen durch 
denselben? unk t, folglich schnei- 
den sich auch die Geraden ß y 
u.nd' aö^ ebenso ay und ß d. 

Wenn eine beliebige Anzahl 
von Geraden sich paarweise 
schneiden und nicht in derselben 
Ebene liegen, so gehen sie alle 
durch denselben Punkt (Ge- 
raden eines Bündels) 



7, Die folgende Aufgabe lässt zwei correlative Lösungen zu : 
„Durch einen gegebenen Punkt A in einer Ebene a eine Gerade 
zu legen, die eine gegebene Gerade r schneidet und in dieser 
Ebene a. liegt." (r liegt nicht in a u.nd geht nicht durch A.) 



Man verbindet den Punkt A 
mit dem Punkt r u. 

8. Aufgabe. Durch einen 
gegebenen Punkt A eine Ge- 
rade zu legen, welche zwei ge- 
gebene Geraden c (die nicht 
in derselben Ebene liegen und 
nicht durch A gehen) schneidet. 

Auflösung. Man construirt 
den Durchschnitt der Ebenen 



Man construirt die Schnittlinie 
der Ebene a und der Ebene r A, 

Aufgabe. In einer gegebenen 
Ebene a eine Gerade zu ziehen, 
welche zwei gegebene Geraden 
6, c schneidet (die keinen ge- 
meinsamen Punkt haben und 
nicht in. der Ebene w liegen). 

Auflösung, Man verbindet 
den Punkt ah mit dem Punkt c^c. 



A & , A c. 

29. In der Eaumgeometrie sind das Dreieck (System von 
drei Punkten) und das Dreikant (System von drei Ebenen) cor- 
relativ; der Scheitel, die Seiten, die Kanten des Dreikants sind 
correlativ zu der Ebene, den Eckpunkten und den Seiten des 



") Siehe Anmerkung zu Nr. 20. 

"i) Sind a, 6, c... die Geraden, so rauss, da a 6, a c, 6 c drei ver- 
schiedene Ebenen sind, ihr gemeinsamer Punkt der Schnittpunkt der 
Geraden a, 6, c... sein. 



§ 6. Das Princip der Dualität oder Reciprocität. 



29 



Dreiecks; dem Lehrsatz Nr. 12 mid 14 ist also folgender reciprok 
verwandt : 

Wenn zwei Dreikante a ß' y' und a" ß" y" die Eigen- 
schaft haben, dass die Kanten ß' y' und ß" y" ^ ebenso 
y' a' nnd y" a" ^ ebenso aß' und a" ß" sich in drei Ebenen 
^0? /o befinden, welche durch dieselbe Gerade gehen, 
so liegen die Greraden a' a'\ ß' ß'\ y' y" in derselben 
Ebene. 

Der Beweis ist derselbe, wie zu Nr. 12 und 14, indem man 
die Elemente Punkt und Ebene vertauscht. Haben z. B, die 
beiden Dreikante verschiedene Scheitel S', S" (Nr. 12), so sind 
die Punkte, in welchen sich die Kantenpaare schneiden, die Eck- 
punkte eines Dreiecks, dessen Seiten a' a" ^ ß' ß" ■> 7' v" sind; 
diese letzteren Geraden sind also in derselben Ebene (der Ebene 
des Dreiecks). 

Ebenso wird der Beweis für den Fall, dass die beiden Drei- 
kante denselben Scheitel S haben, zu dem Beweis des analogen 
.Falles zweier Dreiecke A' B' C und A" B" 0" (in derselben Ebene) 
von Nr. 14 correlativ sein. Der Lehrsatz wird auch gefunden, 
indem man vom Punkte S aus die Figur projicirt, welche den 
Satz Nr. 13 ausdrückt. 

Man kann den Beweis zu dem Satze finden, der dem in Nr, 11 
und 13 correlativ ist, und der so ausgedrückt sei : 

Wenn in zwei Dreikanten a' ß' y'^ a" ß" y" die Geraden 
a' a" , ß' ß'\ y' y" in derselben Ebene liegen, so bestimmen die 
Kantenpaare ß' y' und ß" y" ^ y' a! und y" a'\ a' ß' und a" ß" 
drei Ebenen, welche durch dieselbe Gerade gehen. 

30. In der ebenen Geometrie werden zwei reciproke Fi- 
guren oder Sätze von einander abgeleitet, indem man die 
Elemente Punkt und Gerade vertauscht. 

Hier folgen einige Beispiele *) : 

1. Zwei Punkte A, B be- 
stimmen eine Gerade, die Ge- 
rade A B. 

2. Vier Punkte A, B, C, D 
(Fig. 11), von denen nicht mehr 
als zwei in einer Geraden liegen. 



Zwei Geraden a, 6 bestim- 
men einen Punkt, den Punkt 
a b. 

VierGeraden a,b^c,d(Fig. 12), 
von denen nicht mehr als zwei 
durch denselben Punkt gehen, 



'"■) Die Punkte und die Geraden, um die es sich handelt, liegen in 
derselben Ebene. 



30 



Elemente der projectivisclien Geometrie, 



bestimmen eine Figur, welche 
man ein vollständiges Vier- 
eck nennt. 

Fig. 'II. 



A 




Man nennt Eckpunkte die 
obigen vier Punkte A, B, C, D, 
und Seiten desselben Vierecks 
die sechs Geraden, welche sie 
paarweise verbinden. Zwei Sei- 
ten, welche nicht durch den glei- 
chen Eckpunkt gehen, heissen 
gegenüberliegende; es hat 
also drei Paare gegenüberliegen- 
der Seiten B 0 und A D, 0 A und 
BD, ABundCD. DiePunkteE, 
F, G, in denen sich je zwei gegen- 
überliegende Seiten schneiden, 
heissen Diagonalpunkte, und 
das Dreieck EEG heisst das 
Diagonaldreieck des voll- 
ständigen Vierecks. Das vollstän- 
dige Viereck enthält drei einfache 
Vierecke: AG BD, A B G D, 
A B D C (Eig. 13). 

3. Allgemein: 

Ein voUständigesVieleck 
(^^ Eck) ist ein System von n 
Punkten (oder Eckpunkten) 

mit den ^ ^^^^ Geraden oder 

Seiten, welche sie paarweise 
verbinden. 



bestimmen eine Eigur, welche 
man ein vollständiges Vier» 
seit nennt. 

Fig. -n. 




Die vier Geraden heissen die 
Seiten des Vier seits und seine 
Eckpunkte sind die sechs 
Punkte, in denen sich je zwei 
der vier Seiten schneiden. Zwei 
Eckpunkte, die nicht auf dersel- 
ben Seite liegen, heissen gegen- 
überliegende; es hat also drei 
Paare gegenüberliegender Eck- 
punkte b c und a d, c a und b 
a b und c d. Die Geraden e, /\, ^, 
welche die gegenüberliegenden 
Eckpunkte verbinden, heissen 
Diagonallinien; unddasDrei- 
seit efg heisst das Diagonal- 
dreiseit des vollständigen Vier- 
seits. Das vollständige Vierseit 
enthält drei einfache Vierseite: 
acdb, adcb^ acbd (Fig. 14). 

Ein vollst an digesVielseit 
(n Seit) ist ein System von n 
Geraden (oder Seiten) mit den 

( iX 11 

— - Punkten oderEckpunk- 

ten, in denen sie sich paarweise 
schneiden. 



§ 6. Das Princip der 

4. Die Lehrsätze von Nr, 
reciprok. 

Fig, 13. 



A 




5. Wenn zwei vollständige 
Vierecke A B C D, A'B'C'D' 
die Eigenschaft besitzen, dass 
von den sechs Seitenpaaren fünf, 
AB und A'B', BO und B' C, 
C A und 0' A', A D und A' D' 
BD und B' D' sich in fünf Punk- 
ten einer Geraden s schneiden, 
so schneidet sich auch das sechste 
Paar 0 D und 0' D' aufs (Pig. 15). 



Fig. '15. 




Beweis: In Folge der Voraus- 
setzung sind nach Nr. 15 die Drei- 



)iialität oder Reciprocität, 31 
13 und 14 sind correlativ oder 



Fig. '14. 




Wenn zwei vollständige Vier- 
seite a 6 c f?, a' b' c' d' die Eigen- 
schaft besitzen, dass die fünf 
Paare der Eckpunkte (von den 
sechs Paaren) a b und a' b', b c 
und ca und c'a', ad und 

a' d'j h d und b' d' auf fünf Gre- 
raden liegen, die in e i n e m Punkte 
S zusammenlaufen, so liegt auch 
das sechste Paar Eckpunkte c d 
und c' d' auf einer nach S gerich- 
teten Geraden (Fig. 16). 



Fig. '16. 




Beweis; In Polge der Voraus- 
setzung sind nach Nr. 14 die Drei- 



32 



Elemente der projectisdsclien Geoaietrie. 



ecke ABO, A' B' 0' perspecti- 
visch, folglich laufen die Geraden 
AA', BB', CC in einem Punkt 
S zusammen. Ebenso sind die 
Dreiecke ABD, A' B' D' per- 
spectivisch ; folglich geht DD' 
auch durch S, den Schnittpunkt 
von A A' und B B'. Daraus folgt, 
dass die Dreiecke B 0 D, B' C D' 
auch perspectivisch sind, darum 
schneiden sich C D und C D' in 
einem Punkte der Geraden s, 
welche durch den Schnittpunkt 
von B C und B' C und den 
Schnittpunkt von B D und B' D' 
bestimmt ist, w. z. b, w. *j 



Seite a b c, a' b' c' perspectivisch; 
die Punkte aa'^bh\ cc' liegen also 
auf derselben Geraden s. Ebenso 
sind die Dreiseite abcl^ a' b' d' 
perspectivisch, also liegt der 
Punkt d d' auf der Geraden s, 
welche durch die Punkte a a', 
h b' geht. Daraus folgt, dass die 
Dreiseite h c rf, b' c' d' auch per- 
spectivisch sind; also liegen die 
Punkte c d und c' d' in gerader 
Linie mit dem Punkt S, welcher 
durch die Geraden {b c) {¥ c') und 
(b d) {h' d') bestimmt ist, w. z. 
b. w. 



31. In der Raumgeometrie ist das vollständige Vielflach (im 
Strahlenbündel) von n Seiten correlativ zu dem vollständigen 
Vieleck mit n Eckpunkten*^). Ein vollständiges Vielkant mit 
ii Kanten ist correlativ dem vollständigen Vielseit mit n Seiten. 
Ein vollständiges Vielkant ist ausrn Geraden gebildet, die aus 

Vi (tx 1 ) 

demselben Punkt (Scheitel) gehen mit den . — ^- — ^ Ebenen (Sei- 

ten), welche durch je zwei jener Geraden gehen. 

Die zwei folgenden Lehrsätze der Baumgeometrie sind unter 
sich correlativ und auch zu den zwei vorangehenden Lehrsätzen 
(Nr, 30. 5)., die unter sich correlativ sind (in der Planimetrie). 

Wenn zwei vollständige Vier- 
flache (im Strahlenbündel, mit 
demselben oder verschiedenen 
Scheiteln) a ß y 8, a' (3' y' 8' 
die Eigenschaft besitzen, dass 
fünf P aare entsprechender Kan- 
ten in fünf Ebenen liegen, die 



Wenn zwei vollständige Vier- 
kante (mit demselben oder ver- 
schiedenen Scheiteln) ab c f/, 
a' b' d d' die Eigenschaft besitzen, 
dass fünf Paare entsprechender 
Seiten sich in fünf Geraden 
schneiden, die in einer Ebene 



'"■) Beide Sätze gelten auch, wenn die beiden Figm'en in verschie- 
denen Ebenen liegen. 

*1) Ein vollständiges Vielflach (im Stralilenbündel) ist von n Ebenen 

gebildet, die dm-ch denselben Punkt (Scheitel) gehen, mit den ~ 

Kanten, in denen sich die Ebenen paarweise schneiden. 



7. Projectivisclie Gebilde. 



33 



durch dieselbe Gerade s gehen, 
so liegt auch das sechste Kanten- 
paar in einer durch s gehenden 
Ebene. 



(j liegen, so wird auch die 
Schnittlinie des sechsten Seiten- 
paares in der Ebene er liegen. 



Die Beweise dieser Lehrsätze unterscheiden sich von den- 
jenigen des Satzes Nr. 5 nur in der Vertauschung der Elemente 
Punkt und Ebene; u.nd so wie die Sätze Nr. 5 eine Eolge der Sätze 
Nr, 12 und 13 sind, so sind obige zwei Lehrsätze eine Eolge von 
Nr. 29. 

Haben die beiden Vierflache denselben Scheitel 0, so kann 
der Satz links auch abgeleitet werden, indem man vom Punkte 0 
(Nr. 2) aus die Figur projicirt, welche den Satz Nr. 5 rechts aus- 
drückt. Unter derselben Voraussetzung zieht man durch das 
gleiche Verfahren den obigen Satz rechts aus dem Satze Nr. 5 links. 

32. In der Geometrie des Bündels werden zwei correlative 
Sätze oder Eiguren von einander abgeleitet, indem man die Ele- 
mente Ebene und Gerade vertauscht. So wie die Geometrie des 
Bündels zu derjenigen der Ebene in Bezug auf den unendlichen 
Raum correlativ ist, so kann die eine der beiden Geometrien aus 
der andern abgeleitet werden, indem man die Elemente Punkt 
und Ebene vertauscht. Die Geometrie des Bündels kann auch 
aus der ebenen Geometrie abgeleitet werden, indem man die Pro- 
jection von einem Centrum aus macht (Nr. 2). 

Aus der Geometrie des Bündels kann diejenige der sphäri- 
schen Eiguren abgeleitet werden, indem man den Bündel durch 
eine Kugelfläche schneidet, die durch das Centrum des Bün- 
dels geht. 

§ 7. Projectivisclie GleMlde. 

33. Mit Hülfe der Projection aus einem Centrura erhält 
man aus einer Punktreihe einen Strahlenbüschel, aus einem 
Strahlenbüschel einen Ebenenbüschel, aus einem ebenen Ge- 
bilde einen Bündel, Umgekehrt erhält man mit Hülfe eines 
Schnittes einer Ebene aus einem Strahlenbüschel eine Punkt- 
reihe, aus einem Ebenenbüschel einen Strahlenbüschel, aus einem 
Bündel ein ebenes Gebilde. Die beiden Operationen „aus 
einem Centrum projiciren" und „durch eine Transversalebene 
schneiden" können als „complementär e" angesehen wer- 

L. Cremona, Elem. d. pro.ject. Geometrie. 3 



34 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



den; und wir werden sagen, dass wenn ein Gebilde durch 
eine dieser Operationen aus einem andern abgeleitet ist, so 
kann man durcli die complementäre Operation das zweite Ge- 
bilde aus dem ersten ableiten. Analogerweise für die Pro- 
jection aus einer Axe und für den Schnitt durch eine Trans- 
versalgerade. 

Setzen wir jetzt voraus, dass durch eine Operation (Pro- 
tection oder Schnitt) aus einem Gebilde ein Gebilde ab- 
geleitet sei, dass durch eine andere Operation aus ein 
drittes Gebilde /g, aus /g ein viertes Gebilde abgeleitet sei 
und so fort, bis durch n — 1 Operationen ein Gebilde fn her- 
gestellt werde. Umgekehrt werden wir aus fn auf /.| mit 
Hülfe von n — 1 Operationen zurückkehren, die der Reihe nach 
der letzten, der zweitletzten, drittletzten etc.... derjenigen 
Operationen complementär sind, welche dazu gedient haben 
von /i auf fn zu gelangen. Die Reihe der Operationen, 
welche von f\ mf fn und derjenigen, welche von auf 
führen, können complementäre genannt werden und die Ope- 
rationen der einen Reihe sind bezüglich complementär den- 
jenigen der zweiten Reihe, in umgekehrtem Sinne genommen. 

In dem Vorangegangenen setzen wir voraus, dass die 
geometrischen Gebilde im Räume liegen (Nr. 25). Bleiben 
wir bei der ebenen Geometrie, so reduciren sich die com- 
plementären Operationen auf die Projection aus einem 
Centrum und den Schnitt durch eine transversale 
Gerade. In der Geometrie des Bündels sind der Schnitt 
durch eine Ebene und die Projection aus einer Axe comple- 
mentäre Operationen. 

34. Zwei Grundgebilde der ersten Stufe heissen 
proj ectivisch , wenn das eine durch eine endliche An- 
zahl von Projectionen und Schnitten (Nr. 2, 3 . . . 7) 
aus dem andern abgeleitet werden kann. Hat man 
z. B. eine Punktreihe u und projicirt sie aus einem Cen- 
trum 0, so erhält man einen Strahle nbüsc hei; man pro- 
jicire den Strahlenbüschel aus einem andern Centrum 0', so 
erhält man einen Ebenenbüschel mit der Axe 0 0', man 



§ 7, Projectivisclie Gebilde. 



35 



schneide diesen Ebenenbüscliel durch eine Gerade und 
erhält eine Punktreihe, deren Träger ist, projicire die 
Punktreihe aus einer Axe und erhält einen Ebenen- 
büschel, schneide diesen Ebenenbüschel durch eine Ebene 
und erhält einen Strahlenbüschel etc.; so sind zwei belie- 
bige der so erhaltenen Grundgebilde der ersten Stufe nach 
der Definition projectivisch. 

Wenn man sagt, dass ein Gebilde A, B, G, D . . . zu einem 
anderen A', B', C, D' . . . projectivisch sei, so ist damit ge- 
meint, dass mit Hülfe derselben Reihe von Operationen (Pro- 
jectionen und Schnitten) A' aus A, B' aus B, G aus C. etc. 
abgeleitet werde. 

Die Elemente A und A', B und B', C und G , , . heissen 
entsprechende Elemente. 

35. Aus dem Gesagten ist leicht einzusehen, dass 
zwei Gebilde, die zu einem dritten projectivisch sind, auch 
unter sich projectivisch sind. Denn macht man zuerst die 
Operationen, die dazu dienen, von dem ersten zum dritten 
Gebilde zu gelangen, dann diejenigen, welche dazu dienen, 
von dem dritten zum zweiten zu gelangen, so hat man den 
üebergang von dem ersten zum zweiten Gebilde ausgeführt. 

36. Perspectivische Gebilde. 

Zwei Punktreihen sind perspectivisch, wenn sie 
Schnitte eines und desselben Strahlenbüs chels sind 



(Nr. 9) (Fig. 17). 



Fig. 17. 



s 




Zwei Strahlenbüschel sind perspectivisch 
(Fig. 18), wenn sie dieselbe Punktreihe aus zwei verschie- 



36 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



denen Centren projiciren, oder wenn sie zwei Schnitte des- 
selben Ebenenbüscliels sind. 

Fig. 18. 




(Projicirt man eine Punktreihe u = ABC... aus zwei 
verschiedenen Centren 0 und 0', die nicht mit u in derselben 
Ebene liegen, so erhält man zwei perspectivisclie Straliien- 
büschel, die ausserdem als Schnitte der Transversalebenen 0 
und 0' u durch denselben Ebenenbüschel angesehen werden 
können, welcher Ebenenbüschel als Axe die Gerade 0 0' hat 
und aus den Ebenen 0 0' A, 0 0' B, 0 0' C, 0 0' D zusammen- 
gesetzt ist. Das ist der allgemeine Fall von zwei perspecti- 
vischen Strahlenbüscheln. Sie haben nicht dasselbe Centruni 
und sind in verschiedenen Ebenen; gleichzeitig i^rojiciren sie 
dieselbe Punktreihe und sind Schnitte desselben Ebenen- 
büschels. Es gibt zwei singuläre Fälle: 1. Projicirt man die 
Punktreihe u aus zwei Centren 0 und 0', die mit u in der- 
selben Ebene liegen, so liegen die beiden Strahlenbüschel in 
derselben Ebene und sind folglich nicht mehr Schnitte eines 
Ebenenbüschels; 2. wird ein Ebenenbüschel durch zwei Trans- 
versalebenen geschnitten, die durch denselben Punkt 0 der 
Axe gehen, so erhält man zwei Strahlenbüschel, die dasselbe 
Centrum 0 haben und folglich nicht mehr dieselbe Punktreihe 
projiciren.) 

Zwei Ebenenbüschel sind perspectivisch, wenn 
sie denselben Strahlenbüschel aus zwei verschiedenen Centren 
projiciren. 

Eine Punktreihe und ein Strahlenbüschel oder 
eine Punktreihe und ein Ebenenbüschel oder ein 
Strahlenbüschel und ein Ebenenbüschel sind per- 
spectivisch, wenn das erste Gebilde ein Schnitt des zwei- 
ten ist. 



§ 7, Prqjectivisclie Gebilde. 



37 



Zwei ebene Gebilde sind perspectivisch , wenn 
sie ebene Sclmitte desselben Bündels sind. 

Z w e i B ü n d e 1 s i n d p e r s p e c t i V i s c h, wenn sie dasselbe 
ebene Gebilde aus zwei verschiedenen Centren projiciren. 

Ein ebenes Gebilde und ein Bündel sind perspec- 
tivisch, wenn das Gebilde ein Schnitt des Bündels ist. 

Aus der Definition Nr. 34 folgt, dass zwei perspec- 
tivische Gebilde (erster Stufe) auch projectivisch 
sind; aber zwei proj ectivische Gebilde sind im All- 
gemeinen nicht in perspectivischer Lage» 

37. Zwei geometrische Gebilde der ersten Stufe, 
aus je drei Elementen zusammengesetzt, sind immer 
projectivisch. 

Um diese Behauptung zu beweisen, beachten wir vor 
Allem, dass es genügt, den Fall von zwei Punktreihen ABC, 
A' B' C zu untersuchen ; denn wenn eines der gegebenen Ge- 
bilde ein Büschel ist, so kann man an dessen Stelle einen 
seiner Schnitte durch eine Transversale setzen. 

Wenn die beiden Geraden ABC, A'B'C nicht in der- 
selben Ebene liegen, führen wir die Geraden A A', B B', C C 
und schneiden sie durch eine Transversale s Dann sind 
die beiden gegebenen Gebilde nichts anderes als zwei (gerade) 
Schnitte des Ebenenbüschels s A A', s B B', s C C\ 



Liegen die beiden Geraden in derselben Ebene (Fig. 19), 
so nehmen wir auf A A' zwei Punkte S, S' beliebig, ziehen 



") Es genügt, durch einen beliebigen Punkt von A A' eine Gerade 
zu legen, welche B B' und C C trifft. (Aufg. 8 in Nr. 28.) 



Fig. '19. 



S 




38 



Elemente der j)rojectivisclien Geometrie. 



SB, S'B', die sich in B" schneiden, SC und S'C, die sich in 
C" schneiden; die Yerbindimg dieser zwei Punkte (B" und C") 
schneide S S' in A". Dann ist A" B'' ebenso gut eine Pro» 
jection von ABC als von A'B'C aus den Centren S und S'. 

In dem Fall, wo die Punkte A und A/ coincidiren (Fig. 20), 
sind die beiden gegebenen Gebilde (Punktreihen ABC und 



A' B' C) direct perspectivisch; das Projectionscentrum S ist 
der Schnittpunkt von B B' und C C. 

Liegen endlich beide Punktreihen AB C, A'B'C auf der- 
selben Geraden (Fig. 21), so wird es genügen, eine der beiden 



Eeihen (A' B' C) auf eine andere Gerade Aj B^ C^ (aus einem 
beliebigen Centrum 0) zu projiciren; dann projicire man die 
beiden Keihen ABC und AjB^Cj aus zwei beliebigen Centren 
S und S^ auf der Geraden AA) nach Fig. 19 auf A"B"C": so 
ist dann A"B"C" eine Projection von ABC (von S aus); 
ebenso ist A"B"C" die Projection von A^B^Cj von aus, und 
A^B^C^ die Projection von A'B'C vom Centrum 0 aus. 



Fie. 20. 




Fig, 2'1. 




0 



§ 8. Harmonisclie Gebilde, 



39 



Will man z. B. x^BC in BAC projiciren (Fig. 22), so 
genügt es, zwei beliebige Punkte L und N anzunehmen, die 



mit C in derselben Geraden liegen. Ist K der Schnittpunkt 
von AL und BN, M derjenige von BL und AN, so ist LNC 
eine Projection von ABC aus dem Centrum K., und BAC 
eine Projection von LNC aus dem Centrum M. 

Um von ABC zu BCA zu gelangen, projicire man ABC 
in BCA, und hierauf BAC in BCA. 

38. Lelirsatz, Ein b eliebiges Gebilde (der ersten 
Stufe), das aus vier Elementen A, B, C, D zusammen- 
gesetzt ist, ist zu demjenigen Gebilde pro j ecti vi sch, 
das aus dem ersten abgeleitet wird, indem man darin 
zwei beliebige Elemente und zugleich auch die bei- 
den andern vertauscht. So ist AB CD proj ectivisch 
zu BADC. 

Beweis: Es sind A, B, C, D vier Punkte (Fig. 23), und 
EFGD eine Projection dieser Punkte aus dem Centrum M 

Fig. 23. 



auf eine durch D gehende Gerade DE. Ist N der Schnitt- 
punkt von AF und CM, so wirdMNGC eine Projection von 
EFGD aus dem Centrum A; und BADC wird eine Projection 
von MNGC aus dem Centrum F; folglich ist nach Nr. 34 
und 35 das Gebilde BADC projectivisch zu A B C D. Man 



Fig, 22. 





40 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



beweist auf dieselbe Art, dass CD AB und D C B A zu AB CD 
projectiviscli sind 

Daraus folgt z. B. : wenn der Stralilenbüschel ah c d 
zu der Punktreilie AB CD projectiviscli ist, so ist er aucli 
zu BADG. CD AB, DCBA projectiviscli, d. Ii. sind zwei 
Gebilde aus je vier Elementen proj ectiviscli, so kann 
die Entsprechung der Elemente auf vier verschie- 
dene Arten hergestellt werden. 

39. Lehrsatz *0 (nach Staudt). 
Wenn drei Punkte A, B, 0 auf 
einer Geraden s gegeben sind und 
man in einer beliebigen Ebene 
durch s das vollständige Viereck 
(KLMN) so construirt, dasszwei 
Gegenseiten (KL, M JSF) in A 



zusammen treffen, zwei andere 
Gegenseiten (KN, ML) inB con- 
vergiren und die fünfte Seite 
(LN) durch C geht, so schneidet 
die sechste Seite (K M) die Ge- 
rade s in einem Punkt D , der 
durch die drei gegebenen Pu.nkte 
bestimmt ist ; der Punkt D bleibt 



fest, wie 



auch die zufälligen 



Elemente des Vierecks verändert 
werden mögen (Eig. 24). 

Fig. 24. 



ariiioiiisciie 

Wenn drei gegebene Geraden. 
a, 5, c (in derselben Ebene) in 
einem Punkt S zusammen laufen 
und man ein vollständiges Vier- 
seit (Ii l m n) so construirt,. 
dass zwei gegenüberliegende 
Eckpunkte {k l, wn) auf a fallen, 
zwei andere gegenüberliegende 
Eckpunkte {Ii n, r.i l) auf b und 
der fünfte Eckpunkt (i! n) auf c, 
so wird der sechste Eckpunkt 
(A: m) auf eine Gerade d fallen, 
die durch S geht und bestimmt 
ist; die Linie d bleibt fest, 
wie auch die zufälligen Ele- 
mente des Vierseits verändert 
werden mögen (Eig. 25). 



Fi". 2:5. 






") Staudt, Geometrie der Lage (KürnlDerg, 1847) Nr. 59. 
^--1) Staudt, loc. cit. S. 93. 



§ 8. Harmonische Gebilde. 



41 



Beweis: Construirt man (in 
derselben oder in einer anderen 
Ebene durch s) ein zweites voll- 
ständiges Viereck (K' L' M' N'), 
w*elclies den vorgescliriebenen 
Bedingungen entspricht , so ha- 
ben die beiden Vierecke fünf 
Paare entsprechender Seiten, die 
auf der gegebenen Geraden zu- 
sammenlaufen ; also muss auch 
das sechste Paar auf derselben 
Geraden convergiren (Nr. 30, 5. 
links). 

Daraus folgt: wenn das erste 
Viereck fest liegt, das zweite 
auf alle möglichen Arten ver- 
ändert wird, so bleibt der Punkt 
D fest; w, z. b, w. 

Die vier Punkte AB CD heis- 
sen harmonische, oder man 
sagt: es ist das aus diesen vier 
Punkten zusammengesetzte geo- 
metrische Gebilde ein harmo- 
nisches. 

Man kann sich auch so aus- 
drücken: Vier Punkte AB CD 
einer Geraden (in der aus- 
gesprochenen Reihenfolge 
genommen) heissen harmo- 
nisch, wenn es möglich ist, 
ein vollständiges Viereck 
so zu construiren, dasszwei 
gegenüberliegende Seiten 
durch A, zwei andere gegen- 
überliegende Seiten durch 
B, die fünfte durch C, die 
sechste durch D gehen. Es 
folgt aus dem vorhergehenden 
Lehrsatz, dass wenn ein solches 
Viereck existirt, d. h. wenn das 



Construirt man ein zweites 
vollständiges Vierseit (k' l' m' 
welches den vorgeschriebenen 
Bedingungen entspricht, so haben 
die beiden Vierseite fünf Paare 
entsprechender Eckpunkte, die 
auf den gegebenen Punkt ge- 
richtet sind; also muss auch 
das sechste Paar mit diesem 
Punkte in gerader Linie liegen 
(Nr. 30, 5. rechts). 

Daraus folgt: wenn das erste 
Vierseit fest liegt, das zweite 
auf alle möglichen Arten ver- 
ändert wird, so bleibt die Ge- 
rade d fest; w. z. b. w. 

Die vier Geraden (oder Strah- 
len) ab cd heissen harmoni- 
sche, oder m,an sagt: es ist das aus 
diesen vier Geraden zusammen- 
gesetzte geometrische Gebilde 
ein harmonisches. 

Man kann sich auch so aus- 
drücken: Vier Strahlen ahcd 
eines Büschels (in der aus- 
gesprochenen Reihenfolge 
genommen) heissen harmo- 
nisch, wenn es möglich ist, 
ein vollständiges Vierseit 
so zu construiren, dasszwei 
gegenüberliegende Eck- 
punkte auf a, zwei andere 
gegenüberliegende Eck- 
punkte auf b, der fünfte auf 
0, der sechste auf d fallen. 
Es folgt aus dem vorhergehen- 
den Lehrsatz, dass wenn ein 
solches Vierseit existirt , d. h. 



42 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Gebilde A B 0 D liarmonisch ist, 
man eine ■unendliche Anzahl an- 
derer Vierecke construiren kann, 
welche denselben Bedingungen 
entsprechen. Des Weiteren folgt 
daraus : wenn drei Punkte ABC 
auf einer Geraden gegeben sind 
(und es ist auch ihre Reihenfolge 
gegeben], so ist der vierte Punkt 
D, der mit ihnen ein harmoni- 
sches Gebilde ausmacht, be- 
stimmt und wird durch die 
Construction eines der Vierecke 
(Nr. 51) erhalten. 



wenn das Gebilde ab cd harmo- 
nisch ist, man eine unendliche An- 
zahl anderer Vierseite construi- 
ren kann, welche denselben Be- 
dingungen entsprechen. Des 
Weiteren folgt daraus: wenn 
drei Strahlen abc eines Büschels 
gegeben sind (und es ist auch ihre 
Reihenfolge gegeben), so ist der 
vierte Strahl rf, der mit ihnen 
ein harmonisches Gebilde aus- 
macht, bestimmt und wird 
durch die Construction eines der 
Vier Seite (Nr. 51) erhalten. 



40. Satz. Projicirt man aus einem Punkte S die 
harmonischen Punkte ABCD auf eine andere Ge- 
rade, so sind die Projectionen A'B'C'D' ebenfalls 
vier harmonische Punkte (Fig. 26). 

Stellen wir uns vor, es werden durch die beiden Geraden 
AB, A'B' zwei Ebenen gelegt und setzen wir voraus, es werde 
in der ersten Ebene ein vollständiges Viereck construirt, von 

Fig. 26. 















b 





D' 



B' C 



welchem zwei gegenüberliegende Seiten in A, zwei andere 
Gegenseiten in B convergiren und die fünfte Seite durch C 
gehe, dann wird die sechste Seite durch D gehen (Nr. 39), 
weil nach Voraussetzung das Gebilde ABCD harmonisch ist, 
Projiciren wir jetzt dieses Viereck aus dem Punkte S auf die 
zweite Ebene durch A'B', so bekommen wir ein neues 
Viereck, von welchem zwei Gegenseiten in A'. zwei andere 
in B' zusammenlaufen, dessen fünfte Seite durch C und dessen 
sechste Seite durch D' geht; folglich ist A' B' G D' ebenfalls 
ein harmonisches Gebilde. 



§ 8. Harmonische Gebilde. 



43 



41. Die Betrachtung der Figur 25 zeigt, dass die liar- 
monisclien Strahlen a, 5, c, cl durch eine beliebige Transver- 
sale (z. B. m) in vier harmonischen Punkten geschnitten wer- 
den. Denn: man nehme willkürlich in a einen Punkt B, ver- 
binde diesen mit D und B durch die Geraden k und l, und A mit 
kh oder P durch die Gerade n. Da ah cd ein harmonisches 
Gebilde ist und fünf Eckpunkte des vollständigen Yierseits 
klmn in a, 5 und d liegen, so gehört der sechste Eckpunkt In 
oder Q dem vierten Strahl c an. Dann ist auch wegen des 
vollständigen Aaerecks P Q R S (wo S der Mittelpunkt des Bü- 
schels ab cd ist) A B 0 D ein harmonisches Gebilde. 

Setzen wir umgekehrt voraus, dass das harmonische Ge- 
bilde A BCD (Fig. 25) gegeben sei und nehmen wir das Projec- 

tionscentrum S beliebig, so behaupte ich, dass die projiciren- 
den Strahlen S (A, B, C, D) harmonisch sind. 

Denn legen wir durch A eine beliebige Gerade, die SB 
in P und S 0 in Q schneide, ziehen dann BQ, welche AS 
in R schneide, so schneiden sich in dem Viereck PQRS zwei 
Gegenseiten in A, zwei andere in B und die fünfte Seite geht 
durch C, folglich muss die sechste Seite durch D gehen 
(Nr. 39, links), weil nach Voraussetzung das Gebilde AB CD 
harmonisch ist. Aber nun haben wir ein vollständiges Vierseit 
k l m n, das zwei Gegenecken A und R auf S A, zwei andere 
Gegenecken B und P auf SB, einen fünften Eckpunkt Q auf 
SC und den sechsten D auf SD hat; folglich (Nr. 39 rechts) 
sind die vier Geraden, die aus S die Reihe AB CD projiciren, 
harmonisch. Daraus ergibt sich: 

Vier harmonische Strahlen werden durch eine 
beliebige Transversale in vier harmonischen Punk- 
ten geschnitten und um gek ehrt: die Strahlen, welche 
vier harmonische Punkte aus einem beliebigen C en- 
trum projiciren, sind harmonisch. 

42. Der Satz Nr. 39, rechts ist reciprok (in der ebenen 
Geometrie) zu dem links daneben stehenden, in welchem man 
voraussetzt, dass alle Vierecke in derselben Ebene liegen. 
Nach dem Vorangehenden ist der Satz Nr. 39, links auch noch 



44 



Elemente der projectivisclieii Geometrie. 



wahr und hat denselben Beweis, wenn die Vierecke in ver- 
schieden en Ebenen liegen. 

Betrachtet man also letztern Satz als einen solchen der 
Raumgeometrie, so wird der reciproke Satz folgender sein: 

Gehen drei Ebenen c^, y durch dieselbe Ge- 
rade s und construirt man ein vollständiges Vier- 
seit (im Strahlenbündel) y.l^v, dessen Scheitel ein 
beliebiger Punkt von s sei und von welchem zwei 
gegenüberliegende Kanten xl^ ^ v in der Ebene 
zwei andere gegenüberliegende Kanten l in 

der Ebene die fünfte Kante in / liegen, so liegt 
die sechste Kante immer in einer bestimmten 
durch s gehenden Ebene welche dieselbe bleibt, 
in welcher Art auch die zufälligen Elemente des 
Yierseits verändert werden mögen. 

Denn construirt man (aus demselben oder aus einem an- 
dern Scheitel in s genommen) ein anderes vollständiges Yier- 
seit, welches den vorgeschriebenen Bedingungen entspricht, 
so haben die beiden Vierseite fünf Paare entsprechender Kan- 
ten, welche in Ebenen liegen, die durch dieselbe Gerade s 
gehen: also muss (nach Nr. 31 links) das sechste Paar eben- 
falls in einer Ebene liegen, die durch die Gerade s geht. 
Wir nennen die vier Ebenen c^, ö harmonische Ebenen 
und sagen, das Gebilde, das aus ihnen zusammengesetzt ist, 
sei ein harmonisches Gebilde. 

43. Schneidet man ein vollständiges Vierseit (im Strahlen- 
bündel) i€ l ß V durch irgend eine Ebene, die nicht durch den 
Scheitel geht, so erhält man ein vollständiges Vierseit (in der 
Ebene); dieselbe Transversalebene schneidet die Ebenen «, 

7, ^ in vier Strahlen a, 6, c, d eines Strahlenbüschels, 
von dem die beiden ersten Strahlen je zwei Paare der Eck- 
punkte des Vierseits enthalten, während die beiden andern 
Strahlen durch den fünften und sechsten Eckpunkt des Vier- 
seits gehen. Folglich werden (Nr. 39 rechts) vier harmonische 
Ebenen, c^, /i, «J, durch eine Transversalebene in vier har- 
monischen Strahlen geschnitten. Ebenso : wenn die vier har- 



§ 8. Harmonische Gebilde. 



45 



monischen Ebenen ß, S durch eine Transversale in den 
vier Punkten B, C, D geschnitten werden, so ist das Ge- 
bilde AB CD harmonisch. Denn legen wir durch die trans- 
versale Gerade eine Ebene, so wird diese die Ebenen a, ß, 
^, 8 nach vier Geraden a, ?>, c, d schneiden. 

Die vier Geraden sind nach dem eben bewiesenen Satze 
harmonisch; aber AB CD ist ein Schnitt des Strahlenbüschels 
ab cd] folglich sind (nach Nr. 41 Ende) die vier Punkte A, 
B, C, D harmonisch. Umgekehrt: projicirt man vier harmo- 
nische Punkte aus einer Axe oder vier harmonische Strahlen 
aus einem Punkte, so erhält man vier harmonische Ebenen. 

44. Verstehen wir also unter einem harmonischen 
Gebilde eine Gruppe von vier harmonischen Punkten oder 
vier harmonischen Strahlen oder vier harmonischen Ebenen, 
so haben wir den Satz: 

Jede Projection und jeder Schnitt eines harmo- 
nischen Gebildes ist wieder ein harmonisches Ge- 
bilde; oder: 

Jedes Gebilde, welches zu einem harmonischen 
Gebilde proj ectivisch ist, ist ebenfalls harmonisch. 

Umgekehrt sind zwei harmonische Gebilde immer 
proj ectivis ch. Um diese Eigenschaft zu beweisen, genügt 
es, zwei Gruppen von je vier harmonischen Punkten zu be- 
trachten; denn wenn eines der Gebilde ein Büschel ist, so 
erhält man vier harmonische Punkte, indem man den Büschel 
durch eine Transversale schneidet. Setzen wir also voraus, 
es seien AB CD, A'B'C'D' zwei harmonische Gebilde und 
projiciren wir ABC in der in Nr. 37 erklärten Weise auf 
A'B'C; dieselben Operationen (Projectionen und Schnitte), 
welche dazu dienen, A'B'C von AB C abzuleiten, werden für 
D einen Punkt D^ gehen; daraus folgt, dass das Gebilde 
A'B'C'D-i harmonisch sein wird, so wie es AB CD ist. Aber 
nach Voraussetzung sind auch A'B'C'D' vier harmonische 
Punkte; also muss D^ mit D' zusammenfallen, denn die drei 
Punkte A'B'C bestimmen den vierten Punkt, der mit ihnen 
ein harmonisches Gebilde ausmacht (Nr. 39 links); w. z. b. w. 



46 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Dazu kommt eine Folge der in Nr. 42 und 43 gegebenen 
Definitionen. 

Die correlative Form eines harmonischen Ge- 
bildes ist selbst ein harmonisches G-ebilde. 

45. Wenn a, 5, c, die Strahlen eines Büscheis sind 
(Fig. 26), so sagt man, dass a und h getrennt sind durch 
c und f/, wenn der sich drehende Strahl nicht von a nach h 
gelangen kann, ohne mit einem und nur mit einem der beiden 
anderen Strahlen c oder d zusammen zu fallen. Dieselbe De- 
finition wird auf vier Ebenen eines Büschels oder auf vier 
Punkte A, B, C, D einer Punktreihe angewandt (Fig. 24) ; die 
einzige Bedingung, welche man dabei anzunehmen hat, ist die, 
dass man auf einer Geraden auf zwei verschiedenen Wegen 
von einem Punkte A zu einem Punkte B gelangen kann (Fig. 27), 
indem man die endliche Strecke AB durchläuft oder die 

Fig. 27. 
A . > B 

O ü 

< A B < 

, O 0' 

unendliche Strecke, welche in A anfängt, durch den unend- 
lich fernen Punkt geht und in B zurückkehrt. 

Wird diese Definition angenommen, so kann folgende 
Eigenschaft als an und für sich klar ausgesprochen werden. 
Vier Elemente eines Gebildes der ersten Stufe (d. h. vier 
Punkte einer Geraden, vier Strahlen eines Büschels etc.) kön- 
nen immer so in zwei Paare getheilt werden, dass das eine 
durch das andere getrennt wird; das kann nur auf eine ein- 
zige Art geschehen. In Fig. 24 z. B. sind die beiden Paare, 
die sich gegenseitig trennen, AB und CD, und wenn A'B'C'D' 
ein projectivisches Gebilde von AB CD ist, so ist auch das 
Paar A'B' durch das Paar CD' getrennt; denn die Projec- 
tionen und Schnitte verändern die gegenseitige Lage der Ele- 
mente nicht. 

46. Es seien AB CD vier harmonische Punkte, d. h. vier 
Punkte, die man durch die Construction von Nr. 39 links er- 
hielt. Diese lässt zu, dass auf eine unendliche Anzahl von 



§ 8. Harmonische Gebilde, 



47 



Arten ein vollständiges Viereck gezeichnet werde, yon dem 
A und B zwei Diagonalpunkte (Nr. 30, 2. links) sind, wäh- 
rend die beiden anderen Gegenseiten durch C und D gehen. 
Es genügt, diese Construction anzuführen, um einzusehen, 
dass die beiden Punkte A und B in Bezug auf das System 
die gleiche Bedeutung haben und dass es sich ebenso mit den 
Punkten C und D verhält. Daraus folgt: wenn das Gebilde 
AB CD ein harmonisches ist, so sind auch die Gebilde BAGD, 
ABDC,BADC harmonisch, welche man erhält, indem man die 
Buchstaben A und B oder C und D oder beide Paare permutirt. 
Folglich ist (nach Nr. 44) das Gebilde AB CD z, B. projecti- 
visch zu BAGD, d.h. man kann durch eine endliche Anzahl 
von Projectionen und Schnitten von dem einen Gebilde zum 
andern übergehen. In der That: projicirt man (Pig. 28) von K 
aus das Gebilde AB CD auf CQ, so erhält man das Gebilde 
LNCQ, welches von M aus auf AB projicirt AB CD gibt. 

47. In dem harmonischen Gebilde AB CD sind die 
Punkte A und B nothwendigerweise durch die bei- 
den andern getrennt. 

Denn projiciren wir (Fig. 28) das Gebilde AB CD zuerst 
aus dem Centrum L, dann aus dem Centrum N auf die Ge- 



rade KM, so sind KMQD und MKQD die beiden Projectionen. 
Diese aus denselben Elementen zusammengesetzten Gebilde 
müssen dieselbe Art der Trennung zeigen, also sind die Punkte 
K und M getrennt durch Q und D und folglich A und B ge- 
trennt durch C und D. 

48. Ziehen wir (Fig. 29) die Gerade AQ, welche 
MB in U und NB in S und die Gerade BQ, welche KL 



Fig. 28. 




48 



Elemente der projectivisclien Geometrie, 



in T und MN in V schneidet. Das vollständige Viereck 
LT QU hat zwei Gegenseiten LT und ÜQ, die sich in A 
zwei andere Gegenseiten ÜL und T Q, die sich in B 
schneiden, eine fünfte Seite (LQ oder LN) geht durch C; 
also muss die sechste Seite TU durch D gehen (Nr. 39). 
Ebenso muss die sechste Seite Y S des Yollständigen Vierecks 
NVQS durch D, die sechsten Seiten ST und UY der voll- 

Fig, 29. 



A C B D 




ständigen Vierecke K S Q T undMUQV durch C gehen. Man 
erhält so ein Viereck STUV, von dem zwei Gegenseiten durch 
C, zwei andere Gegenseiten durch D, die fünfte Seite durch 
A, die sechste durch B gehen. Man sieht also, dass die 
den Punkten C und D gemeinsame Bedingung (Nr. 46) die- 
selbe ist, wie diejenige, welche A und B gemeinsam haben; 
oder was auf das Gleiche herauskommt, das Paar A und B 
kann mit dem Paar C und D vertauscht werden. Wenn also 
AB CD ein harmonisches Gebilde ist, so sind nicht nur 
BACD, ABDG, BADO, sondern auch CDAB, CDBA, 
DCAB, DCBA ebenfalls solche*). 

Die Punkte A und B heissen zugeordnete oder con- 
jugirte Punkte; es sind also auch C und D conjugirte Punkte. 

Man sagt: die Punkte A und B sind durch die Punkte C und 
D harmonisch getrennt; oder die PunkteC und D sind durch 
A und B harmonisch getrennt, oder auch das Segment AB ist 
durch diePunkte C und D oder durch das Segment CD harmonisch 
getheilt. Sind zwei Punkte A und B (Fig. 28) durch die Punkte C 
und D harmonisch getrennt, so dass die Gerade AB durch die 

~") Reye, Greometrie der Lage (Hannover l&^^.J* 34). 



§ 8, Harmonisclie Gebilde. 



49 



beiden Geraden QC und QD gesclmitten wird, so sagt man 
aiicli, die Punkte A und B sind durch die Geraden QC und 
QD oder durcli den Punl^t C und die Gerade QD etc. liar- 
moniscli getrennt und die Geraden QG und QD sind durch 
■die Punkte A und B harmonisch getrennt . . . 

Analoge Eigenschaften und Ausdrücke werden für vier 
harmonische Strahlen oder Ebenen gefanden. 

49. Aus dem Satze Nr. 39 links kann man auch den 
folgenden ziehen : In e i n e m v o 1 1 s t ä n d i g e n V i e r s e i t wird 
jede Diagonale durch die beiden andern harmo- 
nisch getheilt 

In dem vollständigen Vierseit (Fig. 30) z, B. sind die 
Gegenecken A und A'. B und B', C und G. Die Diagonale 
AA' wird in den Punkten F und E durch die beiden anderen 



Diagonalen BB' und CC geschnitten. Betrachten wir jetzt 
das vollständige Viereck BB'CG, so finden wir darin zwei 
Gegenseiten, die sich in A schneiden; zwei andere Gegen- 
seiten schneiden sich in A', während die fünfte Seite durch 
E, die sechste durch F geht. Die Punkte A und A' werden 
.also durch die beiden Punkte F und E harmonisch getrennt. 
Ebenso zeigt die Betrachtung der beiden vollständigen Vier- 
ecke CC'AA' und AA'BB', dass dieselbe Eigenschaft auch 
den beiden Gruppen BB'FD und CC'DE zukommt. 

50. In dem vollständigen Viereck BB'CG sind A, A' 
und D die Diagonalpunkte; da die Gruppe der Punkte BB'FD 
harmonisch ist, so ist es auch (Nr. 41) die Gruppe der vier 
Strahlen, welche sie aus A projiciren; d. h. 

Carnot, Geometrie de position (Paris 1803), Nr. 225. — Baltzer, 
Trigonometrie, S. 371. 

L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 4 



Fig. 30. 



A 




50 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



In einem vollständigen Viereck sind zwei in 
einem Diagonalpunkt zusammenstossende Seiten 
durch die beiden andern Diagonalpunkte harmo- 
nisch getrennt. Dieser Satz ist übrigens (nach der Reci- 
procität in der ebenen Geometrie) zu dem Vorhergehenden 

correlativ. 

51. Mit Hülfe eines Lineales und der Sätze Nr. 39 wer- 
den folgende Aufgaben gelöst: 

Zu drei gegebenen Punk- 
ten einer harmonischen 
Punktreihe den vierten zu 
finden. 

Auflösung. In Fig. 30t seien 
A, B und C die gegebenen Punkte 
(in gerader Linie) ; davon sollen 
A und B zugeordnete Punkte 
sein. Man lege zwei beliebige 

Fig. 30i. 



Zu drei gegebenen Strah- 
len eines harmonischen 
Büschels den vierten zu 
fin d en. 

In Fig. 3O2 seien a, b und c die 
gegebenen Strahlen (aus dem- 
selben Centrum und in derselben 
Ebene), davon sollen a und b 
zugeordnete Strahlen sein. Durch 

Fig. 8O2. 





Geraden durch A und eine durch 
C; die letztere schneide die bei- 
den erstem in L und N und ziehe 
BL und BN. Die Gerade BL 
schneide AN in M und B N 
schneide AL in K; dann trifft 
K M die gegebene Gerade in dem 
gesuchten Punkte D , der G zu- 
geordnet ist *). 



einen Punkt Q der Geraden c 
ziehen wir beliebig zwei Ge- 
raden, welche a in A und R und 
6 in P und B schneiden. Die 
Geraden AB und RP schneiden 
sich in einem Punkte D , der, 
mit dem gegebenen Centrum S 
verbunden, den gesuchten Strahl 
d gibt. Dieser Strahl (/ ist c 
zugeordnet. 



De La Hire, Sectiones conicae (Parisns 16^5)ij, S. 9. 



§ 9. Doppelverliältnisse. 



51 



62. Punkt C liege in der Mitte von A und B (Nr. 51, 
links). Wir können die willkürliclien Elemente so legen, dass 
die Punkte K und M ins Unendliche rücken; dazu muss man 
über der Diagonale AB (Pig. 31) ein Parallelogramm ALBN 
zeichnen; die andere Diagonale LN geht durch C; also liegt D 
tinendlich ferne. 



Sind umgekehrt die Punkte A, B, D gegeben und liegt der 
dritte D unendlich ferne, so können wir wieder über der Diago- 
nale AB ein Parallelogramm ALBN zeichnen; der vierte Punkt 
0, der D -zugeordnet ist, muss im Durchschnitt der gegebenen 
Geraden mit LN liegen, es muss also der Mittelpunkt von AB sein. 

Wenn also von vier harmonischen Punkten ABCD 
der Punkt C in der Mitte zwischen den zwei zugeord- 
neten Punkten A und B liegt, so ist der vierte unend- 
lich ferne und umgekehrt, wenn einer der Punkte unend- 
lich ferne liegt, so ist der zugeordnete Punkt in der 
Mitte zwischen den beiden andern. 

53, In Fig. 32 sei c die Halbirungslinie des Winkels a h 
(Nr. 51 rechts). Nimmt man Q, unendlich ferne auf c , so werden 

Fig. 32. 



Fig. 31. 




\ 



\ 



A 



c 



/ 




die Segmente AB, PR gleich und liegen zwischen den Paralle- 
len AP und BR^ folglich wird der Strahl d senkrecht auf c, d. h. 
sind vier Strahlen a, 6, c, harmonisch und halbirt der 



52 Elemente der projectivisclien Geometrie. 

eine Strahl c den von den beiden andern zugeordneten 
Strahlen gebildeten Winkel, so ist der vierte Strahl 
aenkrecht auf c. 

Umgekehrt, wenn in einem harmonischen Büschel ab cd 
(Fig. 33) zwei zugeordnete Strahlen c und d auf einander senk- 
recht stehen, so halbiren sie die Winkel, welche die beiden an- 

Fig. 33. 



a_ ^ 

/ 


/ 



\ 

\ 


d 




\ 



dern Strahlen a und h mit einander bilden. Denn, schneidet niaia 
den Büschel (dessen Centrum in S liegt) durch eine Transversale 
(AB) parallel c?, so gibt der Schnitt AB CD vier harmonische 
Punkte (Nr. 41), und da D unendlich ferne liegt, so muss C in 
der Mitte zwischen A und B sein (Nr. 52); folglich ist ASB 
ein gleichschenkliges Dreieck und S 0 die Halbirungslinie des 
Winkels an der Spitze. 

§ 9. Doppelyerlialtnisse. 

54, Nehmen wir wieder Fig. 2 auf; diese veranschaulicht 
die Projection der Punkte einer Geraden a auf eine andere Ge- 
rade a', aus einem Centrum S und suchen wir die Relation, die 
zwischen zwei entsprechenden Segmenten AB, A' B' besteht. 
Die ähnlichen Dreiecke SA J, A'SP geben 

JA: JS -=rS:rA'; 
ebenso geben die ähnlichen Dreiecke S B J, B' S T 

J B : J S = r S : r B' 

daraus 

j A . r A' =: j B . r B' = j s . r s 

Wir setzen voraus, dass in allen Gleichungen zwischen Strecken 
die Zeichenregel beobachtet werde, nach welcher AB und B A gleiche 
und entgegengesetzte Grössen sind; sind also A, B, 0 drei Punkte 
einer Geraden, so hat man 

AB+BO + OA=:o oder AB = OB — OA. 
Siehe Baltzer, Ih Bd. S. 105. 



§ 9. Doppelverliältnisse. 53 

d. h. das Rechteck JA . T A' ist constaiit für jedes Paar ent- 
sprechender Punkte Ä und A'. 

Fis. 1. 





/ / 



Bezeichnet man die Constante JS.I'S mit k, so 
haben wir 

k h 

^ ^ " JA' ^ ^ ~ JB ' 
daraus die Differenz 

TB' -TA' - fe(JA- JB) . 

~ JA. JB ' 
es ist aber TB' — P A' = A'B', JA — JB = B A AB, 
folglich 

A'B' ~ • AB. 
JA . JB 

Betrachten w vier Punkte A, B, C, D (Fig. 34) der Ge- 
raden a und die vier Projectionen A', B', G\ D\ so erhalten 
wir auf analoge Art: 

^'^'= jTTJc '^^^ 
— & 



54 Elemente der projectivischen Geometrie. 

und durch Division 

Al^ A;_iy ^ Ac . A_r) 

B'C • B'D' BC ' BD' 

Sind A B C D und A' B' C D' die Durchschnitte zweier 
Transversalen s und s' (die nicht in derselben Ebene liegen) 



Fig. 34. 




mit vier Ebenen c^, ö, die durch dieselbe Gerade u 

gehen, d. h. ist A'B'C'D' eine Projection von AB CD aus der 
Axe u (Nr. 4), so besteht noch dieselbe Gleichung, welche 
oben für den Fall der Projection aus einem Centrum S be- 
wiesen wurde. Denn schneiden wir die vier Ebenen c;, y, ö 
in A"B"C"D" durch eine Gerade s'\ welche s und s' schnei- 
det, so sind die Geraden AA", BB", CC", DD" die Schnitte 
der Ebenen /?, S mit der Ebene s s", folglich laufen sie 
in einem Punkte S zusammen, in welchem die Ebene ss" die 
Axe u schneidet. Eben so sindA'A", B'B", CC", D'D" vier 
Geraden in der Ebene s' s" und laufen in einem Punkte S' 
(dem Schnittpunkt der Axe u und der Ebene s' s") der Axe u 
zusammen. 

Folglich ist A"B"C"D" eine Projection von AB CD aus 
dem Centrum S und eine Projection von A'B'C'D' aus dem 
Centrum S'; man hat folglich: 

^yn^ A/^' _ A c . AD _ a;c' ^ k'jy 

B"C" * B"D" ~ BC ■ BD ~" B'C" ' B'D'" 
Die Zahl 

AC AD 
BC'BD 

heisst das Doppelverhältniss der vier Punkte A, B, 
C, D (einer Geraden). 



^ 9. Doppelverhältnisse, 



55 



Mit dem Obigen ist also der Satz bewiesen: 
Das Doppelverhältniss von vier Punkten einer 
Oeraden wird durch eine beliebige Projection der- 
selben nicht verändert'^). 
Oder auch: 

Zwei projectivische Gruppen von vier Punkten 
ABCD, A'B'C'D' (die in geraden Linien liegen) h ab en 
gleiche Doppelverhältnisse. 

Der Quotient der Ausdrücke für A' C und B' C gibt 

A'C A C A J 
B'C ~BC ' BJ' 

In dieser Gleichung ist die zweite Seite das Doppelver- 
hältniss der vier Punkte A, B, C, J; folglich ist die erste 
Seite das Doppelverhältniss von A'B'C'J' oder das Doppel- 
verhältniss der vier Punkte A', B', C, J', von denen 
der letzte unendlich ferne liegt, ist nichts anderes 
als das einfache Verhältniss A'C':B'C'. 

Dies folgt auch aus der Bemerkung: wenn A' und B' fest 
bleiben, indem sich D' ins Unendliche (auf der Geraden A'B') 
entfernt, so hat man 

also 

A'C A'D' A'C 

lim. 



B' C * B' D' B' C 
Ebenso hat man unter derselben Voraussetzung 

A'D' A'C B'C 

1 TT) . • . 

B' D' • B' C A' C ' 

d. h. das Doppelverhältniss der vier Punkte A', B', 
^D', C, von denen der dritte unendlich ferne liegt, 
ist gleich dem einfachen Verhältniss B'C: A'C. 
Daraus folgt die Auflösung der Aufgabe : 
Zu drei gegebenen Punkten A, B, C (einer Geraden) 
einen vierten Punkt D zu bestimmen, wenn dasDop- 



■""j Papp US, Mathematicae collectioiies (Ausgabe von Comandino, 
Venedig 1589), Buch VII, S. 129. — Siehe Baltzer, II. Bd. S. 367. 



5G 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



pelverhältniss des Gebildes ABCD eine in Grösse 
und Vorzeichen gegebene Zahl l ist (Fig. 35). 

Auflösung. Wir ziehen durch C eine beliebige Trans- 
versale und tragen darauf, Yon C aus, zwei Strecken CA' und 

Fig. 3ö. 




B' 



CB' ab, deren Verhältniss CA' : CB' gleich l : 1, dem Werth 
des gegebenen Doppelverhältnisses, ist; die beiden Strecken 
CA' und CB' liegen in gleicher oder in entgegengesetzter 
Richtung, je nachdem l positiv oder negativ ist. Wir ziehen 
die Geraden A A' und B B', ihr Schnittpunkt sei S ; die durch 
S gezogene Parallele zu A'B' schneidet A B in dem gesuchten 
Punkte D 

Denn nennen wir D' den unendlich fernen Punkt von 
A'B', betrachten ABCD als eine Projection von A'B' CD' 
aus dem Centrum S, so wird das Doppelverhältniss von 
ABCD gleich demjenigen von A'B' CD' oder gleich dem 
einfachen Verhältniss 

A' C : B' C = 1. 

Das ist die graphische Lösung der Gleichung 

A C AD ^ 
BC • BD " 

oder 

AD AC 
BD~BC 

oder der Aufgabe: einen Punkt D zu finden, der mit zwei 
gegebenen Punkten A und B zwei Strecken AD, BD (in ge- 
rader Linie) gibt, deren Verhältniss gleich einer in Grösse 
und Vorzeichen gegebenen Zahl ist. 

Die vorgelegte Aufgabe lässt also nur eine Auflösung 



■'•■) Chasles, Geometrie superieure (Paris 1652), S. 10. 



§ 9. Doppeiverhältnisse, 



57 



zu, denn es gibt nur einen Punkt, welcher eine gegebene 
Strecke so theilt, dass Grösse und Zeichen der Tlieile gege- 
benen gleich werden. Folglich kann es nicht zwei verschie- 
dene Punkte D und geben, so dass AB CD, ABCD^ gleiche 
Doppelverhältnisse haben. Man kann also sagen: 

Wenn die Gruppen ABCD, ABCD^ gleiche Dop- 
pelverhältnisse haben, so muss der Punkt D^ mit D 
zusammenfallen. 

Wenn zwei Gruppen von vier Punkten ABCD, A'B'C'D' 
(jede in gerader Linie) gleiche Doppeiverhältnisse haben, so 
sind sie projectivische Gebilde. 

Denn nach Nr. 37 kann man immer von dem Gebilde 
ABC zu dem Gebilde A'B'C (durch eine endliche Anzahl 
von Projectionen oder Schnitten) übergehen; D" sei der Punkt, 
den diese Operationen an der Stelle von D geben. Dann 
wird das Doppelverhältniss von A'B'C'D" gleich demjenigen 
von ABCD und folglich die Doppeiverhältnisse von A'B'C'D' 
und A'B'C'D" unter einander gleich sein; also fällt D" mit 
D' zusammen, oder die Gruppen ABCD und A'B'C'D' sind 
projectivisch. 

Mit andern Worten, die nothwenclige und genügende Be- 
dingung dazu, dass zwei Gebilde ABCD und A'B'C'D' (aus 
je vier Punkten einer Geraden zusammengesetzt) projectivisch 
seien, ist die Gleichheit (in Grösse und Vorzeichen) ihrer 
D opp elverhältniss e. 

Das Doppelverhältniss von vier Punkten AB CD wird mit 
dem Symbol (ABCD)*) bezeichnet; folglich ist die Projec- 
tivität zweier Gebilde ABCD und A'B'C'D' durch die Glei- 
chung ausgedrückt: 

(ABCD) = (A'B'C'D'). 

Werden zwei Büschel von je vier Strahlen oder Ebenen 
durch zwei Transversalen in ABCD und A'B'C'D' geschnit- 
ten, so ist die Gleichheit 

(ABCD) = (A'B'C'D') 
die noth wendige und genügende Bedingung dazu, dass die 
beiden Büschel projectivisch seien. 

■"■) Möbius, Der barycentrische Calcül, S. 246 (Leipzig 1827), 



58 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Wir nennen Doppelverhältniss von vier Strahlen a, 6, c, d 
oder vier Ebenen c^, y., ö, die einem Büschel angehören, 
das Doppelverhältniss der vier Punkte, in welchen die vier 
Elemente des Büschels von einer beliebigen Transversalen 
geschnitten werden und stellen dieses Doppelverhältniss des 
Strahlen- oder Ebenenbüschels durch (a, 5, c, d) oder (c;, ß, 
7, ö) dar. 

Wir können dann den allgemeinen Lehrsatz so ausdrücken : 
Zwei Gebilde der ersten Stufe, die aus je vier 
Elementen bestehen, sind pr oj ectivisch, wenn ihre 
Doppelverhältnisse gleich sind; die Bedingung 
genügt. 

55. Da zwei harmonische Gebilde immer proj ectivisch 
sind (Nr. 44), so können wir aus dem vorhergehenden Satze 
schliessen, dass das Doppelverhältniss von vier harmonischen 
Elementen eine constante Zahl ist. Denn wenn AB CD 
ein harmonisches Gebilde ist, so ist auch BACD ein har- 
monisches Gebilde (Nr. 46) und die beiden Gebilde A C B D 
und BCAD sind proj ectivisch ''') oder es ist 

(AG BD) = (BCAD) 
oder, was dasselbe ist, 

A^ AJ) _ B_A . B^D. 
CB • CD ~ C A • CD' 

daraus nach einigen Umformungen: 

AC . AD _ 
BC ' BD 

oder 

(A B C D) = — 1 ; 

also ist das Doppelverhältniss von vier harmoni- 
schen Elementen gleich der negativen Einheit*^) 

56. Man kann der Gleichung 

(ABGD) rr. — 1, 

*) Projicirt man Fig. 28 ACBD aus K auf NC, so erhält man 
L C N Q, und hierauf L C N Q aus M auf A D, so erhält man BCAD 
*l) Möbius, loc. cit., S. 269. 



§ 9. Doppelverhältnisse. 



59 



oder 

AG AD 
B C '^'^ BD "~ ^' 
welche ausdrückt, dass die vier Punkte A B C D liarmoniscli sind, 
noch zwei andere bemerkenswerthe Forraen geben. 

Da AD = CD~CA (Nr. 45), BD = CD — CB, so gibt 
die Gleichung (1) 

CA(CD — CB)-t-CB(CD — CA)z:=o 

oder 

CD 2 (cÄ + ob) 
eine Formel, welche den Punkt D gibt, wenn die Punkte A, B, 
0 gegeben sind. 

Ist 0 die Mitte der Strecke 0 D oder OD = CO=— OC, 
so wird 

AC = OC — OA; AD = OD — OArz: — (OC-l-OA): 

BC = 00 — OB,BDr= — (OO + OB). 
Die Gleichung (1) oder auch 

AC , B 0 



wn' 



d 



A D B D ~ ^ 



00 — OA OB — 00 



oder 



also 



oder; 



0 0 -1- 0 A "OB 1- 0 C 
00 OB 



OA ~ 0 C 



0 0 rrr 0 A . 0 B, (3; 



Die Hälfte der Strecke CD ist die mittlere Propor- 
tionale zwischen den Abständen der Punkte A und B 
von der Mitte von CD. 

Die Gleichung (3) zeigt, dass die Strecken 0 A und 0 B das 
gleiche Vorzeichen haben, d. h. dass der Punkt 0 niemals zwi- 
schen A und B fällt. 

Daraus folgt: Legt man durch A und B einen Kreis (Pig. 36), 
so ist 0 0 die Länge der Tangente, welche aus dem Punkte 0 
an diesen Kreis gelegt wird *). Folglich schneidet der Kreis 



Baltzer, Planim., S. 117. 



60 



Elemente der projectivisciieu Geometrie. 



über dem Durctimessei" G D den ersten Kreis (d. h, alle durcli A 
und B gehenden Kreise) rechtwinklig. Umgekehrt: Schneiden 
sich zwei Kreise rechtwinklig, so schneiden sie eine beliebige 

Fig. 36. 




Gerade, die durch den Mittelpunkt des einen Kreises geht, in 
vier harmonischen Punkten *). 

Die nämliche Pormel (3) dient dazu, folgende Aufgabe zu 
lösen: 

Zwei Punktenpaare AB und A' B' sind gegeben, ein 
an de res Paar OD so zu bestimmen, dass die beiden Grup- 
pen AB CD und A' B' OD harmonisch seien (Pig. 37 und 38), 
• Wir nehmen einen beliebigen Punkt Gr ausserhalb der Ge- 
raden und beschreiben die Kreise GAB und G A' B' ; ihr Schnitt- 



Fig. 37. 



punkt sei H. Wir ziehen GH*') bis zum Durchschnitt 0 mit 
der Geraden A B', im ersten Kreise haben wir 

OA.OB = OG.OH, 

im zweiten Kreise 

0 A' . OB' CG . OH, 

folglich 

0 A . 0 B = 0 A' . 0 B'. 

0 ist also die Mitte der gesuchten Strecke; die Punkte 0 
und D sind die Schnittpunkte der gegebenen Geraden mit dem 



Baltzer, II. Bd. S. 370. 

""i) GH ist die Chordale der beiden Kreise, Baltzer, Planim,, 
S. 113, 

-"-^) Baltzer, Planim., S. 117. 



§ 9. Doppelverhältnisse. 



61 



um 0 beschriebenen Kreise, dessen Radius gleich der Länge der 
beiden gleichen Tangenten ist, die von 0 aus an die beiden ersten 
Kreise gezogen werden. 

Fig. ;]8. 




Die Aufgabe lässt eine reelle Lösung zu, wenn 0 ausserhalb 
der beiden Strecken AB und A' B' und folglich ausserhalb der 
beiden Kreise fällt (Fig. 37 und 38), Es gibt keine reelle Lö- 
sung, wenn das Punktenpaar A B durch das Paar A' B' getrennt 
ist (Pig. 39); in diesem Palle ist der Paukt 0 im Innern der beiden 
Strecken. 

Setzen wir voraus, A, B, 0, D seien vier harmonische Punkte, 
von denen A und B einander unendlich nahe sind oder zusammen 



Fig. 39. 




fallen. Ist C in unendlicher Entfernung, so muss D mit A und B 
zusammenfallen, weil er in der Mitte dieser beiden Punkte liegen 
muss (Nr. 52). Ist C in endlicher Entfernung und beliebig ge- 
stellt, doch so, dass er weder mit A noch mit B zusammen fällt, 
so gibt die Gleichung (2) CD = GA = CB, d. h. D fällt mit 
A und B zusammen. 

Setzen wir voraus, dass A und 0 zusammenfallen und B un- 
endlich ferne liege. Jetzt muss A in der Mitte der Strecke OD 
liegen, folglich fällt D mit A und C zusammen. Ist B in end- 
licher Entfernung und beliebig gestellt, doch so, dass er weder 
mit A noch mit C zusammenfällt, so gibt Gleichung (1) A D =: o, 
d. h. der Punkt D fällt mit A und C zusammen. 



62 



Elemente der projectlvischen Geometrie. 



Wenn also von den vier Larmonisclien Punkten zwei 
zusammenfallen, so fällt auch einer der beiden anderen 
mit ihnen zusammen und der vierte ist unbestimmt. 

57. Der Lehrsatz der Nr. 38 führt auf die Thatsache: Sind 
vier Elemente A, B, C, D eines Gebildes der ersten Stufe ge- 
geben, so sind folgende Doppelverhältnisse gleich: 

(A B 0 D) = (B A D 0) = (C D A B) (D C B A). 

Vier Elemente (eines Gebildes der ersten Stufe) können auf 
vierundzwanzig verschiedene Arten permutirt oder in vierund- 
zwanzig verschiedene Gruppen gebracht werden: 

ABCD, BADO, CDAB, D C B A, 

ABDC, BACD, DCAB, CDBA, 

ACBD, CADB, BDAO, D B C A, 

ACDB, CABD, DBAC, BDCA, 

ADBC, DACB, BCAD, CBDA, 

ADCB, DABC, CBAD, B C D A, 

welche wir auf sechs Linien vertheilt haben. Die Gruppen einer 
jeden Linie sind zu einander projectivisch (Nr. 38) und haben 
folglich dasselbe Doppelverhältniss. Will man die Doppelverhält- 
nisse der vierundzwanzig Gruppen bestimmen, so genügt es, aus 
jeder Linie eine Gruppe, z. B. die sechs Gruppen der ersten 
Kolonne zu betrachten. Diese sechs Gruppen sind so von ein- 
ander abhängig, dass, wenn man eine von ihnen kennt, auch die 
fünf anderen sogleich bestimmt werden können. 

Betrachten wir die beiden Gruppen ABCD und ABDC, 
welche man durch die Vertauschung der beiden letzten Elemente 
erhält. 

Die beiden Doppelverhältnisse 

(A B C D) = g-^ : ^ und 

(ABDC) = |5:|« 

sind reciproke Werthe, also: 

(1) (ABCD) (ABDC) = 1; 
ebenso 

(1)' (A CBD) . (ACDB) 1; 

(1)" (ADBC) (ADCB) = 1. 



§ 9. Doppelverhälmisse. ß3 

Sind die vier Punkte A, B, 0, D in gerader Linie, so hat 
man die identische Gleichung 

BC.AD-^CA.BD + AB.CD = o*); 
dividirt man durch B 0 . A D , so hat man 

AC . BD AB . CD _ 
B C . A D + C B . A D " ' 

oder 

AC . AD AB A D 
BC "BD'^CB "CD"-^' 
in anderer Torm (Nr. 54) 

(2) (AB CD) -f (ACBD) = 1; 

ebenso bekommt man 

(2)' (ABDC) + (ADBC) =: 1, und 

(2)" (ACDB) + (ADCB) = 1. 

Bezeichnen wir mit X das Doppelverhältniss der Gruppe 
A B C D , d. h. setzen wir 

(A B C D) = X, 
so haben wir nach Formel (1) 

(ABDC) 

und nach Formel (2) 

(ACBD) r= 1 — 
daraus folgt, nach (1)' 

(ACDB) = 

und nach (2)" 

(ADCB) = 1-^4^ = ^-^^; 
und endlich, nach (1)" und (2)' 

(ADBC) ^:^.*') 

■"') Multipliciren wir die identische Gleichung 

BC + CA + AB=:o 
mit AD und berücksichtigen, dass 

AD=:BD + AB und AD = CD — CA, 
so bekommen wir 

BC.AD + CA{BD + AB) + AB(CD — CA) = o, 

woraus 

BC,AD + CA.BD-{-AB.CD = o. 
Möbius, loc. cit., S. 249. 



64 



Elemente der projectivisclien Geometrie, 



Wenn in der Gruppe A B (3 D zwei Punkte A und B zu- 
sammenfallen , so liat man 

AC = BC, AD = BD, folglicli (A B C D) (A A C D) =r 1 : 

wenn aber = 1 , so werden die andern Doppelverbältnisse 

(AC AD) 1 — 1 = 0, (ACD A) = co, 

cl. h. wenn von vier Elementen zwei zusammenfallen, so liat ihr 
Doppelverhältniss die Werthe 1, o, OC'. 

Ist (A B C D) = — 1, d. h. ist das Gebilde A B C D harmo- 
nisch, so geben die obigen Formeln 

(A C B D) r= 1 — (— 1) = 2, 

(ACDB):::.4:; 

wenn also (Nr. 54) das Doppei.v&i.bältniss von vier Punkten einen 
der Werthe 2 oder hat, so bilden diese Punkte, in einer an- 
deren Aufeinandet^rnlge , eine harmonische Gruppe. 

58. Aus dem Lehrsatz 54, welcher die Bedingung aus- 
drückt, die für die Projectivität zweier Gruppen von je vier 
Elementen erforderlich ist und genügt, schliesst man: 

Wenn zwei Gebilde (der ersten Stufe) projecti- 
visch sind, so haben vier beliebige Elemente des 
einen Gebildes und die vier entsprechenden Ele- 
mente des andern gleiche Doppelverhältnisse''). 

Insbesondere: vier harmonischen Elementen des einen 
Gebildes entsprechen vier harmonische Elemente des anderen 
(Nr. 44). 

59. Mögen A A' und B B' zwei beliebige Paare von 
entsprechenden Punkten zweier projectivischer Punktreihen 
(Fig. 40) und I, J' ihre unendlich fernen Punkte sein, so 
haben wir die Gleichheit der Doppelverhältnisse 

(ABU) = (A' B' r J') 

— 

'-'■} Steiner, Systematische Entwickelung etc.,ji^S. 33 (Berlin 1832), 
oder Jacob Steiner's Gesammelte Werke, herausgegeben von Weier- 
strass, Berlin 1881. 



§ 10. Constructionen projectivisclier Gebilde. 



65 



■oder (Nr. 57) 

(B A J I) = (A' B' r J') 
oder auch, weil I und J' unendlich ferne liegen (Nr. 53), 

B J : A J = A' I' : B' T, 

Fig. 40. 




^^ A B 3 u 



woraus man schliesst: 

j A . r A' = j B . r B', 

d.h. das Produkt J A . T A' hat für alle Paare der ent- 
sprechenden Punkte einen constanten Werth '^'), 

(Siehe Nr. 54, wo dieser Satz für zwei perspectivische Punlit- 
reihen bewiesen wurde.) 

§. 10. Constructionen projectivisclier Gebilde. 

60. Es seien ABC und A' B' C zwei Temen entspre- 
chender Elemente von zwei projectivischen Gebilden erster 

Fig. 41 



u" 




Stufe (Fig. 41) mit einem beliebigen System von Operationen 

(Projectionen und Schnitten), durch welche man von ABC 

zu A'B'C übergeht; dasselbe System wird auch von einem 

■'■) Steiner, loc, cit. , S. 40^^ j^. 

L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 5 



66 



Elemente der projeeth'ischen Geometrie. 



beliebigen anderen Elemente D des ersten Gebildes zu dem. 
entsprechenden Elemente D' des zweiten führen. Denn könnte 
D mit diesen Operationen ein anderes Element D" geben, so 
wären die beiden Doppelverhältnisse (AB CD) und (A'B' C'D'O 
gleich; nach Voraussetzung hat man 

(AB CD) = (A'B'C'D'); 

folglich wäre 

(A'B'C^DO (A'B^C'D'O; 
das ist unmöglich, wenn nicht D" mit D' zusammenfällt 
(Nr. 54). 

In Fig. 41 sind die Operationen: eine Projection aus S, ein 
Schnitt durch u" ^ eine Projection aus S' und ein Schnitt durch u' . 

61. Es ist ebenso leicht, die Umkehrung zu dem Satze 
Nr. 54 zu beweisen; d. h. 

Sind zwei Gebilde der ersten Stufe gegeben und 
entsprechen den Elementen A, B, C, D... des einen 
in d erselben Reihenfolge die Elemente A', B', G, D'... 
des andern in der Weise, dass vier beliebige Ele- 
mente des ersten Gebildes und die vier entsprechen- 
denElemente des andern gleiche Doppelverhältn isse 
haben, so sind die beiden Gebilde proj ectivisch. 

Denn jedes System von Operationen, das von der Terne 
ABC zur Terne A' B' C führt, leitet auch von dem Element 
D zu einem Element D'', so dass 

(AB CD) = (A'B'GD"); 
nach Voraussetzung aber ist 

(AB CD) = (A'B'GD'), 

also auch 

(A'B'GD') = (A'B'C'D'O; 
folglich fällt D" mit D' zusammen (Nr. 54). Da derselbe 
Schluss für jedes andere Paar entsprechender Elemente wahr 
bleibt, so ist bewiesen, dass die beiden Gebilde proj ectivisch 
sind (Nr. 34). 

62. Aus Nr. 60 folgt als specieller Fall: 

Wenn zwei proj ectivische Gebilde der ersten 
Stufe zwei entsprechende Temen ABC und A'B'C" 



§ 10, Constructionen projecti vis eher Gebilde. 



G7 



enthalten, die perspectiyiscli sind, so sind auch die 
beiden gegebenen Gebilde p erspectivis ch. 

Sind z. B. die beiden Gebilde zwei Punktreihen AB CD . . . 
und A' B' C D' . . . ^ so ist mit der Voraussetzung angenommen, 
dass die Geraden A A', B B', G G in einem Punkte 0 zu- 
sammenlaufen, folglich gehen auch die andern analogen Ge- 
raden DD'... durch 0 (Fig. 17 und 34). 

Als speciellen Fall setzen wir voraus, dass die Punkte 
A und A' (Fig. 20) zusammenfallen, indem sie einen ent- 
sprechend gemeinschaftlichen Punkt bilden*). Die 
Temen ABC und A' B' C sind perspectivisch und der Schnitt- 
punkt von BB' und CG ist ihr Projectionscentrum; wenn 
also zwei proj ectivische Punktreihen einen ent- 
sprechend gemeinschaftlichen Punkt haben, so sind 
sie perspectivisch. 

Umgekehrt ist klar, dass zwei perspectivische Punktreihen 
immer einen entsprechend gemeinschaftlichen Punkt haben. 

Sind die beiden Gebilde zwei Strahlenbüschel abcd. . . 
und a'h'c'd' ... in derselben Ebene, so ist mit der Voraus- 
setzung angenommen, dass die drei Punkte a a\ h h\ c d auf 
einer Geraden s liegen, also fallen auch die anderen analogen 
Punkte dd! . . . auf dieselbe Gerade (Fig. 18). Liegt die ganze 
Gerade s unendlich ferne, so erlmlt man folgende Eigenschaft: 

Sind in zwei projectivischen Strahlenbüscheln drei Paare 
entsprechender Strahlen parallel, so sind auch zwei beliebige 
andere entsprechende Strahlen parallel. 

Die Voraussetzung wird in dem Falle verificirt, wo die 
Strahlen a und a! in einen entsprechend gemeinschaftlichen 
Strahl (Fig. 42) zusammenfallen; dann ist die Gerade s die 
Verbindung der Punkte h h' und c c'. 

Wenn also zwei projectivische Strahlenbüschel 
(in derselben Ebene) einen entsprechend gemein- 
schaftlichen Strahl haben, so sind sie perspecti- 
visch. 



'"') In zwei projectivischen Gebilden nennen wir ein entsprechend 
gemeinschaftliches oder vereinigtes Element ein solches, das 
mit seinem entsprechenden zusammenfällt. 



68 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Umgekehrt haben zwei perspectivische Strahlenbüschel 
(in derselben Ebene) immer einen vereinigten Strahl. 



Fig. 42. 




Ist eines der Gebilde eine Punktreihe A B C D . . , , das 
andere ein Strahlenbüschel ahcd . . . (Fig. 26), so ist mit der 
Voraussetzung angenommen, dass die Strahlen abc durch die 
Punkte ABC gehen ; folglich geht auch d durch den Punkt 
D , . . . etc. 

63. Zwei Punktreihen können auf derselben Geraden 
liegen, oder sie sind übereinander liegende; werden z. B. 
zwei Strahlenbüschel (in derselben Ebene) S = a 6 c . . . und 
0 = a' h' g\ , . (Fig. 43) durch dieselbe Gerade geschnitten, 
so enthält diese die beiden Punktreihen ABC... A' B' C. . . , 

Fig. 43. 




die i)rojectiYisch sein werden, wenn es die beiden Büschel 
sind. Man kann sich in diesem Falle fragen, ob es entspre- 
chend gemeinschaftliche Punkte gibt, d. h. ob zwei entspre- 
chende Punkte der beiden Punktreihen in irgend einem 
Punkte der Transversalen zusammenfallen. 

Zieht man z. B. die Transversale s durch die Punkte a a' 
und bh\ so coincidiren die Punkte A und A', ebenso B und 
B'; es hat also in diesem Falle zwei entsprechend gemein- 
schaftliche Punkte. Projicirt man eine Punktreihe u (Fig. 44) 
aus zwei Centren S und 0 (die mit u in derselben Ebene 



§ 10. Constructionen projecti-vischer Gebilde. 



60 



liegen), so hat man zwei Strahlenbüscliel ah c . . . und a' h' c! 
zieht man hierauf eine Transversale s durch den Punkt, in 
weichem der entsprechend gemeinschaftliche Strahl et a' von 

Fig. 44. 




u geschnitten wird, so erhält man (auf s) die beiden pro- 
jectiyisch übereinanderliegenden Punktreihen ABC... und 
A'B'C. . ., die einen einzigen entsprechend gemeinschaftlichen 
Punkt AA' haben. 

Auf ähnliche Art können zwei Strahlenbüschel (in einerlei 
Ebene) concentrisch sein; das ist dann der Fall, wenn 
man zwei verschiedene Punktreihen aus demselben Centrum 
projicirt (Fig. 45); zwei Ebenenbüschel können dieselbe Axe 
haben, wenn man aus derselben Axe zwei verschiedene Punkt- 

Fig. 45. 




reihen oder aus verschiedenen Mittelpunkten einen Strahlen- 
büschel projicirt etc. 

Schneidet man zwei Bündel durch dieselbe Ebene, so er- 
hält man zwei übereinanderliegende ebene Gebilde; projicirt 
man zwei ebene Gebilde aus demselben Centrum, so erhält 
man zwei concentrische Bündel. In allen diesen Fällen sind 
die fraglichen Gebilde übereinanderliegend und das Aufsuchen 
ihrer entsprechend gemeinschaftlichen Elemente 
ist, wenn sie projectivisch sind, von grosser Wichtigkeit. 



70 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie. 



64. Lehrsatz. Zwei proj ectivische, übereinander 
liegende Gebilde (der ersten Stufe) haben entweder 
höchstens zweij oder alle ihre Elemente entsprechend 
p; e m e i n. 

Beweis. Hätte es drei entsprechend gemeinschaftliche 
Elemente A, B, C und wären D und B' irgend zwei andere 
entsprechende Elemente, so hätte man (nach Nr. 58) die 
Gleichheit 

(A B C D) = (A B C D'), 
folglich (Nr. 54) würde D mit D' coincidiren. Wenn also die 
beiden Gebilde nicht identisch sind, so können sie nicht mehr 
als zwei vereinigte Elemente haben. 

65. Ist ein aus vier Elementen A B C D zusammenge- 
setztes Gebilde (der ersten Stufe) zu einem zweiten Gebilde 
projectivisch, das aus dem ersten abgeleitet wird, indem man 
zwei Elemente vertauscht, z. B. zu B ACD, so behaupte ich, 
dass das Gebilde harmonisch ist und dass die beiden ver- 
tauschten Elemente zugeordnete sind. Dieser Satz ist schon 
in Nr. 55 eingeschlossen'^'); wir können aber auch folgenden 
graphischen Beweis davon geben: 

Setzen wir z. B. voraus, A, B, C, D seien vier Punkte 
einer Geraden (Fig. 46); KMQD sei eine Projection dieser 
Punkte aus einem beliebigen Centrum L auf eine durch D 



Fi». 46. 

L 




gehende Gerade. AB CD ist projectivisch zu KMQD und 
(nach Voraussetzung) auch zu B A C D, folglich sind auch die 
Gebilde KMQD und BACD projectivisch. Da aber D ein 
entsprechend gemeinschaftlicher Punkt dieser Gebilde ist, so 



■"') Denn; ist a : b = A, so ist • — i -y- ~ — 

ab i 



§ 10. Constructionen projectivisclier Gebilde. 



71 



sind sie perspectiviscli (Nr. 62) und die Geraden KB, M A, 
Q C schneiden sich in demselben Punkte N. Daraus folgt, 
dass KLMN ein vollständiges Viereck ist, in welchem zwei 
Gegenseiten in A, zwei andere Gegenseiten in B convergiren, 
während die fünfte und sechste Seite beziehlich durch C und 
D gehen. Folglich sind (Nr. 39) A, B, C, D yier harmonische 
Punkte. 

66. Da der Uebergang von einem Gebilde zu einem an- 
dern projectivischen Gebilde (der ersten Stufe) immer durch 
ein System von Operationen ausgeführt werden kann, wel- 
ches dazu dient, drei Elemente des einen aus den drei ent- 
sprechenden Elementen des andern (Nr. 60) abzuleiten, und 
da zwei gegebene Gruppen von je drei Elementen immer pro- 
jectivisch sind, d. h. immer mit Hülfe einiger Projectionen 
und Schnitte aus einander abgeleitet werden können, so dürfen 
wir schliessen: 

Sind drei beliebige Paare entsprechender Ele- 
mente von zwei projectivischen Gebilden gegeben, 
so kann man eine beliebige Anzahl anderer Paare 
entsprechender Elemente construiren. 

Wir geben zwei Beispiele, das eine von zwei Punktreihen, 
das andere von zwei Strahlenbüscheln; es ist vorausgesetzt, 
dass im einen wie im andern Fall die beiden Gebilde in 
derselben Ebene liegen. 



InFig. 47 seien A und A', B und 
B', 0 und C die drei gegebenen 
Paare entsprechender Punkte der 
projectivischen Punktreihen u 
und ti', welche zu construiren 
sind. 

Wir operiren nun so, wie wir es 
in Nr. 37 gemacht haben; auf der 
Geraden, welche zwei entspre- 
chendePunkte, z. B. Aund A' ver- 
bindet, nehmen wir zweibeliebige 
Punkte S und S' ; ziehen SB und 
S'B', die sichln B" schneiden und 



In Fig. 48 seien a und a', b 
und h', c und c' die drei gegebe- 
nen Paare entsprechender Strah- 
len der projectivischen Strahlen- 
büschel U und XJ', welche zu 
construiren sind. 

Durch den Schnittpunkt zweier 
entsprechender Strahlen, z. B. 
a a' ziehen wir beliebig zwei 
Transversalen s und s' ; h" sei 
die Verbindungslinie der Punkte 
$h und c" sei die Verbin- 
dungslinie der Punkte s c und 



72 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



S G un d S ' 0 ' , die sicli in 0" s chn ei- 
den. A" sei der Punktj in welchem 
sicli A A' und B" C" schneiden. 
Die Operationen, welche dazu 
dienen, von ABC cauf A'B'O' 
überzugehen, sind: 



s' g\ a" die Verbindungslinie 
der Punkte cia' und h" c" . Die 
Operationen, welche dazu die- 
nen, von ah c auf a b' c' zu ge- 
langen, sind: 



Fis. 47. 




von / 



S 




Fig. 48. 




1. Die Projection aus S; 
2. der Schnitt durch u" ] u" = 
A" B" G"; 3. die Projection aus 
S'; 4. der Schnitt durch u\ 
Dieselben Operationen führen 
von einem beliebigen anderen 
Punkte D auf u zu dem entspre- 
chenden Punkte D' auf u', oder 
die Strahlen SD und S' D' 
müssen sich in einem Punkte 
D" der festen Geraden ii" 
schneiden. 



1, der Schnitt durch s; 2. die 
Projection aus dem Punkt U", 
dem Schnittpunkt von a"b"c"y 
3. der Schnitt durch s'; 4. die 
Projection aus TJ', Dieselben 
Operationen führen von einem 
beliebigen Strahl d des BüschelS' 
XJ zu dem entsprechenden Strahl 
d' des Büschels XJ'; oder die 
Punkte 8 d und s' d' müssen auf 
einer Geraden d" liegen, welche 
durch den festen Punkt U" 
geht. 



§ 10. Constructionen projectivischer Gebilde. 



73 



Aufdiese Weise erhält man eine Auf diese Weise erhält man 

Pmiktreilieit" = A"B"C''D"..., einenBüscliem''EEa"6"c''(^"... , 

die sowohl zu u als zu per- der sowohl zu U als zu U' per- 

spectivisch ist. spectivisch. ist. 

In Fig. 47 schneidet der durch S gehende Strahl, der pa- 
rallel u ist, die Gerade u" in I", der Strahl S'I" schneidet u' im 
Punkte r, dessen entsprechender auf u unendlich ferne liegt. 
Ebenso schneidet der durch S' gehende Strahl, der ii' parallel 
geht, die Gerade u" in J" und der Strahl S J" schneidet u im 
Punkte J, dessen entsprechender auf u' unendlich ferne liegt. 



Ist P (Pig. 47) der Punkt, in 
welchem u von u" geschnitten 
wird, so ist P' der Schnittpunkt 
von u' und dem Strahl S' P. 
Ebenso: wenn Q' der Punkt ist, 
wo u' von u" geschnitten wird, 
so ist Q, der Schnittpunkt von 
u und S Q'. 

67. Die Mittelpunkte S und S' 
sollen mit zwei entsprechenden 
Punkten auf derselben Geraden 
liegen, im üebrigen sind sie be- 
liebig. Wir können z. B. S auf 
A' und S' auf A legen (Pig. 49). 
Dann coincidirt der Strahl S' P 
mit u und P' wird folglich der 
Schnittpunkt von u und ii' sein. 
Ebenso coincidirt der Strahl 
S Q' mit u' und Q fällt auch in 
den Punkt uu'. 

Nehmen wir also die Punkte 
A und A' an der Stelle der 
Oentren S und S', so schneidet 
die Gerade u" die beiden Ge- 
raden u und u' beziehlich in P 
und Q', welche dem Punkte uu' 
entsprechen, der das einemal 
als P' der Linie u\ das andere- 



Nennen wir p (Pig. 48) den 
Strahl U U", so verbindet der 
entsprechende Strahl p' die 
Punkte U' und s' p. Ebenso: 
wenn der Strahl U' mit q' 
bezeichnet wird, so verbindet der 
Strahl q die Punkte U und s q'. 

Die Transversalen s und s' 
sollen durch den Schnittpunkt 
zweier entsprechender Strahlen 
gehen , im Uebrigen sind sie 
beliebig. Wir können z. B. a' 
an der Stelle von s und a an 
der Stelle von s' nehmen (Pig. 50). 
Dann coincidirt der Punkt s' p 
mit U; folglich ist p' die Ge- 
rade U' U. Ebenso coincidirt 
der Punkt s q' mit U' und q ist 
nichts anderes als die Gerade 
UU'. 

Nehmen wir also die Strahlen 
a' und a an der Stelle der Trans- 
versalen s und s', so ist der 
Punkt U" der Durchschnitt der 
Strahlen p und g', welche der 
Geraden U U' entsprechen , die 
das einemal als Strahl p' des 
Büschels U', das anderemal als 



74 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



mal als Q der Linie u ange- 
sehen wird. 

In der Construction der vor- 
hergehenden Nummer war aber 
die Gerade u' ' der Ort der Schnitt- 
punkte der entsprechenden Strah- 
len der perspectivischen Büschel 

S (ABCD .. .) und S' (A'B'OT'. . 

Die Gerade u", die wir hier er- 
halten, ist ebenfalls der gemein- 
same Schnitt der Büschel 

A'(ABCD .. .)und A(A'B'G'D'. . .), 

d.h. der Ort der Punkte, in denen 
sich die Linienpaare A' B und 
AB', A' 0 und A C', A'D und 
AD'... schneiden. 



Strahl q des Büschels U ange- 
sehen wird. 

In der Construction der vor- 
hergehenden Nummer war aber 
der Punkt U" das Projections- 
centrum der perspectivischen 
Punktreihen 

s {ab c d . . .) und s' (a' b' c' d..,). 

Der Punkt U", den wir hier 
erhalten, ist ebenfalls Projec- 
tionscentrum der Punktreihen 

a' {a b G d. und a {a' b' c' d' . . .), 

d. h. der Schnittpunkt der Ge- 
raden, welche die Punktenpaare 
a' b und a &', a' c und a c', a' d 
und a d' . . . verbinden. 



Fig. 49. 



Fig. 50. 





Nehmen wir statt der Punkte 
A' A zwei andere Punkte B' und 
B oder C' und 0 . . , als Pro- 
jectionscentren, so muss noch 
immer die Gerade u" die beiden 
Linien n und u' in den Punk- 
ten P und Q' schneiden, d. h. 
die Gerade u" bleibt dieselbe. 



Nehmen wir statt der Strahlen 
a' a zwei andere Strahlen b' und 
b oder c' und c . . . als Trans- 
versalen, so muss noch immer 
der Punkt U" der Durchschnitt 
der Strahlen p und q' sein, 
d. h. der Punkt U" bleibt der- 
selbe. 



§ 10. Constructionen projectivischer Gebilde, 



75 



Sind also ABC... M IST . . , 
und A' B' C . . . M' N' . . . zwei 
projectivische Punktreihen (in 
derselben Ebene), so schneiden 
sich alle Linienpaare, die den Ge- 
radenMN' und M'N analog sind, 
in Punkten, die einer festen Ge- 
raden angehören. Diese Gerade 
geht durch diejenigen Punkte 
der Panktreihen, welche ihrem 
Durchschnittspunkte entspre- 
chen. 

68. Sind die beiden Punkt- 
reihen u und u' perspectivisch 
(Pig. 51), so coincidiren die 
PunkteP und Q' mit dem Schnitt- 
punkte 0 der beiden Geraden (u, 
u'); und da der gerade Ort der 
Punkte (AB', A'B), (AC, A' G), 
(AD', A'D),.. und der gerade 
Ort der Punkte (BA',B'A), (BC, 
B'C), (BD',B'D),.. die Punkte 
0 und (AB', A' B) gemein haben, 
so fallen sie zusammen. Dann ist 
A A' B B' ein vollständiges Vier- 
eck; dessen Diagonalpunkte sind 
0, S (Schnittpunkt von A A' und 
B B' . . .) und M (Schnittpunkt von 
A B' und A' B) ; folglich sind 
(Nr. 50) die Geraden u und u' 
durch die Geraden und 0 S 
harmonisch getrennt. 

Wenn also zwei Transversalen 
u und u' einen Strahlenbüschel a, 
6, c . . . in den Punkten (A, A'), 
(B, B'), (C, C') . . . schneiden, so 
liegen die Punkte, in denen sich 
die Linienpaare A B' und A' B, 
AG' und A'C, B 0' und B' 0 
schneiden, auf derselben Ge- 



Sind also abc... mn... und 
a'h'c'... m' n . . . zwei projec- 
tivische Strahlenbüschel (in der- 
selben Ebene) , so gehen alle 
Geraden, welche die den Punk- 
ten mn' und m! n analogen Punk- 
tenpaare verbinden, durch einen 
festen Punkt, welcher der Schnitt- 
punkt derjenigen Strahlen ist, die 
der Verbindungslinie der Bü- 
schelmittelpunkte entsprechen. 

Sind die beiden Büschel U und 
U' perspectivisch (Fig. 53), so 
fallen die Strahlen j:) und q' mit 
derGeradenUU' zusammen; und 
da der Schnittpunkt der Strahlen 
(a &', a' 6), {a c', a' c), (a d', a d). 
und der Schnittpunkt der Strah- 
len (b a', b' a), b c', b' c), (b d' ,b'd).., 
gleichzeitig in den Strahlen UU' 
und (et 6', a' b) liegen, so fallen 
sie zusammen. Dann ist aa' bb' 
ein vollständiges Vierseit; des- 
sen Diagonalen sind U U', s (der 
gemeinsame Schnitt der beiden 
Büschel) uüd m (die Verbindung 
der Punkte ab', a' b); folglich 
sind (Nr. 49) die Punkte TJ und 
U' durch den Punkt U" und 
die Gerade s harmonisch ge- 
trennt. 

Wenn also eine Punktreihe 
aus zwei Punkten U und U' 
durch die Strahlen (a, a') (b, b'), 
(c, c') . . . projicirt wird, so lau- 
fen die Geraden, welche die 
Punktenpaare (a b\ a' b) , (a c', 
a' c) , (b c', b' c) . . . verbinden, 
in einem Punkte U" zusammen, 



76 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



raden u"., welche durch den Punkt 
uu' geht; die Geraden -i*' sind 
durch die Gerade u" und das 
Centrum des Büschels harmo- 
nisch getrennt. 

Daraus folgt die Lösung der 
Aufgabe: 

Die Gerade zu ziehen, welche 
einen gegebenen Punkt M mit 



welcher mit der Geraden s die 
Strecke U U' harmonisch theilt. 



Daraus folgt die Lösung der 
Aufgabe : 

Den Schnittpunkt einer ge- 
zogenen Geraden m und einer Ge- 



Fig. ö'l. 




c u 



dem unzugänglichen Schnitt- 
punkt zweier gegebenen Geraden 
u und u' verbindet. 

Wir ziehen durch M (Fig. 51 
und 52) zwei Gerade, welche u 
in A und B, und u' in B' und 
A' schneiden, durch den Punkt 
S, in welchem sich AA' und BB' 

Fig. 52. 




W B 



A' '4' 



schneiden, ziehen wir eine an- 
dere Gerade, welche \i und ii! 
in 0 und C trifft. Der Schnitt- 



raden (U, U') zu zeichnen, wenn 
letztere nicht gezogen, aber 
durch zwei gegebene Punkte U 
und U' bestimmt ist. 

Auf m (Pig. 53) nehmen wir 
zwei Punkte, die mit U ver- 
bunden, die Geraden a und 6, mit 
U' verbunden, die Geraden a! 
und h' geben; auf der Verbin- 

Fig. Ö3. 




dungslinie s der Punkte aa' und 
5 h' nehmen wir einen dritten 
Punkt, der mit ü und U' ver- 



§ 10. Constructionen projectivischer Gebilde. 



77 



punktN der beiden Geraden B 0' 
und B' C ist ein zweiter Punkt 
der gesuchten Geraden u!' . 



bunden die Geraden c und c' gibt. 
Die Verbindungslinie n der 
Punkte h c' und h' c schneidet m 
in dem gesuchten Punkte U". 



Sind die Geraden u und u' parallel (Fig. 52), so löst die vor- 
hergehende Construction die Aufgabe: mit Hülfe des Lineals 
allein durch einen gegebenen Punkt eine Gerade zu legen, die 
zwei gegebenen Geraden parallel ist. 



69. Wird dieser Satz auf drei 
Punktenpaare AA', B B', 0 0' 
beschränkt, dieimUebrigenganz 
beliebig sind, so kann er so aus- 
gesprochen werden: 

Hat ein Sechseck AB' C A' B 0' 
(Fig. 54) seine Eckpunkte un- 
geraden Ranges (1, 3, 5) auf einer 
Geraden u und seine Eckpunkte 
geraden Banges (2, 4, 6) auf 
einer Geraden u', so schneiden 
sich die Paare der Gegenseiten 
(AB' und A'B), B'C undBO', 
CA' und AG') in drei Punkten 
einer Geraden u" *). 




Wird dieser Satz auf drei 
Strahlenpaare a a', b b\ c c' be- 
schränkt, die im Uebrigen ganz 
beliebig sind, so kann er so aus- 
gesprochen werden: 

Wenn in einem Sechsseit 
a V c a' h cj (Fig. 55) die Seiten 
ungeraden Ranges (1 , 3 , 5) in 
einem Punkte U, die Seiten ge- 
raden Banges (2, 4, 6) in einem 
Punkte U' zusammenlaufen, so 
schneiden sich die Geraden, 
welche die drei Paare der Gegen- 
ecken ia h' nnd a' 6, h' c und bc', 
ca' und a' c) verbinden, in einem 
Punkte U". 

Fig. 55. 



70. Kommen wir auf die Con- 
struction Nr. 66 (links) zurück 




Kommen wir auf die Con- 
struction Nr. 66 (rechts) zurück 



-'•-) Pappus, loc. cit., Buch VII, S, 139. 



78 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



und nehmen als Centrum S den 
Punkt, in welcliein A A' und 
BB' sich schneiden, als Cen- 
trum S' den Schnittpunkt von 
AA' und CC (Fig. 56). Dann 
ist B' 0 die Grerade u" ^ weil sich 
die Strahlen S B und S' B' in B' 
und die Strahlen S C und S' C 
in 0 schneiden. Folglich con- 
struirt man irgend ein anderes 
Paar entsprechender Punkte D 
und D', indem man beachtet, 
dass die Greraden S D und S' D' 
sich auf B' C schneiden. 



und nehmen als Transversale s 
die Gerade, welche die Punkte 
a a' und c c' verbindet, als Trans- 
versale s' die Verbindungslinie 
der Punkte aa' und bb' (Pig. 57), 
Dann ist der Punkt U' ' der Durch- 
schnitt bc'j denn b verbindet die 
Punkte s b und s' b\ und c' ver- 
bindet die Punkte s c und s' c'. 
Man construirt also irgend ein 
anderes Paar entsprechender 
Strahlen d und d', indem man 
beachtet , dass die Punkte s d 
und s' d' mit b c' auf derselben 
Geraden liegen müssen. 



Fig. 56. 



Fig. ö7. 




B' A' 



C' u' 



Aus der Betrachtung der Figur 
SS'CDD'B', die ein Sechseck 
ist, ergibt sich der Satz: 

In einem Sechseck, in wel- 
chem zwei Seiten Strecken 
zweier p r o j e c t i v i s c h e r 
Punktreihen, die vier an- 
dern Seiten die Verbin- 
dungen von vier Paaren 
entsprechender Punkte 
sind, schneiden sich die 
drei Geraden, welche die 
Gegen ecken paarweise 




Aus derBetrachtung der Figur 
s s' b d d' c', die ein Sechsseit ist, 
ergibt sich der Satz: 

In einem Sechsseit, in 
welchem zwei Eckpunkte 
Oentren zweier projectivi- 
scher Strahlenbüschel, die 
vier andern Eckpunkte 
die Durchschnitte von vier 
Paaren entsprechender 
Strahlen sind, liegen die 
drei Punkte, in denen sich 
die Gegenseiten paarweise 



§ 10. Constructionen prqjectiTiscber Gebilde. 



79 



verbinden, in demselben 
Punkte. 

71. "Würden sich bei der Lö- 
sung der Aufgabe ISTr. 66 (links) 
die drei Geraden AA', BB', CO' 
in demselben Punkte S scknei- 
den (wenn z. B. A und A' coin- 
cidiren), so wären die beiden 
Punktreihen perspectiviscb; man 
hätte dann nur durch S Strahlen 
zu ziehen, um alle Paare ent- 
sprechender Punkte zu erhalten 
(Fig. 17). 



schneiden, in einer Ge- 
raden. 

Lägen die drei Punkte a a\ 
bb', cc' von Nr. 66 (rechts) auf 
derselben Geraden s (wenn z. B. 
a und a' coincidiren), so wären 



die beiden Büschel perspecti- 
visch; man hätte dann nur die 
beiden Centren der Büschel mit 
jedem Punkte von s zu verbin- 
den, um alle Paare entspre- 
chender Strahlen zu erhalten 
(Fig. 18). 



72. Sind die beiden Punktreihen u und n' (Nr. 66 links) 
übereinander liegend, d. h. liegen die sechs gegebenen Punkte 
AA'BB'CC auf derselben Geraden (Pig. 58), so projicirt man 
zuerst u' aus einem beliebigen Centrum S' auf irgend eine Ge- 
rade und zeichnet dann an den Pu.nktreihen u = (ABC...) 

Fig. 58. 




und Ui = (AjBiCi ...)? ^1. h. man verfährt mit den Punkten- 
paaren (AAi), (BB^), (CCj) in der Nr. 66 angegebenen Weise. 
Ist ein Paar entsprechender Punkte D und Dj der Punktreihen 
u und 11^ gefunden, so bestimmt der Strahl S'Di auf li' den Punkt 
D', welcher D entspricht. 



80 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Die Constmction wird einfacher, wenn zwei entsprechende 
Punkte A und A' coincidiren (Fig. 59); zieht man dann ii^ durch 
A, so ist die Pimktreihe zu u perspectivisch ; hat man folglich 
ti' aus dem beliebigen Centrum S' auf projicirt und schneiden 
sich B Bj und C 0| in S, so hat man nur noch u aus S auf 
und dann aus S' auf u' zu projiciren. 



Fig. ö9. 

s 




s' 



Die beiden übereinander liegenden Punktreihen u und u' haben 
einen zweiten entsprechend gemeinschaftlichen Punkt in dem 
Durchschnitt der gegebenen Greraden und des Strahles 8 S' ; der 
erste ist AA'. 

Greht also der Strahl S S' durch den Punkt u , so haben 
die beiden übereinander liegenden Punktreihen u und u' nur 
einen entsprechend gemeinschaftlichen Punkt. Wollte man auf 
einer gegebenen Geraden zwei übereinander liegende Punktreihen 
construiren, für welche A A' ein Paar entsprechender Punkte und 
M der einzige entsprechend gemeinschaftliche Punkt ist (Fig. 59 1), 
so müsste man, von einem beliebigen Punkte S' aus, den Punkt 

Fig. 591. 



s. 




S' 



A' auf eine durch M beliebig gezogene Gerade itj in A^ projiciren 
und den Schnittpunkt S von A A^ und S'M construiren ; um dann auf 
u' den Punkt B' zu finden, der einem Punkte B auf u entspricht, 
projicirt man B von S aus in ßj und hierauf B| von S' aus in B^ 



§ 11. Besondere Fälle und Uebungen. 



81 



Sind die beiden Büschel U und U' (Nr. 66 rechts) con- 
centrisch, d. h. gehen die sechs Strahlen aa'bh'cc' durch 
denselben Punkt, so schneidet man zuerst a' b' c' durch eine 
Transversale und projicirt die Schnittpunkte aus irgend einem 
Centrum Uj. Sind die projicirenden Strahlen C| , so haben 
wir die beiden getrennten Büschel U und Ui zu betrachten. 

Wir können au.ch ah c durch eine Transversale in ABC 
schneiden, ebenso a' h' c' durch eine andere Transversale in A'B' C, 
dann mit den beiden Punktreihen ABC... und A' B' C . . . in 
der oben erklärten Weise verfahren. 

Wir geben die Figuren nicht, welche diesen Oonstructionen 
entsprechen, damit sie der Leser selbst herstelle. Man erhielte 
auch da eine merkliche Vereinfachung, wenn es unter den ge- 
gebenen Strahlen einen entsprechend gemeinschaftlichen gäbe, 
wenn z. B. a und a' in einen einzigen Strahl zusammenfielen etc. 



73. Zwei Punktreiheii sind ähnlich, wenn den Punkten 
A, B, C, D... der einen Eeihe die Punkte A', B', C, D'... 
der anderen in der Weise entsprechen, dass das Verhältniss 
von zwei entsprechenden Strecken eine constante Zahl ist. 

Ist diese Zahl die Einheit, so sind die Punktreihen gleich. 

Zwei ähnliche Punktreihen sind proj ectivisch, weil jedes Dop- 
pelverhältniss, (AB CD) z. B. seinem entsprechenden (A'B' CD') 



gleich ist. Denn setzen wir voraus, die beiden Geraden liegen 
in derselben Ebene (Fig. 60) und bezeichnen wir ihren Schnitt- 
punkt als Punkt der Geraden u' mit P' und als Punkt der 
Geraden u mit Q. Ein beliebiges Paar entsprechender Punkte 
sei AA', P sei derjenige Punkt von welcher P' entspricht, 

L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 6 



§ 11. Besondere Fälle und UeMngeii. 



Fig. 60, 




82 



Elemente der projectivi sehen Geometrie. 



Q' derjenige Punkt von u\ welcher Q entspricht; ziehen wir 
AA'' parallel u' und A' A" parallel u. In den Dreiecken P QQ' 
und PAA" sind die Winkel Q und A gleich und von pro- 
portionalen Seiten eingeschlossen, denn nach Voraussetzung ist 

PQ _ _PA ^PA 
P'Q' ~ P'A' ~AA" 

Daraus folgt, dass die Punkte P, Q', A" in gerader Linie 
liegen; projicirt man also durch Parallele zu u' die Punktreihe 
ABC... auf P Q' in A"B" C". . hernach durch Parallele zu 
u die Punktreihe A"B"C"... auf u\ so erhält man die 
Punktreihe k'B'C... 

Ist P Q = P' Q', d. h. bildet die Gerade P Q' mit den 
beiden gegebenen Geraden gleiche Winkel, so sind die beiden 
Punktreihen gleich. 

Dem unendlich fernen Punkte von u entspricht der un- 
endlich ferne Punkt von u\ 

74. Umgekehrt, wenn sich die unendlich fernen Punkte 
I und r zweier projectivischer Punktreihen u und u' ent- 
sprechen, so sind die Punktreihen ähnlich. Denn projicirt 
man (Fig. 60) u aus T und u' aus I (wie in Nr. 67, links), 
so erhält man zwei Büschel paralleler Strahlen, von denen 
die entsprechenden sich auf einer festen Geraden u" schnei- 
den. Die Strecken A" B" von u" sind dann den Strecken 
AB von u und den Strecken A'B' von u' proportional; folg- 
lich sind die Strecken AB von u den Strecken A'B' von u 
proportional. 

Oder auch: sind AA', BB', CG' drei Paare entsprechen- 
der Punkte und I, T die unendlich fernen Punkte, so haben 
wir die Gleichheit der Doppelverhältnisse (Nr. 58) 

(AB Gl) = (A'B'GP), oder 

da I und V unendlich ferne sind (Nr. 54) 

AC _ A'C 
BC " B'G 

eine Gleichung, welche genau die Proportionalität der ent- 
sprechenden Segmente ausdrückt. 



§ 11. Besondere Fälle und Hebungen. 



83 



Beispiele. Sciineiclet man einen Strahlenbüschel (dessen 
Centrum in endlicher Eerne liegt) durch zwei parallele Geraden, 
so erhält man zwei ähnliche Punktreihen. 

Zwei beliebige Schnitte eines Büschels paralleler Strahlen 
sind ähnliche Punktreihen. 

In diesen beiden Beispielen sind die Punktreihen auch per- 
spectivisch; im ersten Falle ist der entsprechend gemeinschaft- 
liche Punkt im Unendlichen ; im zweiten Falle ist er (im All- 
gemeinen) in endlicher Entfernung. 

75. Zwei Strahlenbüschel, deren Centren unendlich ferne 
liegen, sind projectivisch und heissen ähnlich, wenn ein 
Schnitt des einen Büschels einem Schnitte des andern ähnlich 
ist. Dann sind irgend zwei andere Schnitte der beiden Bü- 
schel ebenfalls ähnlich. 

76. Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse schliesst 
man, dass zwei gleiche Punktreihen projectivisch sind (Nr .61) 
und dass umgekehrt zwei projectivische Punktreihen gleich 
sind (Nr. 54), wenn die entsprechenden Segmente, die zwi- 
schen den Punkten zweier entsprechenden Temen ABC und 
A'B'C liegen, gleich sind, d. h. wenn A'B' = AB, A' C = A C 
(folglich B' C = B G). 

Beispiele. Schneidet man einen Büschel paralleler Strahlen 
durch zwei zu diesen Strahlen gleichgeneigte Transversalen, so 
erhält man zwei gleiche Punktreiheu. 

Schneidet man einen Büschel nicht paralleler Strahlen durch 
zwei parallele Transversalen in gleichen Entfernungen von dem 
Oentrum des Büschels, so erhält man zwei gleiche Punktreihen. 

77. Zwei ähnliche, übereinander liegende Punktreihen, die schon 
einen entsprechend gemeinschaftlichen Punkt N in unendlicher 
Ferne haben, besitzen noch einen anderen M, der gewöhnlich in 
endlicher Distanz ist. Sind A A', B B' zwei Paare entsprechender 
Punkte, so hat man 

M A : M A' A B : A' B' = const. 

Es wird also genügen, das Segment AA' in zwei Theile 
M A und M A' zu theilen , die ein gegebenes Verhältniss haben. 
Der Quotient M A : M A' ist (Nr. 54) das Doppelverhältniss 
(A A'MN). 



84 



Elenaetite der projectivischen Geometrie. 



Ist sein Werth gleich — 1, so ist die Gruppe A A' M N har- 
monisch (Nr. 55'i , d. h. M ist der Mittelpunkt von A A', ebenso 
derjenige von jedem anderen entsprechenden Segment BB'...; 
mit andern Worten, die beiden Punktreihen sind aus Paaren 
von Punkten zusammengesetzt, die gleich weit von einem festen 
Punkte M entfernt sind. 

Ist aber das constante Yerhältniss gleich -|- 1, d. h, sind 
M A und M A' in drösse und Vorzeichen gleich, so ist der Punkt 
M im Unendlichen. Denn, da (AA'MN) = 1, so hat man 
CNMA'A) = 1 (Nr. 38): folglich (Nr. 57) fallen die Pimkte M 
und N zusammen. 

Es folgt auch aus der Gonstruction von Nr. 72 (Fig. 59i), 
dass zwei übereinander liegende Punktreihen, die nur 
einen entsprechend gemeinschaftlichen Punkt in unend- 
licher Perne haben, gleich sind. 

Rückt der Punkt M ins Unendliche, so werden die Geraden 
SS' und A^ Bj der gegebenen Geraden u oder ii' (Pig- SOj) pa- 
rallel und da die Dreiecke S A^ B, und S' A| Bj eine gemeinsame 



Fig. 60i. 

S S' 




Basis haben, die der Verbindungslinie der Spitzen parallel ist, so 
sind die Segmente, welche sie auf einer beliebigen Parallelen zur 
Basis abschneiden, gleich; also AB = A' B', oder zwei ent- 
sprechende Segmente sind gleich; folglich ist AA' = BB'., 
d. h. das zwischen zwei entsprechenden Punkten lie- 
gende Segment ist constant. Man kann also voraussetzen, 
dass die beiden Punktreihen durch ein in Grösse und Sinn 
bestimmtes Segment erzeugt werden, welches sich auf einer ge- 
gebenen Geraden fortbewegt; das eine Ende A des Segmentes 
beschreibt die eine Punktreihe, das andere Ende A' beschreibt 
die andere Reihe. 

Umgekehrt ist klar: wenn ein in Grösse und Sinn ge- 
gebenes Segment auf einer gegebenen Geraden fortgleitet, so be- 
schreiben seine Endpunkte A und A' zwei gleiche und folglich 



§ 11. Besondere Fälle und Uebucgen. 



85 



projectivisclie Punktreihen , die in unendlicher Eerne einen ein- 
zigen entsprechend gemeinschaftlichen Punkt haben. 

78. Zwei Strahlenbüschel werden gleich genannt, 
wenn den Elementen des einen die Elemente des andern in 
der Weise entsprechen, dass der von zwei beliebigen Ele- 
menten des ersten Gebildes eingeschlossene Winkel der Grösse 
und dem Sinne nach demjenigen Winkel gleich ist, der von 
den entsprechenden Elementen des andern Gebildes einge- 
schlossen wird. 

Es ist klar, dass man zwei gleiche Büschel immer durch 
zwei Transversalen so schneiden kann, dass die sich ergeben- 
den Punktreihen gleich sind; zwei gleiche Punktreihen sind 
aber auch immer projectivisch, also sind auch zwei gleiche 
Büschel immer projectivisch. 

Umgekehrt sind zwei proj ectivische Strahlenbüschel ah cd... 
und a' h' g' d' ... gleich , wenn drei Strahlen a , ö, c des einen 
und die drei entsprechenden Strahlen a', h\ c' des andern 
zwei gleiche Figuren bilden. Der Satz kann bewiesen w^er- 
den, indem man die beiden Büschel durch zwei Transversalen 
in der Weise schneidet, dass die Schnitte ABC und A'B'C 
der Gruppen ahc und a'h'c' gleich sind. Die projectivischen 
Punktreihen, die sich daraus ergeben, sind gleich (Nr. 76), 
folglich sind auch die andern entsprechenden Winkel a d 
und a' d' . . . der gegebenen Büschel einander gleich. 

79. Da zwei gleiche Gebilde (Punktreihen oder Büschel) 
immer projectivisch sind, so können wir daraus schliessen: 
wenn man eine Punktreihe oder einen Büschel an eine andere 
Stelle im Räume bringt, ohne die gegenseitige Lage ihrer 
Elemente zu verändern, so ist dieses Gebilde in seiner neuen 
Lage zu demselben Gebilde in seiner ursi)rüngiichen Lage 
projectivisch. 

80. Man denke sich zwei gleiche Stralilenbüschel ah cd... 
und a'h'c'd' in derselben Ebene oder in zwei parallelen Ebe- 
nen; ein Strahl des einen Büschels drehe sich um sein Cen- 
trum und beschreibe den Büschel selbst, dann beschreibt der 



86 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



entsprechende Strahl den andern Büschel, indem er sich 
entweder in gleichem oder in entgegengesetztem Sinne 
um sein Centrum bewegt. Im ersten Falle nennt man die 
beiden Büschel einstimmig gleich, im zweiten Falle sind 
sie entgegengesetzt gleich. 

Im ersten Falle sind offenbar die Winkel a a\ h b\ cc' ... 
alle gleich (der Grösse und dem Sinne nach); folglich sind 
zwei entsprechende Strahlen entweder immer parallel oder 
nie parallel. 

Im zweiten Falle sind zwei entsprechende Winkel gleich 
gross, aber im Sinne entgegengesetzt. Verschiebt man folglich 
einen der Büschel parallel zu sich selbst, bis sein Centrum 
mit demjenigen des zweiten Büschels zusammenfällt, so sind 
offenbar die Winkelhalbirenden zweier entsprechender Strahlen 
a und a' die entsprechend gemeinschaftlichen Strahlen der 
beiden übereinander liegenden Büschel, die immer noch pro- 
jectivisch sind (Nr. 79); daraus folgt, dass diese Strahlen 
auch die Winkelhalbirenden irgend eines andern Paares ent- 
sprechender Strahlen sind. Nimmt man also wieder an, dass 
die beiden Büschel nicht concentrisch sind, so haben sie 
zwei parallele Paare entsprechender Strahlen: in 
jedem Büschel sind diese beiden Strahlen senkrecht 
aufeinander, denn sie haben die Richtungen der Winkel- 
halbirenden von einem beliebigen Paar entsprechender Strahlen. 

81. Sind zwei Strahlenbüschel a h cd . . . und a' h' c d' . , . 
projectivisch und sind die Winkel a a'. 5 6', c c' von drei 
Paaren entsprechender Strahlen gleich gross und von gleichem 
Sinne, so hat der Winkel d d' von irgend einem andern ent- 
sprechenden Strahlenpaar dieselbe Grösse und denselben Sinn. 
Denn verschieben wir den ersten Büschel, parallel zu sich 
selbst, bis er mit dem zweiten concentrisch ist und drehen 
ihn um das gemeinsame Centrum um den Winkel a a\ so 
werden die Strahlen a, b, c bezüglich mit den Strahlen a\ 
b\ c zusammenfallen; die beiden Büschel, die nicht aufgehört 
haben, projectivisch zu sein (Nr. 79), haben dann drei ent- 
sprechend gemeinschaftliche Strahlen, folglich (Nr. 64) wird 



§ 11. Besondere Fälle und üebiingen. 



87 



auch jeder andere Strahl mit seinem entsprechenden zusam- 
menfallen. Bringt man jetzt den ersten Büschel in seine ur- 
sprüngliche Lage zurück, so wird der Winkel cid' gleich 
a a! sein. 

82, Da die Winkel aa\ hh\ cc'... von zwei einstimmig 
gleichen Strahlenhüscheln gleich sind, so können solche Bü- 
schel, wenn sie concentrisch sind und in einerlei Ebene lie- 
gen, durch die Rotation eines unveränderlichen Winkels o a 
um seinen festen Scheitel 0 erzeugt werden; der eine Schen- 
kel a erzeugt den einen Büschel, der andere Schenkel a' er- 
zeugt den andern Büschel. 

Umgekehrt, dreht sich ein Winkel von unveränderlicher 
•Grösse um seinen Scheitel, so erzeugen seine Schenkel (ein- 
stimmig) gleiche und folglich projectivische Strahlenbüschel. 
■Offenbar haben diese projectivischen Strahlenbüschel keinen 
entsprechend gemeinschaftlichen Strahl. 

Eine Transversale, welche diese beiden Büschel schneidet, 
bestimmt übereinander liegende Punktreihen ohne entsprechend 
gemeinschaftliche Punkte. 

Ohne irgend welche Veränderung könnte über zwei Ebenen- 
büschel im Eaiime dasselbe gesagt werden, was in den Nr. 78 — 82 
von zwei Strahlenbüscheln derselben Ebene gesagt wurde. 

83. Projiciren wir die übereinander liegenden Pimktreihen 
ABC..., A' B^ 0' auf derselben Greraden mit Hülfe der Büschel 
ahc..,^ a'b'c'... aus zwei verschiedenen Punkten U und U'. Die 
durch U und U' gehenden Strahlen i, j' seien der gegebenen Ge- 
raden parallel, i' und j ihre entsprechenden Strahlen. Die Punkte 
I', J, in welchen diese letzteren Strahlen die gegebene Gerade 
schneiden, werden dann diejenigen Punkte sein, welche dem un- 
endlich fernen Punkte (I oder J') der gegebenen Geraden ent- 
sprechen, je nachdem man diesen letzteren als Punkt der Reihe 
ABC... oder als Punkt der Reihe A' B' C . . . ansieht. 

Die Projectivität der beiden entsprechenden Gruppen gibt 
u.ns (Nr. 59) eine Gleichheit der Doppelverhältnisse, aus welcher 
man zieht 

(1) J A . r A' = JB . r B' const,, 

d. h. das Product J A . FA' ist eine für jedes Paar AA' constante 



88 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



Grösse. 0 sei die Mitte des Segmentes JT, 0' der 0 entspre- 
cherLde Punkt (0 als Punkt der ersten Reihe angesehen). 

Da die Grleichung (1) für jedes Paar entsprechender Punkte, 
also auch für 0 0', besteht, so haben wir 

(2) JA . I'A' = JO . ro', 
oder auch 

(0 A — 0 J) . (0 A' - 0 P) + 0 J . (0 0'" 0 P) =: 0, 
und da 

0 P = - 0 J, 

haben wir auch 

(3) 0 A . 0 A' — 0 P (0 A — 0 A' + 0 0') = 0. 

Prägen wir jetzt, ob entsprechend gemeinschaftliche 
Punkte vorhanden sind und nennen wir einen solchen E, so 
geht die letzte Grleichung, in welcher E an der Stelle von A und 
A' gesetzt wärd, in die folgende über 

(4) 0E^=^ OP .0 0'. 

Daraus folgt: wenn 0 I' . 0 0' positiv ist, d. h. wenn 0 nicht 
zwischen P und 0' liegt, so gibt es zwei vereinigte Punkte, E 
und P, in deren Mitte 0 liegt und welche die Punkte P und 0' 
harmonisch trennen (Nr. 56). 

Liegt 0 zwischen I' und 0', so hat es keine entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkte. 

Fällt 0' mit 0 zusammen, so hat es nur einen entsprechend 
semeinschaftlichen Punkt und zwar ist es der Punkt 0 selbst. 

Stellen wir uns vor, es werde jede der beiden Punktreihen 
durch einen Punkt erzeugt, der sich immer in demselben Sinne 
fortbewegt *). Wird die eine Reihe in dem Sinne ABO durch- 
laufen, so wird die andere Reihe in dem Sinne A'B'C durch- 
laufen, welcher dem ersten entweder gleich oder entgegengesetzt ist. 

Sind die beiden Sinne ABC, A'B'C entgegengesetzt, so 
sind es auch die beiden Sinne I JAundPJ'A'; dasselbe ist mit 
dem . endlichen Segment J A und dem unendlichen Segment J' A' 
der Pall, d. h. die endlichen Segmente JA und PA' haben den- 
selben Sinn, In Polge der Gleichung (2) haben auch J 0 und 
I'O' denselben Sinn, also fällt 0 nicht zwischen I' und 0' 
(Pig. 61 , a); es hat folglich zwei entsprechend gemeinschaft- 
liche Punkte. Da 0 E die mittlere Proportionale zwischen 0 P 

Siehe Steiner, loc. cit., S. 61. § 



§ 11. Besondere Fälle und Hebungen. 



89 



und 0 0' ist, so fallen die entsprechend gemein scliaftliclien Punkte 
über das endliche Segment J I' hinaus. 

Sind die Sinne ABC und A'B'C gleich, so gelangt man 
auf dieselbe Weise zu dem Schlüsse, dass JA und I'A', ebenso 

Fig. 61. 



u 



^ ' 0' l' ^' 



J 0 und r 0' entgegengesetzte Sinne haben. Es hat dann ent- 
sprechend gemeinschaftliche Punkte, wenn 0 nicht zwischen 1' 
und 0', d. h. wenn 0' zwischen 0 und V liegt (Fig. 61, b). Da 
OE die mittlere Proportionale zwischen Ol' und 0 0' ist, so 
fallen die entsprechend gemeinschaftlichen Punkte innerhalb des 
Segmentes JP. 

Nehmen wir an, es gebe zwei entsprechend gemeinschaftliche 
Punkte E und P (Pig. 62); wir ziehen durch E irgend eine Ge- 
rade und projiciren aus zwei Punkten S und S' dieser Geraden 

Fig. 62:. 



S' 

beziehungsweise die beiden Punktreihen. Die beiden Büschel 
sind wegen dem vereinigten Strahle S E S' perspectivisch, folglich 
schneiden sich die entsprechenden Strahlen S A und S' A', S B 
und S'B', ... SP und S'P' in Punkten, die auf einer durch P 
gehenden Geraden ii" liegen. 

Der Schnittpunkt dieser Geraden ii" und S S' sei E"^ dann 
sind EPAA' und E P B B' die Projectionen von EE"SS' aus 
den Oentren A" und B", also sind die Gruppen E P A A' und 
EPBB' projectivisch oder es ist das Doppelverhältniss der aus 
den beiden entsprechend gemeinschaftlichen Punkten und zwei 
beliebigen entsprechenden Punkten gebildeten Gruppe constant. 

Oder: Zwei übereinanderliegende Gebilde mit zwei 
entsprechend gemeinschaftlichen Elementen sind aus 



90 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Elementenpaaren zusammengesetzt, die mit zwei fixen 
Elementen ein constantes Doppelverkältniss geben*). 

Gribt es keine vereinigte Punkte, liegt also 0 zwiscben 0' und 
r (Fig. 63), so errichten wir in 0 ein Lotli 0 U auf die gegebene 
Gerade und machen es gleich dem geometrischen Mittel zwischen 
r 0 und 0 0', der Winkel I' ü 0' sei also ein rechter. Wir 
ziehen überdies durch U die Gerade I U J' parallel der gege- 

Fig. 63. 



w 
u 

benen Geraden, dann ist Winkel IUI' gleich Winkel J U J', 
Winkel 0 U 0' gleich Winkel OFU und folglich gleich IUI'. 
In den beiden projecti vischen Büscheln, welche die beiden ge- 
gebenen Punktreihen aus U projiciren, sind also die Winkel IUP, 
J U und 0 U 0' von drei Paaren entsprechender Strahlen gleich, 
folglich (Nr. 81) sind auch die Winkel AUA', BUB'... gleich 
imd von gleichem Sinne *^). 

Oder: Zwei übereinanderliegende Punktreihen ohne 
entsprechend gemeinschaftliche Punkte können immer 
mit dem Durchschnitt der gegebenen Geraden durch 
die Schenkel eines constanten Winkels hervorgebracht 
werden, der sich um seinen Scheitel in festem Sinne 
dreht. 

84. Wir haben (Nr. 66) gesehen, wie man im Allgemeinen 
die Aufgabe löst: aus drei Paaren entsprechender Elemente von 
zwei projectivischen Gebilden (der ersten Stufe) eine beliebige 
Anzahl von Paaren zu construiren oder dasjenige Element eines 
Gebildes zu construiren, das einem gegebenen Elemente des an- 
deren Gebildes entspricht. Der Studierende wird übungsweise 
folgende besondere Fälle lösen: 



'"j Vorstehende Construction ist die Auflösung der Aufgabe: Aus 
zwei gegebenen Paaren entsprechender Punkte A A* und B B' und einem 
«entsprechend gemeinschaftlichen Punkte E den anderen entsprechend ge- 
meinschafthchen Punkt zu finden. 

■■■i) Chasles, loc. cit., S. 119. 




§ 11. Besondere Fälle und Uebungen. 



91 



1. Man setze voraus, dass die beiden Punktreilien u und u' 
niclit auf derselben Greraden liegen und dass die gegebenen Ele- 



mentenp 


aare die folgenden 


sind : 




[a) 


1 und. Jr 5 


(4 und (4 


A unci A ; 




P und P', 


A und A', 


B und B'- 




I und r, 


J und J', 


P und P'; 


(d) 


I und I', 


J und J', 


A und A'; 


(^) 


I und r. 


P und P', 


Q und Q'; 


in 


I und r', 


P und P', 


A und A'; 


(9) 


I und I', 


A und A', 


B und B'; 



2. Wenn die Punktreiben auf derselben Geraden liegen, die 
Aufgaben (d) und (g) zu lösen. 

3. Wenn die Gebilde zwei nicht concentrisclie Strahlenbüscbel 
sind, die Aufgaben zu lösen, welche zu den Aufgaben (a) und (b) 
correlativ sind. 

4. Man setze voraus, der eine Strahlenbüschel habe sein Cen- 
trum in unendlicher Perne. 

5. Man setze voraus, beide Büschel haben ihre Gentren in 
unendlicher Perne. 

85. Auch der folgende Satz kann bewiesen werden: Gleiten 
die drei Eckpunkte AA'A" eines veränderlichen Dreiecks auf 
drei festen Geraden w, it', u" , die in einem Punkte zusammen- 
laufen und di-ehen sich zwei seiner Seiten A'A", A" A beziehungs- 
weise um zwei feste Pu.nkte 0 und 0', so geht auch die dritte 
Seite A A' durch einen festen Punkt 0", der auf der Geraden 
0 0' liegt. 

Man hat nur zu beweisen, dass die Punkte A, A', A" bei 
ihrer Bewegung drei Punktreihen beschreiben, die paarweise per- 
spectivisch sind- man kann auch den Satz von Nr. 13 auf zwei 
Lagen des veränderlichen Dreiecks anwenden. 

Ist dieser Satz festgestellt, so leitet man davon u.n mittelbar 
folgenden Zusatz ab: Gleiten die Eckpunkte eines veränderlichen 
Vierecks AA'A"A'" auf vier festen Geraden, die durch den- 
selben Punkt 0 gehen, während sich drei Seiten AA', A'A", 
A"A'" um drei feste Punkte 0', B'", B' drehen, so gehen die 
vierte Seite A'"A und die Diagonalen AA", A'A'" durch drei 
andere feste Punkte C", 0", B", welche durch die drei ersten 

'■) P, P', Q, Q', I, J, J' haben die in Nr. 66 gegebene Bedeutung. 
A, B, . . . sind beliebig gegebene Punkte. 



92 Elemente der pvojecü^isclien Geometrie. 

bestimmt sind. Die sechs festen Punkte sind die Eckpunkte 
eines vollständigen Vierseits, d. h. sie liegen in Gruppen von je 
drei auf vier Geraden (Fig. 64). 

Auf dieselbe Art schliesst man auf den entsprechenden Zu- 
satz in Bezug auf ein Polygon von n Ecken. 

Fig. 64. 



0 




86, Lehrsatz. Ist ein Dreieck Oi O2 Og einem andejn 
Djreieck U1U2U3 umschrieben, so gibt es eine unendliche 
Anzahl von Dreiecken, die dem ersten umschrieben^ 
dem zweiten eingeschrieben sind (Fig. 65). 

Denn projiciren wir die Punktreihe U2U3... aus O2 nnd 
aus O3, so erhalten wir die zwei perspectivischen Büschel 

O2 (U-i, U2, üg,...) und O3 (üi, U2, Ug...); 

ebenso, wenn wir die Punktreihe Uj U3 aus Oj und aus O3 pro- 
jiciren, bekommen wir die perspectivischen Büschel 

0, (U,, Ü2, Ug...) und O3 (ü,, U2, U3...). 

Fig. 65. 



0, 




Also sind die Büschel 

0, (U,, U2, U3...) und O2 (ü,, Ü2, U3...) 



§ 11. Besondere Fälle und Uebung-en. 



93 



projectivisck (Nr. 35); aber die Strahlen OjIT^j, O2U3 fallen zu- 
sammen, folglicli (Nr. 62) sind diese beiden Büscliel perspectiviscli 
nnd ihr gemeinsamer Schnitt ist U| U2. So bekommen wir drei 
Büschel 0] , O2, O3, die paarweise perspectiviscli sind; sie haben 
als gemeinsame Schnitte 

der erste und zweite die G-erade XJ2, 
der zweite und dritte die Gerade U2U3, 
der dritte und erste die Gerade ügU^. 
Damit ist gezeigt, dass jede Terne entsprechender Strahlen 
ein Dreieck bilden wird, das dem Dreieck 0| O2 O3 umschrieben, 
dem Dreieck TJ, Ü2IJ3 einbeschrieben ist*). 

87. Lehrsatz. Eine um einen festen Punkt U beweg- 
liche Gerade schneidet zwei Geraden it und u' in den 
Pu.nkten A und A'; zwei Punkte S und S' liegen mit u u' 
in derselben Geraden; dann beschreibt der Durch- 
schnittspunkt M der Geraden SA und S'A' eine Ge- 
rade *i). 

Der Satz wird bewiesen, indem man beachtet, dass die Punkte 
A und A' zwei perspectivische Punktreihen beschreiben und dass 
folglich die durch die beweglichen Strahlen S A und S' A' er- 
zeugten Büschel joerspectivisch sind (Nr. 35 und 62). Wir schla- 
gen vor, auch den correlativen Lehrsatz zu beweisen. 

88. Lehrsatz. U, S und S' sind drei gegebene Punkte 
einer Geraden; eine Transversale, welche zwei feste 
Geraden u und u' in zwei Punkten A und A' schneidet, 
dreht sich um den Punkt der Durchschnittspunkt M 
der Geraden SA und S'A' beschreibt eine Gerade, welche 
durch den Punkt uu' geht *''^). 

Der Beweis ist demjenigen des vorhergehenden Lehrsatzes 
analog. 

Dieser Satz kann auch so ausgesprochen werden: 

Wenn sich die Seiten eines veränderlichen Drei- 
ecks A A'M um drei feste Punkte U, S, S' einer Geraden 



■"-) Steiner, loc. cit, S. 85, ^l^^TT- 

-i) Pappus, loc. cit., Buch VII, S. 123, 139; 141, 143. — Chas- 
les, loc. cit., S. 24:2. 

'■''i) Chasles, loc. cit., Nr. 334. 



94 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



drehen, während zwei seiner Eckpunkte auf zwei festen 
Geraden u und ti' fortgleiten, so beschreibt der dritte 
Eckpunkt M auch eine Gerade*). 

Ebenso kann man den allgemeineren Satz beweisen: 
Verändert sich ein Polygon von n Seiten so, dass 
alle seine Seiten durch ebenso viele feste Punkte einer 
Geraden gehen, während n — -1 Eckpunkte feste gerade 
Linien durchlaufen, so beschreiben auch der letzte Eck- 
punkt und der Durchschnittspunkt von zwei beliebigen, 
nicht aufeinanderfolgenden Seiten gerade Linien 
Der correlative Satz ist in Nr. 85 angedeutet. 

89. Aufgabe. Durch einen gegebenen Punkt P in der 
Ebene eines Parallelogramms AB CD, nur mit Hülfe des Lineals 
eine Parallele zu einer Geraden E F zu ziehen , die in derselben 
Ebene liegt. 

In Fig. 66 sind E und F die Durchschnittspunkte der ge- 
gebenen Geraden und der Seiten AB und AD; wir nehmen 



einen beliebigen Punkt K auf AG, ziehen EK. und FK, welche 
0 D und B 0 beziehungsweise in G und H schneiden. Die Drei- 
ecke AEP und CGH sind coUinear (Nr. 15), weil die Geraden 
AG, EG und FH durch denselben Punkt K gehen- die Gollinea- 
tionsaxe ist die unendlich ferne Gerade, weil die Seiten A E und 
A F des ersten Dreiecks beziehungsweise den entsprechenden 
Seiten des zweiten Dreiecks parallel sind. Also sind auch die 
andern Seiten E F und G H parallel *'^). 

Die Aufgabe ist so auf ein anderes schon gelöstes (Nr. 69) 
Problem zurückgeführt: Durch einen Punkt P eine Parallele zu 



■") Euclid's Porisma. — • Pappus, loc. cit. , Vorwort des Buches VIL 
"1) Porisma yon Pappus, loc. cit., Vorwort des Buches VIL 
Poncelet, Proprietes projectives, Nr. 198 (Paris, 1822). 



Fig 66 




F 



E 



11. Besondere Fälle und Uebimgeii. 



95 



zwei gegebenen parallelen Geraden ET nnd GH zu ziehen. Die 
folgende Auflösung rührt von Lambert her*). 

Wir verlängern (Fig. 67) die Seiten AB, BO, CD, DA und eine 
Diagonale A 0 des gegebenen Parallelogramms bis zu den Schnitt- 



Fig. 67, 




punkten E, F, G, H, I mit der gegebenen Geraden EE, ziehen 
eine beliebige Gerade durch I, welche die Geraden E P und G P 
in A' und C trifft; schneiden sich die Geraden H A' und E C 
in Q, so ist P Q die verlangte Gerade. Denn bezeichnen wir mit 
B' und D' die Punkte, in welchen E P und G P baziehungs weise- 
von EQ und HQ geschnitten werden, so sind die Vierecke 
AB CD und A'B'G'D' collinear, EE ist die Collineationsaxe. 
Der Punkt P entspricht dem Schnittpunkt von AB und CD und 
Q dem Schnittpunkt von BC und AD; folgUch ist P Q die Elucht- 
linie der zweiten Eigur und darum PQ parallel EE (Nr. 15). 
Aufgabe. — Man gibt einen Kreis und seinen Mittelpunkt- 

Eig. 68. 



Kr-' 



' / ■ 



s 



< 



I 



nur mit Hülfe des Lineals eine Senkrechte auf eine gegebene 
Gerade zu ziehen. 

Wir ziehen im Kreise (Fig. 68) zwei Durchmesser AC und BD. 
Die Eigur AB CD wird ein Rechteck sein. Nimmt man hierauf 



") Freie Perspective, Bd, II, S. 169 (Zürich, 1774). 



96 



PHlemente der projectivischen Geometrie. 



einen beliebigen Punkt K der Peripherie, so kann man mit Hülfe 
der vorigen Aufgabe die Gerade KL parallel der gegebenen Ge- 
raden E F ziehen. Verbindet man dann den zweiten Schnitt- 
punkt L der Peripherie und der Geraden KL mit dem zweiten 
Endpunkt M des Durchmessers, der durch K geht, so ist offen- 
bar L M senkrecht zu K L und folglich auch zu der gegebenen 
Geraden. 

Aufgabe. B ist der Mittelpunkt der Geraden AG; man 
will B C in n gleiche Theile theilen, indem man sich nur des 
Lineals bedient. 

Zeichnen wir ein Viereck U L D N, von welchem zwei Gegen- 
seiten DL und NU in A, die andern Gegenseiten L II und DN 



in C zusammenlaufen und dessen eine Diagonale D ü durch B 
geht; die andere Diagonale LN wird parallel AG (Nr. 52) und 
in M durch D U (Nr. 49) halbirt sein. Zeichnen wir jetzt ein 
zweites Viereck V M E 0 unter denselben Bedingungen wie das 
erste und so, dass M das Ende und N die Mitte der Diagonale 
sei, dieAO parallel ist; mit andern Worten, ziehen wir die Ge- 
raden AM und BN, die sich in E schneiden, die Gerade C E, 
welche in 0 die Verlängerung von L N so schneidet, dass NO 
— MN = LM wird. Zeichnen wir ein drittes, den beiden ersten 
analoges Viereck so, das^s N das eine Ende und 0 die 
Mitte der Diagonale sei, die parallel A G geht. Ist P das andere 
Ende dieser Diagonale, so haben wir OP = NO = MN = LM. 
Eahren wir in derselben Weise fort, bis die Zahl der gleichen 
Segmente LM, MN, NO, OP... gleich n ist; ist dann PQ das 
zuletzt erhaltene Segment, so ziehen wir die Gerade LB, welche 
QC in Z schneidet; die Geraden, welche Z mit den Punkten 



iMg. 69. 




7 



§ 11. Besondere Fälle und Uebungen. 



97 



M, N, 0, P. .. verbinden, theilen BO in *i gleiche Theile. Damit 
ist die Aufgabe gelöst 

Der Studirende löse auch, nur mittelst des Lineals, folgende 
Aufgaben: 

Gegeben sind zwei parallele Geraden A B und u; A B in 
zwei gleiche Theile zu theilen (Nr. 52). 

Eine Strecke AB und ihre Mitte C sind gegeben; durch 
einen gegebenen Punkt eine Parallele zu A B zu ziehen (Nr. 52), 

Ein Kreis und sein Centrum sind gegeben; einen gegebenen 
Winkel zu halbiren (Nr. 53). 

Zwei gleiche, anstossende Winkel A 0 G und 0 0 B sind ge- 
geben; durch 0 eine Senkrechte auf 0 C zu errichten (Nr. 53). 

90. Lehrsatz. Sind zwei Dreiecke ABC, A'B'C, die 
in verschiedenen Ebenen a und er' liegen, per spectivisch 
und dreht man die Ebene des einen um aa', so verän- 
dert der Punkt 0, in welchem sich die Strahlen AA' 
BB' und CG schneiden, seine Lage und beschreibt 
einen Kreis, dessen Ebene auf der Geraden a a' senk- 
recht steht *i). 

In Eig. 70 sind D , E und F die Punkte der Geraden (j er', 
in welchen sich die entsprechenden Seiten B 0 und B' G, CA 
und CA', AB und A'B' schneiden (Nr. 15). Durch das Pro- 
jectionscentrum 0 der beiden Dreiecke ABC und A'B'C, die 




0 o' 77 fT 



wir uns in bestimmten Stellungen ihrer Ebenen denken, ziehen 
wir die Geraden CG, OH und 0 K beziehungsweise pa- 
rallel zu den Seiten des Dreiecks A'B'C; da diese Geraden in 



") Diese und andere nur mit Hülfe des Lineals zu lösenden Auf- 
gaben finden sich in dem oben angeführten Werke von Lambert. 
Chasles, loc. cit., Nr. 368, 369. 
L. Gremona, Eiern, d. project. Geometrie. 7 



98 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



derselben Ebene n (parallel er') liegen, so treffen sie die Ebene 
G in drei Punkten Gr, H und K der Geraden tc g. 

Stellen wir nns jetzt vor, es drehe sieb die Ebene g' mit 
dem Dreieck A'B'C nm die Gerade g g' . Die Gruppe der vier 
Punkte B 0 D G ist perspectiviscb zu der Gruppe B' C D G', in 
welcher G' der unendlich ferne Punkt von B' 0' ist; folglich ist 
das Doppelverhältniss (B 0 D G) gleich dem Doppelverhältniss 
(B'C'DG') oder auch (Nr. 54) gleich B'D : C'D, d. h. gleich 
einer constanten Grösse. Da aber B, C und D drei feste Punkte 
sind, so wird auch G ein fester und unveränderlicher Punkt sein 
(Nr. 54). Die ähnlichen Dreiecke 0 B G und B' B D geben 

OG : B'D = BG : BD, 

daraus 

^ ^ B' D . B G 
BD ' 

d. h. 0 G ist eine constante Grösse. Der Punkt 0 bewegt sich 
also auf einer Kugel, deren Centrum in G und deren Radius obige 
unveränderliche Grösse ist. 

Man zeigt ebenso , dass sich der Punkt 0 auf zwei anderen 
Kugeln bewegt, deren Centren die Punkte H und K sind. 

Der Punkt (0) beschreibt also, weil er gleichzeitig auf meh- 
reren Kugeln liegen muss, eine Kreislinie, deren Ebene senkrecht 
auf der Geraden steht, in welcher die Kugelmittelpunkte liegen 
und deren Mittelpunkt auf derselben Geraden ist *). 

Diese Gerade G H K ist die Durchschnittslinie der Ebenen 
7t und ö", folglich parallel g g' (da die Ebenen 71 und g' parallel 
sind); sie ist die Fluchtlinie oder Grenzlinie der Figur öt, welche 
man als perspectivisches Bild der Figur g' ansieht (Nr. 10). 

91. Lehrsatz. Haben zwei projectivische Büschel, 
die in derselben Ebene liegen und keine entsprechend 
gemeinschaftlichen Strahlen besitzen, denselben Mit- 
telpunkt 0, so können sie als das p erspectivische Bild 
zweier einstimmig gleicher Büschel angesehen wer- 
den 

Schneiden wir die beiden Büschel durch eine Transversale s-, 
wir erhalten zwei übereinander liegende projectivische Punkt- 



'•>) Baltzer, Stereometrie, S. 160. 
^"-1) Chasles, loc. cit., ISTr. 180. 



§ 12. Involution. 



99 



reihen ABO... und A'B'C . . . ohne vereinigte Punkte. Legen 
wir durch s irgend eine Ebene o"'; in dieser Ebene kann man 
einen Punkt IT der Art bestimmen (Nr. 83) j dass man aus dem- 
selben die Strecken AA', BB', CO'... unter einem constanten 
Winkel projiciren kann; d. h. projicirt man aus U die beiden 
Punktreihen, so erhält man zwei einstimmig gleiche Büschel. 
Setzt man nun das Auge in irgend einen Punkt der Geraden OU 
und projicirt die gegebenen Büschel aus diesem Punkte auf die 
Ebene g', so erhält man genau die beiden einstimmig gleichen 
Büschel. 

§ 12. luYOliitioii. 

92. In Fig. 71 sei 0 das gemeinsame Centriim von zwei 
projectivischen Strahlenbüscheln, die beziehungsweise durch 
die Transversalen u und u' geschnitten werden, welche so 

Fig. 7'i. 




zwei projectivische Punktreihen ABC... A'B'C... bestim- 
men; sei die Gerade, auf welcher sich die Paare der Ge- 
raden AB' und A'B, . . . (Nr. 67 links) schneiden. Ein (nicht 
entsprechend gemeinschaftlicher) Strahl, der beliebig durch 
0 gezogen wird, schneidet u und u' in zwei nicht entspre- 
chenden Punkten A und B' und trifft u" in einem Punkte der 
Geraden A'B. Dem Strahle OA des ersten Büschels ent- 
spricht folglich der Strahl OA' des zweiten Büschels und dem 
Strahle 0 B' des zweiten entspricht der Strahl 0 B des ersten. 
Mit anderen Worten, dem Strahle 0 A oder 0 B' entsprechen 
zwei verschiedene Strahlen 0 A' oder OB, je nachdem man 
den ersten Strahl als dem ersten oder zweiten Büschel an- 
gehörend betrachtet. In der That muss die Gerade A'B die 
andere AB' auf u" schneiden und kann nicht durch den 
Punkt 0 gehen, so lange dieser Punkt nicht auf u" liegt. 



100 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie. 



In zwei übereinander liegenden projectivischen 
Gebilden (der ersten Stufe) entsprechen, im All- 
gemeinen, demselben Elemente zwei verschiedene 
Elemente, je nachdem das erste als Element des 
einen oder des anderen Gebildes angesehen wird. 

Wir sagen im Allgemeinen, weil im Vorangehenden 
vorausgesetzt wird, es liege 0 nicht auf u". 

93. Liegt aber 0 auf u" (Fig. 72) und zieht man durch 
0 einen beliebigen Strahl, der u und u' in A und B' schnei- 
det, so wird auch A'B durch 0 gehen; mit andern Worten, 



dem Strahl OA oder OB' entspricht derselbe Strahl OA' oder 
OB; wir drücken diese Eigenschaft aus, indem wir sagen: 
die beiden Strahlen entsprechen sich doppelt, oder 
auch: die beiden Strahlen sind conjugirt. 

Setzen wir umgekehrt voraus, dass zwei concentrische 
projectivische Strahlenbüschel ein Paar sich doppelt entspre- 
chende (conjugirte) Strahlen haben. Schneiden wir die beiden 
Büschel durch zwei Transversalen u und u' und bezeichnen 
wir mit A und B' die Schnittpunkte mit dem ersten Strahl, 



Wir sagen zwei Gebilde, weil die Ueberlegung, die wir an zwei 
concentrischen Strahlenbüscheln gemacht haben , ebenso an zwei über- 
einander liegenden Punktreihen oder an zwei Ebenenbüscheln mit ge- 
meinsamer Axe gemacht werden kann. Man kommt zu demselben Re- 
sultat, wenn man die beiden Strahlenbüschel durch eine Transversale 
schneidet oder wenn man sie aus einem Punkte projicirt, der nicht in 
ihrer Ebene liegt. 



Fig. 1% 




§ 12. Involution. 



101 



SO wird der zweite Strahl in B und A' geschnitten. Die Ge- 
rade u", das ist der Ort des Schnittpunktes der den projec- 
tivischen Punktreihen u und u' angehörenden Linienpaare 
MN' und M'N (Nr. 67), wird durch 0 gehen, weil sich die 
Geraden AB' und A'B in diesem Punkte schneiden. Ziehen 
wir durch 0 irgend einen anderen Strahl, der die Transver- 
salen in 0 und D' z. B. schneidet, so geht auch G'D durch 
0, d. h. die Strahlen CCD' und ODO' entsprechen sich eben- 
falls doppelt. 

Wenn also zwei übereinander liegende projec- 
tivische Gebilde (der ersten Stufe) ein Paar sich 
doppelt entsprechende Elemente haben, so entspre- 
chen sich auch alle anderen Paare entsprechender 
Elemente doppelt. 

94. Dieser besondere Fall von zwei übereinander lie- 
gendefi projectivischen Gebilden (der ersten Stufe) heisst In- 
volution *). Es ist eine Involution von Punkten, Strahlen 
oder Ebenen, je nachdem die Elemente Punkte einer Ge- 
raden, Strahlen eines Strahlenbüschels oder Ebenen eines 
Ebenenbüschels sind. 

In der Involution sind also die Elemente paar- 
weise conjugirt, d. h. jedes Element hat sein conjugirtes. 
Betrachtet man das erste als dem einen oder anderen Ge- 
bilde angehörend, so ist sein entsprechendes Element im 
einen und im andern Fall sein conjugirtes. Daraus folgt, 
dass es nicht nöthig ist, die beiden Gebilde als verschiedene 
zu betrachten und dass man die Involution als eine 
Keihe von paarweise conjugirten Elementen auf- 
fassen kann. 

Bilden AA', BB', CG'... eine Involution, so ist damit 
ausgedrückt, dass A und A', B und B', C und C'... conju- 
girte Elemente sind; übrigens kann jedes Element mit seinem 



*) Desargues, Brouillon projet d'une atteinte aux 6venements des 
rencontres d'un cone avec un plan (Paris, 1639): Edition Poudra (Paris, 
1864), Bd. I, S, 119. 



102 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



conjugirten vertauscht werden, es sind also die beiden Ge- 
bilde 

AA'BB'CC'.,. 

und 

A'AB'BC'C... 

projectivisch. 

95. Da die Involution nur ein besonderer Fall von zwei 
übereinander liegenden projectivischen Gebilden ist, so gibt 
jeder Schnitt und jede Projection einer Involution eine neue 
Involution *). 

Zwei conjugirte Elemente der gegebenen Involution lie- 
fern zwei conjugirte Elemente der neuen Involution. Daraus 
folgt (Nr. 15), dass die collineare Figur einer Involution auch 
eine Involution ist. 

96. Bilden zwei übereinander liegende projectivische 
Punktreihen eine Involution, so entspricht einem jeden Punkte, 
folglich auch dem unendlich fernen Punkte (I oder J'), ein 
einziger Punkt (F oder J), d. h. die beiden Fluchtpunkte 
r und J coincidiren in einen einzigen Punkt, den 
wir 0 nennen wollen; dieser Punkt 0 ist also der conju- 
girte Punkt des unendlich fernen Punktes. Die Gleichung (1) 
von Nr. 83 wird also 

0 A . 0 A' = const. 

Mit andern Worten, eine Involution von Punkten wird 
durch Paare von Punkten A, A' gebildet, welche die Eigen- 
schaft haben, dass das Product ihrer Abstände von einem 
festen Punkte 0 (der gegebenen Geraden) constant ist *^). 
Der Punkt 0 heisst das Centrum oder der Centraipunkt 
der Involution. 

Die entsprechend gemeinschaftlichen Elemente zweier in- 
volutorischen Gebilde heissen Doppelelemente der Invo- 
lution. Für die Involution A A', B B', . . . hat man 

OA . 0 A' OB . OB' = . . . = const; 

'"■) Desargues, loc. cit., S. 147. 

^'0 Desargues, loc. cit., S. 112 und 119. 



§ 12. Involution. 



103 



ist diese Constante positiv, d. Ii. fällt 0 nicht zwischen zwei 
conjugirte Punkte, so gibt es zwei Doppelpunkte E und F, 
der Art, dass 

OeL^= OA . OA' = OB . OB' 

0 ist also die Mitte des Segmentes EF und alle Gruppen 
EFAA', EFBB', ... sind harmonisch (Nr, 56, 3). Also: 

Hat eine Involution zwei Doppelelemente, so 
trennen diese irgend zwei conjugirte Elemente har- 
monisch, oder eine Involution wird durch Paare 
von Elementen gebildet, die mit zwei festen Ele- 
menten harmonische Gruppen ausmachen. 

Ist die Constante negativ, d. h. fällt 0 zwischen zwei 
conjugirte Punkte, so sind keine Doppelpunkte vorhanden. In 
diesem Falle gibt es zwei gleich weit von 0 entfernte, con- 
jugirte Punkte, für welche man hat: 

OE = OE' und OE = OE' = — OE . OE' = — 0 A . 0 A'. 

Ist die Constante NuU^ so ist ein einziger Doppelpunkt 
0, aber keine eigentliche Involution mehr vorhanden; da näm- 
lich das Product OA . OA' Null ist, so coincidirt in jedem 
Paare conjugirter Punkte der eine mit 0. 

97. Man kann auch auf folgende Art zeigen, dass in 
jeder Involution mit zwei Doppelelementen diese durch je 
zwei conjugirte Elemente harmonisch getrennt sind. 

Sind E und F die beiden Doppelelemente, A und A' 
zwei conjugirte Elemente, so wird die Gruppe EFAA' pro- 
jectivisch zu der Gruppe EFA'A; also (Nr. 65) ist eine dieser 
Gruppen harmonisch. Ein dritter Beweis ist der folgende: 

Betrachten wir EAA'... und EA'A als zwei projecti- 
vische Punktreihen und projiciren wir sie beziehungsweise 
aus zwei Punkten S und S', die mit E in gerader Linie lie- 
gen (Fig. 73). Die projicirenden Büschel S (EAA'...) und 
S' (E A' A . . .) sind perspectivisch (des entsprechend, gemein- 
schaftlichen Strahles SS'E wegen); also enthält die Gerade, 
welche den Schnittpunkt von SA und S'A' mit dem Schnitt- 



104 



Elemente der proiectiyisclien Geometrie. 



punkt von SA' und S'A verbindet, die Durchschnitte aller 
Paare entsprechender Strahlen und trifft folglich die gegebene 
Gerade in dem zweiten Doppelpunkt F. Nun aber gibt uns 
die Figur ein vollständiges Vierseit, in welchem die Diago- 
nale AA' durch die beiden andern Diagonalen in E und F 
harmonisch geschnitten wird (Nr. 49); EFAA' ist also ein 
harmonisches Gebilde. 

Fig. 73. 




S' 



Obiger Satz ist ein besonderer Fall von demjenigen in 
Nr. 83. Wir schliessen daraus, dass die Elementenpaare 
(Punkte einer Geraden, Strahlen oder Ebenen eines Büschels), 
welche mit zwei festen Elementen ein constantes Doppelver- 
hältniss bilden, zwei übereinander liegende projectivische Ge- 
bilde ausmachen, die in dem Fall, wo das Doppelverhältniss 
den Werth — 1 hat, eine Involution vorstellen (Nr. 55). 

98. Die Involution ist durch zwei Paare conju- 
girter Elemente bestimmt. Die gegebenen Paare sollen 
AA' und BB' sein. Nehmen wir ein beliebiges Element C, 
so wird man sein conjugirtes Element C' construiren, indem 
man nach Nr. 66 dafür sorgt, dass die Gruppen AA'BC und 
A' AB'C projectivisch sind. Man sagt dann, die sechs Ele- 
mente AA', BB', CC bilden eine Involution, d. h. sie 
sind drei Paare einer Involution. 

Setzen wir voraus, es handle sich um eine Involution von 
Punkten, so nehmen wir ausserhalb der Geraden, in welcher 
sich AA' und BB' befinden, einen beliebigen Punkt G 
(Fig. 74), beschreiben die Kreise GAA' und GBB', die sich 
in einem zweiten Punkte H schneiden; der Durchschnitts- 
punkt von GH und der gegebenen Geraden sei 0. Wir 
haben dann vermöge einer bekannten Eigenschaft des Kreises 



§ 12. Involution. 



105 



OG . OH = OA . OA' und OG . 0H = OB . OB' 
imcl folglich 

OA . OA' = OB . OB'. 

0 ist also der Centraipunkt der durch die Paare AA' 
und BB' bestimmten Involution. Lässt man durch GH irgend 



Fig. 




einen andern Kreis gehen, der die gegebene Gerade in CG' 
schneidet, so haben wir 

OG.OH = OC.OG; 

folglich 

OC . OG = OA . OA' = OB . OB', 

d. h. CG ist ein Paar conjugirter Punkte der Involution. 
Mit andern Worten, der durch zwei conjugirte Punkte CG 
oder DD' und durch einen der Punkte G und H gelegte 
Kreis geht immer durch den zweiten dieser Punkte. Oder: 

Die Paare der conjugirten Punkte der Involu- 
tion sind nichts anderes als die Durchschnitts- 
punkte der gegebenen Geraden mit den durch die 
Punkte G und H gehenden Kreisen. 

Nach dem Vorangehenden sieht man: wenn die Involution 
Doppelpunkte hat, so sind es die Berührungspunkte der ge- 
gebenen Geraden mit zwei durch GH gehenden Kreisen. Wir 
haben gesehen (Nr. 96), dass diese Punkte die Strecken AA' 
und BB' harmonisch theilen: also (Nr. 56) hat die In- 
volution Doppelpunkte, wenn eines der Paare AA' 
und BB' ganz innerhalb oder ganz ausserhalb des 
andern ist (Fig. 74); die Involution hat keine Dop- 



106 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



pelpunkte. wenn das eine Paar durch das andere ge- 
trennt wird (Fig. 75) *). 

Im ersten Falle ist die Involution (wie schon bemerkt) 
aus einer unendlichen Anzahl von Punktepaaren gebildet, 
welche ein Paar fester Punkte harmonisch trennen. 



Im zweiten Fall dagegen wird die Involution auf der gegebe- 
nen Geraden durch die Schenkel eines um seinen Scheitel beweg- 
lichen rechten Winkels ausgeschnitten. Denn da die Punkte 
AA' durch BB' getrennt sind (Fig. 76), so schneiden sich 
die über AA' und BB' als Durchmesser beschriebenen Kreise 



in zwei Punkten Gr und H, die in Bezug auf die gegebene 
Gerade symmetrisch liegen; GH wird in dem Punkte 0, dem 
Gentraipunkt der Involution, unter rechten Winkeln halbirt. 
Daraus folgt, dass 



OG = OH = AO.OA' = BO.OB', 

und dass alle andern Kreise, welche durch G und H gehen 
und auf der gegebenen Geraden die andern Paare CG', 

"■) Wenn sicli die Strecken A A' und B B' theihveise decken. 



Fig. 7ö. 




Fig. 76. 




ü 



2 



§ 12. Involution. 



107 



DD',... der Involution bezeichnen, ilire Mittelpunkte eben- 
falls auf der Geraden AB... haben; ihre Durchmesser sind 
die Strecken A A', B B', C C, . . . Projicirt man also aus dem 
Punkte G (oder aus H) die Strecken AA', BB', CC, . . . so er- 
hält man eben so viele rechte Winkel AGA', BGB', CGC, ... 
(oder AHA', BHB', CHG', ...). 

Wir schliessen daraus: wenn eine Involution von Punk- 
ten A A', B B', . . . einer geraden Linie keine Doppelpunkte 
hat, d. h. wenn das Rechteck CA. CA' eine negative Con- 
stante — /e^ ist, so werden alle Strecken AA', BB', ... aus 
jedem Punkte eines Kreises, der sein Centrum in 0 hat und 
dessen Ebene senkrecht auf der gegebenen Geraden steht, unter 
rechten Winkeln gesehen. 

Dieser Satz ist ein besonderer Fall von dem Satze der Nr. 83. 
Wenn sich also ein W-^inkel von constanter Grösse in seiner 
Ebene um seinen Scheitel dreht, so bestimmen seine Schenkel auf 
einer festen Transversalen zwei projectivische Punktreiiien , die 
in dem Falle in Involution stehen, wo der Winkel ein rechter ist. 

99. Betrachten wir eine Involution von parallelen Strahlen, 
die sich also in unendlicher Ferne schneiden. Die unendlich 
ferne Gerade ist ein Strahl der Involution; der ihr conjugirte 
Strahl enthält den Centraipunkt der involutorischen Punktreihe, 
die durch irgend eine Transversale ausgeschnitten wird. Dieser 
Strahl kann darum Centraistrahl der gegebenen Involution 
genannt werden. Projicirt man umgekehrt eine involutorische 
Punktreihe mit Hülfe paralleler Strahlen, so bilden diese eine 
neue Involution, deren Centraistrahl durch den Centraipunkt der 
gegebenen Involution geht. 

Wird mit Hülfe von Projectionen oder Schnitten (Nr. 95) 
aus einer Involution eine andere abgeleitet, so entstehen aus den 
Doppelelementen der ersten immer auch die Doppel elemente der 
zweiten. 

100. Da in einer Involution eine beliebige Gruppe von Ele- 
menten zu der Gruppe der conjugirten Elemente projectivisch ist, 
so folgt: wenn man in einer Involution vier beliebige Punkte 
auswählt, so ist ihr Doppelverhältniss gleich demjenigen ihrer 
vier conjugirten Punkte. Ist z. B. die Involution A A', B B' , 



108 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



CO'... gegeben, so werden die Gruppen A B A' C und A' B' A G 
projectiviscli sein, es wird also 

AA' AG' A'A A'C 



BA' ■ BG' ~ B'A ■ B'G 



oder 



0. 



AB' . BC . G A' + A'B . B'G « CA 

Umgekelirt : findet diese Relation zwischen den durch die 
Punkte A A' B B' C 0' einer Geraden begrenzten Strecken statt, 
so bilden diese Punkte involutoriscbe Paare. Denn obige Rela- 
tion bedingt die Gleichheit der Doppelverhältnisse (A B A' G') 
und (A'B'AG); diese Gruppen sind also projectivisch; aber A 
und A' entsprechen sich doppelt; also (Nr. 93), etc. 



101. In einem vollständigen 
Viereck QRST (Fig. 77) werden 
die Gegenseiten R T und Q S, 
S T und Q R, Q T und R S durch 
eine beliebige Transversale in A 
und A', B und B', G und G' 
geschnitten; P sei der Durch- 
schnittspunkt von Q, S und R T. 
Dann ist ATPR die Projection 

Fig. 77. 




von AGA'B' aus dem Gentrum 
Q und zugleich die Projection 
von ABA'G' aus dem Oentrum 
S; also ist die Gruppe A G A' B' 
projectivisch zu A B A' G' oder 



In einem vollständigen Vier- 
seit qr s t (Pig. 78) werden die 
Gegenecken rt und qs, st und 
qfj qt und rs aus einem belie- 
bigen Centrum durch die Strah- 
len a und a', b und 6', c und c' 
projicirt; p sei die Verbindungs- 
linie von q s und r t. Die Strah- 
lenbüschel a tp r und a c a' b 

Fig, 78. 




sind projectivisch, denn sie sind 
perspectivisch (ihr gemeinsamer 
Schnitt ist q); ebenso sind atpr 
und ab a' c' perspectivisch (ihr 
gemeinsamer Schnitt ist s). Also 



§ 12. Involution. 



109 



(Nr. 38) zu A' 0' A B. In den 
projectivisclien Gruppen ACA'B' 
und A' 0' A B entsprechen sicli 
die Punkte A und A' doppelt, 
also (Nr. 93) sind A A', BB', 
G C drei Paare conjugirter 
Punkte einer Involution; oder: 

Die drei Paare der Gegen- 
seiten eines vollständigen 
Vierecks werden durch, ir- 
gend eine Transversale in 
drei Paaren conjugirter 
Punkte' einer Involution 
geschnitten *). 

Mit andern Worten: 

Verändert sich ein voll- 
ständiges Viereck der Art, 
dass fünf seiner Seiten 
durch eben so viele feste 
Punkte einer Geraden 
gehen, so dreht sich die 
sechste Seite um einen 
festen Punkt derselben Ge- 
raden, welcher mit den 
fünf ersten eine Involution 
bildet. 



ist der Büschel a c a' h' projec- 
tivisch zu aba'c' oder (Nr. 38) 
zu a' c' a b. In den projectivi- 
schen Gruppen aca' b' und a' c' a b 
entsprechen sich die Strahlen a 
und a' doppelt, also sind (Nr. 93) 
a a', 6 6', c c' drei Paare conju- 
girter Strahlen einer Involution ; 
oder: 

Die drei Paare Gegen- 
ecken eines vollständigen 
Vierseits werden aus einem 
beliebigen Punkte durch 
drei Paare conjugirter 
Strahlen einer Involution 
projicirt. 

Mit andern Worten: 

Verändert sich ein voll- 
ständiges Vierseit der Art, 
dass fünf seiner Eckpunkte 
auf fünf Geraden fortglei- 
ten, die in einem Punkte 
zusammenlaufen, so bewegt 
sich der sechste Punkt auf 
einer festen durch den- 
selben Punkt gehenden Ge- 
raden; die sechs Strahlen 
bilden drei Paare einer In- 
volution. 



Gombinirt man den vorhergehenden Satz (links) mit dem 
Satz Nr. 100, so ergibt sich^i): 

Durchschneidet eine Transversale die drei Paare der Gegen- 
seiten eines vollständigen Vierecks in A und A', B und B', G 
und G', so sind die Segmente der Transversalen an folgende Re- 
lation gebunden: 

A B' . B G' . G A' -1- A' B . B' G . C' A = o. 

Bezeichnen wir in dem Satze rechts mit IT und IT', V und 



'") Desargues, loc. cit. , S. 171. 

-^i) Pappns, loc. cit., Buch VII, S. 130. 



110 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



V, W und W die Gegenecken rt und qs^ st und qr, qt und 
rs des Vierseits qrs t und mit A A', B B', C C die Durdischnitts- 
punkte der Strahlen aa', bb', cc' mit einer beliebigen Transver- 
salen, so können wir mit Hülfe von Nr. 95 folgenden Satz auf- 
stellen : 

Die secbs Punkte A A' , B B' . C welche man erbältj 
indem man die drei Paare der Gregenecken UU', W, WW 
eines vollständigen Vierseits aus einem beliebigen Cen- 
trum und auf eine beliebige Gerade projicirt, bilden 
drei Paare einer Involution. 

Setzen wir jetzt voraus, der Projectionsmittelpunkt G sei 
einer der beiden Durcliscbnittspunkte der beiden Kreise, die über 
den Diagonalen U U' und V V als Durchmesser gezeichnet wer- 
den, so sind die Winkel AGA' und BGB' rechte, folglich ist 
(Nr. 98) auch der Winkel C G C ein rechter, d. h. der über W W' 
als Durchmesser gezeichnete Kreis geht ebenfalls durch G. Oder: 

Die drei Kreise, deren Durchmesser die drei Diagonalen 
eines vollständigen Vierseits sind, haben eine und dieselbe Radical- 
axe; ihre Mittelpunkte liegen aiif einer geraden Linie, also: 

Die Mittelpunkte der drei Diagonalen eines voll- 
ständigen Vierseits liegen auf einer geraden Linie*). 



102. Aus dem Satze von 
Nr. 101 links ergibt sich die 
Construction des sechsten 
Punktes 0' einer Involu- 
tion, wenn die fünf andern 
Punkte gegeben sind. Wir 
legen durch C irgend eine Ge- 
rade, auf welcher wir zwei 
Punkte Q und T nehmen und 
ziehen AT, BT, A'Q, B'Q; 
die Gerade, welche den Schnitt- 
punkt R von A T und B' Q 
mit dem Schnittpunkte S von 
A' Q und B T verbindet, schnei- 
det die gegebene Gerade in dem 
gesuchten Punkte 0'. 



Aus dem Satze von Nr. 101 
rechts ergibt sich die Construc- 
tion des sechsten Strahles 
c' einer Involution, wenn 
die fünf andern Strahlen 
gegeben sind. Wir nehmen 
auf c irgend einen Punkt und 
legen durch denselben zwei Ge- 
raden q und t ; dann verbinden wir 
den Punkt ta mit dem Punkte q h' 
und den Punkt tb mit dem Punkte 
q a' ; diese beiden Geraden schnei- 
den sich in einem Punkte, der 
mit dem Oentrum des gegebenen 
Büscheis verbunden den gesuch- 
ten Strahl c' gibt. 



■") Chasles, loc. cit., Nr- 344 und 345. — Gauss' Werke, t. 4, 
S. 391 von 810. 



§ 12. InvolutioB. 



III 



Ist der Punkt 0 in Aufgabe links in unendlicher Ferne, so 
ist sein conjugirter Punkt der Centraipunkt 0 der Involution. 
Um jetzt den Oentralpunkt der Involution zu finden, von welcher 
man zwei Paare conjugirter Punkte A A', B B' gibt, construirt 
man ein vollständiges Viereck QSTR (Pig- '^Q) der Art, dass 
zwei Gegenseiten durch A und A', zwei andere Gegenseiten durch 
B und B' gehen und dass die fünfte Seite der gegebenen Geraden 
parallel wird; die sechste Seite geht dann durch 0. 

Der sechste Punkt 0', der mit fünf gegebenen Punkten 
A A' B B' C eine Involution au.smacht, ist durch diese vollständig 

Fig. 79. 




bestimmt, d. h. es gibt nur einen einzigen Punkt 0', der diese 
Eigenschaft besitzt (Nr. 98). Es kann nämlich der Punkt C so 
angesehen werden, als sei er durch die Gleichheit der Doppel- 
verhältnisse (AA'BC) = '(A'AB'C') bestimmt; folglich (Nr. 54), 

103. Man kann den Satz Nr. IUI auch umkehren und 
sagen : 

Schneidet eine Transversale die Seiten eines 
Dreiecks RSQ (Fig. 77) in drei Punkten A', B', C, die 
beziehungsweise mit drei anderen Punkten A, B, C 
derselben Geraden involutorische Paare bilden, so 
laufen die Geraden RA, SB, QC in einem Punkte T 
zusammen. 

T sei der Schnittpunkt der Geraden RA und SB, und 
Gl der Schnittpunkt der Transversalen und TQ; so hat man 
in Folge des vorhergehenden Satzes, angewandt auf das Vier- 
eck QRST. 

(AA'BC,) = (A'AB'G): 



112 



Elemente der projectiyischen Greometrie, 



nach Voraussetzung aber ist 

(AA'BC) = (A'AB'C); 
folglich (Nr. 54) coincidirt mit C , oder Q C geht durch T. 
Der correlative Satz heisst: 

Projicirt man aus einem Punkte S die Eckpunkte 
eines Dreiseits rsq (Fig. 78) mit Hülfe der Strahlen 
a\ h\ c', die beziehungsweise mit drei anderen aus 
S gehenden Strahlen a, Z), c involutorische Paare 
bilden, so liegen die Punkte ra, s5, qc auf dersel- 
ben Geraden t. 

104. In Fig. 80 sind R', S', Q' die bezüglichen Schnitt- 
punkte der Seiten SQ, QR, RS mit den Geraden RT, ST, 

Fig. 80. 



s 




QT. Auf den Seiten des Dreiecks RSQ haben wir folgende 
Gruppen von je vier Punkten: 

SQR'A', QRS'B', RSQ'C; 
ihre Projectionen aus dem Punkte T auf die Transversale sind: 

BCAA', CABB', ABGC. 
Das Product der Doppelverhältnisse dieser letzteren Grup- 
pen wird 

/BA ba;\ /c_b cb;\ /ac ag\ 

VGA ■ C A7 VAB ■ AB7 VB C ' B C'J' 

oder 

CA^ . AB^ . BG . 
~ BA' . GB' . AG' 
nach Nr. 100 ist diese Grösse gleich — 1. Oder: 

Werden die Seiten eines Dreiecks durch irgend 
eine Transversale geschnitten und die Eckpunkte 



§ 12, Involution. 



113 



aus irgend einem andern Punkte auf die bezügli- 
chen Gegenseiten projicirt, so ist das Product der 
Doppelverhältnisse der Gruppen von vier Punkten, 
welche man auf den drei Seiten erhält, gleich — L 
Nehmen wir umgekehrt drei Punktenpaare R'A', S'B', 
Q'C so auf den Seiten eines Dreiecks RSQ an, dass das 
Product der Doppelverhältnisse (SQP'A'), (QRS^B') und 
(RS Q'C) gleich — 1 wird, so liegen die Punkte A'B'G' in 
einer Geraden, wenn die Geraden RR', SS', QQ' in einem 
Punkte zusammenlaufen; und umgekehrt: liegen die Punkte 
A'B'C in derselben Geraden, so schneiden sich die Geraden 
RR', SS', QQ' in demselben Punkte. 

Setzen wir voraus, die Transversale rücke in unendliche 
Ferne, so werden die Doppelverhältnisse (SQR'A'), (QRS'B') 
und (RS Q'C') (nach Nr. 54) beziehungsweise gleich SR' : QR', 
QS' : RS' und RQ' : SQ'. Oder *): 

Treffen drei Geraden, die von demselben Punkte 
T aus durch die Eckpunkte eines Dreiecks RSQ 
gehen, die gegenüberliegenden Seiten in R', S' und 
Q', so hat man für die Seitenabschnitte die Relation 

s r; Qs; RQ' ^ 

QR' * RS' ' SQ' ~" ' 

und umgekehrt: Nimmt man auf den Seiten eines 
Dreiecks RSQ die Punkte R', S' und Q' so an, dass 
obige Relation stattfindet, so treffen die Geraden 
RR', SS', QQ' in einem Punkte T zusammen. 

Wiederholt man diesen Satz an zwei Punkten T' und T", 
so erhält man auch: 

Werden die Eckpunkte R, S und Q eines Drei- 
ecks aus zwei Centren T' und T" auf die gegenüber- 
liegenden Seiten bezüglich in R'S'Q' und R"S"Q" 
projicirt, so ist das Product der Doppelverhältnisse 
(SQR'R"), (QRS'S") und (RSQ'Q") gleich + 1. 

Nehmen wir noch die Transversale ganz beliebig und 



Satz des Oeva, De lineis rectis se invicem secantibus statica 
constriTctio (Mediolani, 1678), I, S. 2. — Bali z er, Trigon,, S. 360. 
L. Cremona, Elena, d. project. Geometrie. 8 



114 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



ziehen ST und QT beziehungsweise parallel QR und RS, 
dann gehen die Punkte S' und Q' ins Unendliche und R' 
wird der Mittelpunkt von SQ (als Durchschnitt der Dia- 
gonalen QS und RT des Parallelogramms QRST). Es 
werden folglich die Doppelverhältnisse (SQR'A'), (QRS'B') 
und (RSQ'C) bezüglich gleich (Nr. 54): — (QA' : SA'},, 
RB' : QB' und SC : RC. Oder 

Schneidet eine Transversale die Seiten eines 
Dreiecks RSQ in A', B', C, so hat man für die Seiten- 
abschnitte die Relation 

QA' RB' SC' ^ . 
SA'-QB''RC"' 

und umgekehrt: nimmt man die drei Punkte A'B'C auf 
den Seiten eines Dreiecks RSQ so an, dass obige 
Relation stattfindet, so liegen diese drei Punkte 
in einer geraden Linie. 

Wiederholt man diesen Satz an zwei Transversalen, so 
findet man : 

Schneiden zwei Transversalen die Seiten eines 
Dreiecks RSQ bezüglich in A'B'C und A''B"C", so 
ist das Product der Doppelverhältnisse (SQA'A"), 
(QRB'B") und (RSC'C") gleich + 1. 

Nehmen wir umgekehrt auf den Seiten eines Dreiecks 
RSQ drei Punktenpaare A'A", B'B" und CG" der Art, dass 
das Product der Doppelverhältnisse (SQA'A"), (QRB'B") und 
(RSC'C") gleich + 1 wird, so liegen die Punkte A"B"C" 
auf einer Geraden, wenn auch die Punkte A'B'C in einer 
Geraden liegen, und die Geraden RA", SB" und QC" treffen 
in einem Punkte zusammen, wenn die Geraden R A', 8 B' und 
QC dasselbe thun. 

105. Es wurde oben (93) gezeigt: wenn man zwei projecti- 
vische Punktreihen (ABC , . .) und (A' B' C . . .) derselben Ebene 
aus den Durchschnittspunkten der Geraden, welche AB' und A'B 



^) Satz des Menelaus, Spliaerica, III, S. 1. — Baltzer, Trigon., 
S, 362, 



§ 12. Involution. 



115 



oder AC und A'C... oder BC und B' G , . . entsprechen, pro- 
jicirt, so bilden die projicirenden Strahlen eine Involution. Die 
correlativen Sätze heissen: 

Sind zwei projectiviscLe, aber nicht concentrische Strahlen- 
büschel {ab c . . .) und (a' h' c' . . .) in derselben Ebene gegeben 
und schneidet man sie durch die Verbindungslinie zweier Punkte, 
welche a h' und a' h oder a c' und a' c . . . oder h c' und h' c analog 
sind, so erhält man involutorische Punktenpaare. 

Sind zwei projectivische Ebenenbüschel {a ß y , , und 
7' ...) , deren Axen sich schneiden, gegeben und schneidet man 
sie durch eine Ebene (bestimmt durch zwei Geraden, welche a ß' 
und ci' ßi oder a y' und c/J y , , . oder ß y' und ß' y analog sind), 
so erhält man involutorische Strahlenpaare. 

Hat man zwei projectivische Strahlenbüschel {ab c . . .) und 
{a' b' c' . . .) mit gleichem Oentrum, aber in verschiedenen Ebenen 
und projicirt man sie aus einem Punkte, der zwei der Ebenen 
ab' und a'5, a c' und a'c... 6 c' und &' c gemeinschaftlich ist, so 
bilden die projicirenden Ebenen eine Involution. 

106. Besondere Eälle. Alle Punktenpaare einer Geraden, 
die von einem festen Punkte dieser Geraden gleich weit abstehen, 
bilden eine Involution, weil jedes Paar durch den festen Punkt 
und den unendlich fernen Punkt harmonisch getrennt ist. 

Ist umgekehrt der unendlich ferne Punkt eines der Doppel- 
elemente einer Involution von Punkten, so hat jedes Paar der 
conjugirten Punkte seine Mitte auf dem anderen Doppelpunkt. 
Haben in einer Involution zwei Paare conjugirter Punkte A A' 
und B B' denselben Mittelpunkt, so ist dieser auch die Mitte von 
jedem anderen Paare CO'. 

Alle geradlinigen Winkel, welche denselben Scheitel haben, 
in derselben Ebene liegen und durch dieselbe feste Gerade hal- 
birt werden, bilden eine Involution, weil die Schenkel eines jeden 
Winkels durch die gemeinsame Halbirungslinie und den darauf 
senkrechten Strahl harmonisch getrennt sind. 

Sind umgekehrt die Doppelelemente eines involutorischen 
Strahlenbüschels zwei senkrechte Linien, so bilden die conjugirten 
Strahlen eines jeden Paares mit jedem der beiden Doppelstrahlen 
gleiche Winkel. 

Wenn in einer Involution die Winkel von zwei Paaren con- 
jugirter Strahlen a a' und b b' dieselben Halbirungslinien haben. 



116 



Elemente der pro] ecti vischen Geometrie. 



SO halbiren diese aucli den Winkel irgend eines anderen Paa- 
res c c'. 

Alle Mächenwinkel mit gemeinsamer Kante and gemeinsamer 
Halbirungsebene bilden eine Involution; denn die Seiten eines 
jeden Mäclienwinkels sind dnrcli die feste Ebene und die auf ihr 
senkrechte, durch die gemeinsame Kante gehende, Ebene harmo- 
nisch getrennt. Umgekehrt: sind die Doppelelemente einer In- 
volution von Ebenen zwei aufeinander senkrecht stehende Ebenen, 
so bilden die conjugirten Ebenen eines jeden Paares mit jeder 
der Doppelebenen gleiche Winkel, etc. 

§ 13. Projectivisclie Gebilde am Kreise. 

107. In einer Ebene sind zwei (einstimmig) gleiche 
Strahlenbüschel a 5 cd ... , ah'c'd'... mit den Centren 0 und 
0' (Fig. 81) gegeben. Der Winkel, den zwei entsprechende 
Strahlen aa\ hh\ cc' ... mit einander bilden, ist constant 
(Nr, 80) : folglich ist der geometrische Ort des Durchschnitts- 
punktes zweier entsprechender Strahlen ein durch 0 und O' 

Fig. 81. 




B 



gehender Kreis *). Die Tangente an den Kreis im Punkte 0 
bildet mit der Sehne 0 0' einen Winkel, der so gross ist wie 
jeder der Winkel OAO', OBO', OCO'...; aber der Strahl 
0' 0 des zweiten Büschels muss den gleichen Winkel mit dem 
entsprechenden Strahl des ersten Büschels bilden, also ist 
gerade die Tangente in 0 dieser Strahl q des ersten Büschels, 
der dem Strahle q' des zweiten Büschels oder der Sehne 0' 0 
entspricht. 



'"■) Baltzer, Planim. , S. 26. 



§ 13. Projectivische Gebilde am Kreise. 



117 



Stellen wir uns vor, der bewegliche Punkt A durchlaufe 
die Kreislinie; dann beschreiben die beweglichen Strahlen 
AO und AO' oder a und a' die beiden Strahlenbüschel; ist 
A sehr nahe bei 0, so kommt auch der Strahl AO' ganz 
nahe an 0 0' oder und der Strahl AO fällt sehr nahe auf 
q oder die Tangente in 0. Das stimmt mit der Definition 
der Tangente in 0 überein: Die Tangente in 0 verbindet 
diesen Punkt mit dem unendlich nahe liegenden Punkte der 
Peripherie. 

Ebenso entspricht dem Strahl 0 0' oder p des ersteh 
Büschels der Strahl p' oder die Tangente an den Kreis in 0' 
des zweiten Büschels. 

108. Umgekehrt, projicirt man eine beliebige Anzahl 
Punkte A, B, C, D, . . . eines Kreises aus zwei Punkten 0 und 
0' desselben Kreises, so erzeugen die projicirenden Strahlen 
0 (A, B, C, D, . . .) und 0' (A, B, C, D, . . .) zwei einstimmig 
gleiche Büschel, da die Winkel AOB und AO'B, AOC und 
AO'C, ... BOG und BO'C, ... gleich sind; diese Büschel 
sind also projectivisch (Nr. 78). Mit andern Worten: sind 
die Punkte A, B, C, . . . fest, während das Centrum des Bü- 
schels auf der Peripherie fortgleitet, so bleibt der Büschel 
stets sich selbst gleich und folglich projectivisch. 

Derjenige Strahl, der aus dem Punkte 0 eben diesen 
Punkt 0 oder, genauer, den unendlich nahe liegenden Punkt 
des Kreises, projicirt, ist die Tangente in 0. Daraus folgt, 
dass in den projectivischen Büscheln 0 (A, B, C,...) und 
0' (A, B, C, . . .) die Tangente in 0 derjenige Strahl des ersten 
Büschels ist, der dem Strahle 0' 0 des zweiten entspricht. 

109. Wir wissen, dass in zwei projectivischen Gebilden 
je vier harmonische Elemente des einen und des andern ein- 
ander entsprechen (Nr. 58); daraus folgt: wenn vier Strahlen 
0 (A, B, C, D) harmonisch sind, so ist auch die Gruppe 
0' (A, B, C, D) harmonisch, welches auch die Lage des Punk- 
tes 0' auf dem Kreise sei. Lassen wir 0' mit dem A un- 
endlich nahe liegenden Punkte coincidiren, so wird auch die 



118 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie. 



aus der Tangente in A und den Sehnen AB, AG, AD ge- 
bildete Gruppe harmonisch sein. Ebenso ist der aus der Tan- 
gente in B und den Sehnen BA, BC, BD zusammengesetzte 
Büschel harmonisch, etc. 

Man sagt in diesem Falle: die vier Punkte AB CD des 
Kreises sind harmonisch '^'). 

110. Sind PQ und P'Q' zwei feste Tangenten eines 
Kreises um den Mittelpunkt M (Fig. 82) und AA' eine ver- 
änderliche, durch die festen Tangenten begrenzte Berührungs- 

Fig. 82. 




linie, so ist der Winkel AMA' constant. Denn sind Q, P', 
T die Berührungspunkte, so hat man: 

Winkel AMA' = AMT + TMA' = f QMT + f TMF 

r=: QMP' 

Bewegt sich also die Gerade AA' zwischen den festen 
Tangenten, so erzeugen die Strahlen M A und M A' zwei pro- 
jectivische Büschel (Nr. 82); die Punkte A und A' beschreiben 
folglich zwei projectivische Punktreihen. Oder: 

Die Tangenten an den Kreis bezeichnen auf zwei 
festen Tangenten zwei projectivische Punktreihen. 

Da der Winkel AMA' = f QMP', d. h, gleich jedem 
der Winkel QMQ' und PMP' ist (wo P und Q' denselben 
Punkt bezeichnen, einmal als Punkt der ersten, das andere- 



") Steiner, loc. cit., S. 157, § 43. 
••■-1) Baltzer, Planim., S. 44. 



§ 13. Projectivische Gebilde am Kreise. 



119 



mal als Punkt der zweiten festen Tangente angesehen), so 
sind Q und Q', P und P' entsprechende Punkte der beiden 
projectivischen Punktreihen; oder die Berührungspunkte der 
beiden festen Tangenten entsprechen dem Schnittpunkt der- 
selben. 

Stellen wir uns yor, der Kreis werde von der beweglichen 
Tangente durchlaufen (umhüllt), so erzeugen die Punkte A 
und A' die beiden projectivischen Punktreihen; ist die beweg- 
liche Tangente sehr nahe an PQ, so kommt der Punkt A' 
sehr nahe an Q' und der Punkt A kommt sehr nahe an den, 
Q' entsprechenden, Punkt Q, d. h. an den Berührungspunkt 
von PQ. Folglich 

muss man den Berührungspunkt einer Tangente als 
den Schnittpunkt derselben mit der unendlich nahe 
liegenden Tangente ansehen. 

III. Der vorhergehende Satz drückt aus, dass^ vier Tan- 
genten ab cd eines Kreises von einer fünften in vier Punkten 
AB CD geschnitten werden, deren Doppelverhältniss constant 
ist, wie man auch diese fünfte Tangente lege. 

Die fünfte Tangente kann unendlich nahe an einer der 
vier festen Tangenten, z. B. an a liegen ; dann ist A der Be- 
rührungspunkt von a und B, C, D sind die Durchschnitte a h, 
ac, ad. 

Schneiden als besonderen Fall ah cd die Tangente P Q 
in vier harmonischen Punkten, so bilden auch die Durch- 
schnitte von ah cd mit jeder anderen Tangente an den Kreis 
eine harmonische Gruppe. Die aus dem Berührungspunkt 
von a und den Schnittpunkten ab, ac, ad gebildete Gruppe 
ist harmonisch. Man sagt in diesem Falle: die vier Tan- 
genten ahcd sind harmonisch*). 

112. In Fig. 83 sind A, B, C, . . . X Punkte des Kreises 
und die entsprechenden Tangenten. Projicirt 

man aus dem Centrum des Kreises die Punkte A', B', C\ . . . 



Steiner, loc. cit., S. 157, § 43. 



120 



Elemente der proj ectivischen Geometrie. 



in welchen die Tangente x von den Tangenten 0, b, c, . . « 
geschnitten wird, so stehen die projicirenden Strahlen he» 
ziehungsweise senkrecht auf den Sehnen XA, XB, XC,.., 
und bilden folglich (Nr. 82) einen Büschel, der dem Büschel 



Fig. 83. 




X (A, B, C, . . .) gleich ist. Also ist die Punktreihe A' B' C . . . 
projectivisch zu dem Büschel X (ABC...)*) oder: 

Die Punktreihe, welche mehrere gegebene Tan- 
genten eines Kreises auf einer beliebigen Tangente 
bestimmen, ist proj ecti vis ch zu dem Strahlenbüschel, 
welcher ihre Berührungspunkte aus einem beliebi- 
gen Punkte desselben Kreises projicirt. 

Daraus folgt als specieller Fall: wenn X (AB CD) eine 
harmonische Gruppe ist, so ist auch A'B'C'D' eine harmonische 
Gruppe oder: 

Sind vier Punkte eines Kreises harmonisch, so 
sind auch die Tangenten in diesen Punkten harmo- 
nisch und umgekehrt. 

§ 14. Projectivische Gebilde an den Kegelschnitten« 

113. Construiren wir diejenigen Figuren, welche zu 
denen der Sätze Nr. 108, 110 und 112 collinear sind. Den 
Punkten und Tangenten des Kreises werden die Punkte und 
Tangenten eines Kegelschnittes entsprechen (Nr. 19), Die 
Tangente an einem Kegelschnitt ist also die Gerade, welche 
die Curve in zwei unendlich nahe liegenden Punkten schnei- 
det; ein Punkt der Curve ist der Schnitt zweier unendlich 



Baltzer, Trigonometrie, S. 376-378. 



§ 14. Projectivische Gebilde an den Kegelschnitten, 



121 



nahe liegender Tangenten; zwei gleichen und darum projec- 
tivischen Büscheln werden zw-ei projectivische Büschel ent- 
sprechen und zwei projectivischen Punktreihen werden eben- 
falls zwei projectivische Punktreihen entsprechen; zwei Büschel 
oder zwei Punktreihen, die sich in zwei collinearen Figuren 
entsprechen, sind in der That zwei perspectivische Gebilde. 
Es ergeben sich also folgende Sätze: 

I. Projiclrt man eine beliebige Anzahl von Punk- 
ten A, B, G, D,. .. eines Kegelschnittes aus zwei 
festen Punkten 0 und 0' derselben Curve (Fig. 84), 
so bilden die projicirenden Strahlen 0 (A, B, C, D, ...) 

Fig. 84. 




und 0' (A, B, C, D, . . .) zwei projectivische Strahlen- 
büschel. Dem Strahle 0 0' des ersten Büschels ent- 

Fig. 85. 




spricht die Tangente in 0' und dem Strahle O'O des 
zweiten Büschels entspricht die Tangente in 0. 



122 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie. 



II. Eine b eliebige Anzahl von Tangenten a, h, c, 
d,.., an einem Kegelschnitt bestimmen auf zwei 
festen Tangenten o und o' (Fig. 85) zwei projectivi- 
sche Punktreihen. Dem Punkte oo' oder Q der ersten 
Punktreihe entspricht der Berührungspunkt Q' von 
o' und demselben Punkte o'o oder P' der zweiten 
Reihe entspricht der Berührungspunkt P von o '^). 

III. Die Punktreihe, welche eine bewegliche 
Tangente an einen Kegelschnitt auf einer festen 

Fig. 86. 




Tangente bestimmt, ist projectivisch zu dem Strah- 
lenbüschel, welcher den veränderlichen Berüh- 
rungspunkt aus einem beliebig angenommenen 
festen Punkte desselben Kegelschnittes projicirt 
(Fig. 86). 

114. Beweisen wir nun die ümkehrungen der beiden 
Lehrsätze I und II. 

r. Sind zwei (nicht concentrische) Strahlen- 
büschel in derselben Ebene projectivisch (nicht 
aber perspectivisch), so ist der geometrische Ort des 
Schnittpunktes zweier entsprechender Strahlen ein 
Kegelschnitt, der durch die Centren der beiden Bü- 
schel geht; die Tangenten in diesen Punkten sind 
diejenigen Strahlen der beiden Büschel, welche 



■■') Steiner, loc. cit., S. 139, § 38. 



§ 14. Projectivisclie Gebilde an den Kegelschnitten. 123 



der geraden Verbindungslinie ihrer Centren ent- 
sprechen. 

Beweis '^). Die Centren der beiden projectivischen Bü- 
schel 0 (M^MaMg...) und A (M^M^Mg...) (Fig. 87) seien 0 
und A, die Paare entsprechender Strahlen also OM^ und 
AM^, OMj und AMj, OMg und AM3 . . . Der Ort der Punkte 
MjMgMg... geht durch den Punkt 0, weil der Strahl AO 

Fig. 87. 




0 



des Büschels A und der entsprechende Strahl des Büschels 
0 sich in 0 schneiden. Ebenso ist A ein Punkt des Ortes. 

Der Strahl 0 des Büschels 0 entspreche dem Strahle A 0 
des Büschels A. Ziehen wir einen Kreis, der die Gerade 0 
im Punkte 0 berühre; sein Schnittpunkt mit OA sei A'. Sind 
ebenso M/ M3' . . . die Schnittpunkte von 0 , 0 Mj, 0 Mg . . . 
mit dem Kreise, so sind die Büschel 0 (M/ Mg' M3' . . .) und 
A' (Mi'M2M3 ...) einstimmig gleich und da^ nach Voraus- 
setzung, 0 (M/ M/ Mg' . . .) oder 0 (M^ M2 M3 . . .) und 
A (M1M2M3 , . .) projectivisch sind, so sind es auch die Büschel 
A' (M/M./M3'...) und A (M1M2M3...); die beiden letzteren 
aber sind perspectivisch (Nr. 62), weil der Strahl A'O dem 
Strahle AO entspricht, folglich schneiden sich ihre entspre- 
chenden Strahlen in Punkten S^, S^, S3,... einer Geraden s. 



'"■) Beweis von Ed. Dewulf. 



124 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Um also denjenigen Punkt des gesuchten Ortes zu construi- 
ren, der auf einem beliebigen Strahle m des Büschels A liegt, 
hat man nur m bis zu dem Schnittpunkt S mit s zu verlän- 
gern, den Schnittpunkt M' von SA' mit dem Kreise zu bil- 
den und M'O zu ziehen; dann ist der Schnittpunkt von OM' 
und m der gesuchte Punkt M. 

Diese Construction ist nun genau dieselbe, welche wir in 
Nr. 19 (Fig. 10) angewandt haben, um die collineare Curve 
eines Kreises zu finden, wenn die Axe s und das Centrum 0 
der Collineation und zwei entsprechende Punkte A und A' 
gegeben sind. Der Ort der Punkte M ist also ein Kegel- 
schnitt. 

ir. Sind zwei (nicht übereinanderliegende) ge- 
rade Punktreihen in derselben Ebene proj ectivisch 

FiK. 88, 




(nicht aber perspectivisch), so umhüllen die ge- 
raden Verbindungslinien entsprechender Punkte 
einen Kegelschnitt, d. h. sie sind Tangenten eines 
solchen. Dieser Kegelschnitt berührt die beiden 



§ 14. Projectivische Gebilde am Kegelschnitte. 



125 



gegebenen Geraden in denjenigen Punkten, welche 
ihrem Schnittpunkte entsprechen. 

Beweis Die projectivischen Punktreihen seien s und 
s'; die Paare entsprechender Punlde A und A', B und B', C 
und C . . , Die Umhüllungscurve der Geraden AA', BB', 
CC . . , berührt auch die Gerade s, welche den Punkt ss' oder 
S' der zweiten Punktreihe mit dem Punkte S der ersten ver- 
bindet. So ist auch s' eine zweite Tangente. 

Beschreiben wir einen Kreis, der s in S berühre und 
legen daran die Tangenten a'\ b'\ c" ...s" aus den Punkten 
A, B, C...S'; diese Tangenten a". h'\ c" . . . werden auf s" 
eine Punktreihe bezeichnen, die zu s und folglich auch zu s' 
projectivisch ist. Der Punkt S' aber entspricht sich selbst in 
den Punktreihen s' und s", also sind diese perspectivisch 
(Nr. 62) und die Geraden A" A', B" B', C" C, . • . laufen in einem 
Punkte 0 zusammen. Will man also denjenigen Punkt M' 
von s construiren, der einem beliebigen Punkte M Yon s ent- 
spricht, so hat man nur aus M eine Tangente m an den Kreis 
zu legen und den Schnittpunkt M" von m und s" mit 0 zu 
verbinden, dann wird diese Gerade 0 M" die Gerade s' in M' 
treffen. Die Gerade MM' wird eine neue Tangente an die 
Curve sein. Da nun diese Construction genau dieselbe ist, 
wie diejenige, welche wir in Nr. 19, Fig. 10', angenommen 
haben, um die collineare Figur eines Kreises zu finden, wenn 
die Collineationsaxe s eine Tangente an diesen Kreis, das 
Collineationscentrum ein beliebiger Punkt 0 und s' und s" 
zwei entsprechende Geraden sind. Die Umhüllungscurve der 
Geraden MM' ist also ein Kegelschnitt. 

Die Lehrsätze T und II" dieser Nummer sind correlativ 
(27), denn die aus den Schnittpunkten der entsprechenden 
Strahlen zweier projectivischer Büschel gebildete Figur ist 
correlativ zu der aus den Verbindungslinien der entsprechen- 
den Punkte zweier projectivischer Punktreihen gebildeten Fi- 
gur. Also entsprechen (nach dem Reciprocitätsgesetz 



■''■) Beweis von Ed. Dewulf. 



126 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



der Ebene) in zwei correlativen Figuren den Punkten 
eines Kegelschnittes die Tangenten eines anderen 
Kegelschnittes. 

115. Mit Rücksicht auf Nr. 58 und 61 können die Lehr- 
sätze der Nummern 113 und 114 auch so ausgedrückt werden: 

Das Doppelyerhältniss der vier Geraden, welche 
vier feste Punkte eines Kegelschnittes mit einem 
veränderlichen Punkte dieser Curve verbinden, ist 
constant. 

Das Doppelverhältniss der vier Punkte, in wel- 
chen vier feste Tangenten eines Kegelschnittes von 
einer veränderlichen Tangente derselben Curve ge- 
schnitten werden, ist constant'^'). 

Man nennt Doppelverhältniss von vier gegebenen 
Punkten AB CD eines Kegelschnittes das Doppelverhältniss der 
vier Geraden 0 (A, B, C, D), wo 0 ein beliebiger Punkt des 
Kegelschnittes ist. Man nennt Doppelverhältniss von vier 
gegebenen Tangenten abcd eines Kegelschnittes das Doppel- 
verhältniss der vier Punkte o (a, 6, c, (/), wo o eine beliebige 
Tangente des Kegelschnittes ist. 

Das Doppelverhältniss von vier Tangenten eines 
Kegelschnittes ist gleich dem Doppelverhältniss 
ihrer Berührungspunkte 

Der Ort eines Punktes, aus welchem man vier 
gegebene Punkte ABCD durch Strahlen projiciren 
kann, deren Doppelverhältniss einem gegebenen 
gleich wird, ist ein Kegelschnitt, der durch die ge- 
gebenen Punkte geht. 

Die Tangente in einem dieser Punkte, A z. B. ist eine 
Gerade, welche mit AB, AC, AD eine Gruppe bildet, deren 
Doppelverhältniss dem gegebenen gleich ist 

Wird eine Curve von Geraden umhüllt, die von 
vier gegebenen Geraden in vier Punkten geschnitten 



-"•) Steiner, loc. cit. , S. 156, § 43. 
""■1) Chasles, Geom, sup., Nr. 663. 



§ 14. Projectivisclie Gebilde am Kegelschnitt, 



127 



sind, deren Doppelverhältniss dasselbe bleibt, so 
ist jene Ciirve ein Kegelschnitt, der die gegebenen 
Geraden berührt. 

Der Berührungspunkt einer dieser Geraden a z. B. bildet 
mit den Punkten ah^ ac^ ad eine Gruppe, deren Doppel- 
verhältniss den gegebenen Werth hat 



116. Durch fünf beliebige 
Punkte 0, 0', A, B, 0 (Mg. 84) 
(einer Ebene), von denen nicht 
mehr als zwei in einer Geraden 
liegen, kann man einen Kegel- 
schnitt legen. Denn es wird 
genügen, die projecti vis eben Bü- 
schel zu construiren, deren Cen- 
tren zwei der gegebenen Punkte 
0 und 0' z. B. sind und in denen 
drei Paare entsprechender Strah- 
len OA und 0' A, OB und O'B, 
0 C und 0' C sich in den 
drei andern Punkten schneiden. 
Jedes weitere Paar OD und O'D 
entsprechender Strahlen wird 
einen neuen Punkt D der Curve 
geben. 

Um die Tangente in einem 
der gegebenen Punkte, 0 z. B., 
zu construiren, hat man nur 
denjenigen Strahl des Büschels 
0 zu bestimmen, der dem Strahle 
0' 0 des Büschels 0' entspricht. 

Durch fünf gegebene Punkte 
kann ein einziger Kegel- 
schnitt gelegt werden; denn 
könnten zwei Kegelschnitte ge- 
legt werden, so hätten sie eine 
endlose Zahl anderer Punkte 
(bestimmt durch die Paare der 



An fünf gegebene Geraden 
(einer Ebene) kann ein berüh- 
render Kegelschnitt gelegt wer- 
den, wenn nicht mehr als zwei 
dieser Geraden durch denselben 
Punkt gehen. Denn man hat 
nur mit Hülfe der drei Paare 
entsprechender Punkte {oa und 
o'a, ob und o'6, oc und o' c), 
welche drei der gegebenen Ge- 
raden «, b, c auf den beiden 
andern o und o' bestimmen, 
die projecti vi sehen Punktreihen 
zu construiren (Fig. 85). Die 
Gerade d, welche zwei andere 
entsprechende Punkte der beiden 
Reihen verbindet, wird eine neue 
Tangente an die Curve. 

Um den Berührungspunkt einer 
der gegebenen Geraden, z. B. o, 
zu construiren, hat man nur den- 
jenigen Punkt der Reihe o zu 
bestimmen, der dem Punkte o o' 
der Reihe o' entspricht. 

Es gibt nur einen Kegel- 
schnitt, der fünf gegebene Ge- 
raden berührt; denn sollte es 
zwei solcher geben, so hätten sie 
eine endlose Zahl gemeinsamer 
Tangenten (alle Verbindungs- 
linien entsprechender Punkte 



-"-) Steiner, loc. cit., S. 156—157, § 43, 



128 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



entsprechenden Stralilen der pro- 
jectivischen Büschel) gemeinsam, 
was unmöglich ist. 

Daraus folgt weiter auch: 

Durch vier Punkte können 
unendlich viele Kegelschnitte 
gelegt werden; irgend zwei die- 
ser Curven haben ausser den 
vier gegebenen Punkten keine 
gemeinsamen. 



der projectivischen Punktreihen), 
was unmöglich ist. 



Es gibt unendlich viele Kegel- 
schnitte, welche vier gegebene 
Geraden berühren; irgend zwei 
dieser Curven haben ausser den 
vier gegebenen Geraden keine 
gemeinsame Tangente, 



117. Die Lehrsätze Nr. 70 können jetzt so ausgedrückt 
werden: 

Ist ein Sechseck einem 
Kegelschnitt umschrieben 
(Fig. 89 und 56), so gehen 
die Verbindungslinien der 

Fig. 89. 



Ist ein Sechseck einem 
Kegelschnitt einbeschrie- 
ben (Fig. 90 und 57), so schnei- 
den sich die drei Paare der 



Fig. 90. 




drei Paare Gegenecken 
durch denselben Punkt*). 




Gegenseiten in drei Punk- 
ten einer Geraden*^). 



"'•") Satz von Brian c hon, zum erstenmal 1806 veröffentlicht, später 
wiederholt in den „Memoire snr les lignes du second ordre (Paris 1817, 
S. 34). 

'""1) Satz von Pascal: Essai snr les coniques, ein kleines Werk von 
6 Seiten in 8- 1640 zum erstenmal veröffentlicht, als der Verfasser erst 
16 Jahre alt war-, wiederholt in der Ausgabe der „Oeuvres de Pascal 
(La Haye, 1779) und auch neuerdings durch H. Weissenborn in der 
Vorrede seines Buches; Die Projection in der Ebene (Berlin 1862). 



14. Projectivisclie Gebilde an den Kegelschnitten. 



129 



Der PascaTsclie Satz bezieht sich auf sechs Punkte, der- 
jenige Brian chon's auf sechs Tangenten eines Kegel- 
schnittes; diese sechs Punkte oder Tangenten können beliebig 
aus allen Punkten und Tangenten der Curve ausgewählt wer- 
den. Da nun der Kegelschnitt durch fünf Punkte oder fünf 
Tangenten bestimmt ist, diese fünf Punkte oder fünf Tan- 
genten also beliebig aus sämmtlichen Punkten oder Geraden 
einer Ebene ausgewählt werden können, der Kegelschnitt dem- 
nach bestimmt ist, sobald einmal diese fünf Elemente bestimmt 
sind, so drückt der Pascal'sche Satz auch die nothwendige 
und hinreichende Bedingung dafür aus, dass sechs Punkte 
einer Ebene auf einem Kegelschnitte liegen; der Satz Brian- 
chon's drückt die nothwendige und hinreichende Bedin- 
gung dafür aus, dass sechs Geraden einer Ebene einen 
Kegelschnitt als Tangenten berühren. 

Es folgt aus den Sätzen der Nr. 117 selbst, dass die Be- 
dingung nothw endig ist; sechs in beliebiger Aufeinanderfolge 
genommene Punkte eines Kegelschnittes können als Eckpunkte 
eines eingeschriebenen Sechsecks angesehen werden; da aber 
der Pascal'sche Satz für jedes eingeschriebene Sechseck rich- 
tig ist, so müssen die drei Paare der Gegenseiten in drei 
Punkten einer Geraden zusammenlaufen, in welcher Reihen- 
folge auch die sechs Punkte genommen werden, um das 
Sechseck zu bilden. 

Die Bedingung ist hinreichend. Denn setzen wir in Fig. 90 
voraus, es besitze das Sechseck AB'CA'BC, dessen sechs Eck- 
punkte in einer gewissen Reihenfolge genommen werden, die 
Eigenschaft, dass die Paare der Gegenseiten BC und B'C, 
CA' und CA, AB' und A'B in drei Punkten P, Q, R einer 
Geraden sich treffen, so geht durch die fünf Punkte 
AB'CA'B ein Kegelschnitt (und nur einer), der die Gerade 
AC in einem gewissen Punkte X schneidet. Nun wird 
AB'CA'BX ein eingeschriebenes Sechseck sein und die Paare 
der Gegenseiten B'C und BX, XA oder CA und CA', A'B 
und AB' werden sich in drei Punkten einer Geraden schnei- 
den, der zweite und der dritte sind Q und R; der erste ist 
also der Schnittpunkt von QR und B'C oder P. Beide Ge- 

L. Cremona, Eiern, d. project. Geometrie. 9 



130 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



raden BX und BC gehen darum durch P und fallen dem- 
nach zusammen. Da nun der Punkt X auf AC und zu- 
gleich auf BC liegt, so coincidirt er mit dem Punkte C 
(w. z. b. w.). 

Je nach der Reihenfolge, in welcher die sechs Punkte 
verbunden werden, gibt es sechzig einfache Sechsecke. Aus 
der soeben gemachten Untersuchung folgt: wenn irgend eines 
dieser Sechsecke die Eigenschaft besitzt, dass sich die drei 
Paare Gegenseiten in drei Punkten einer geraden Linie schnei- 
den, so gehören die sechs Punkte demselben Kegelschnitte 
an, folglich haben auch alle andern Sechsecke dieselbe Eigen- 
schaft '^). Betrachtungen, die den soeben angestellten corre- 
lativ sind und sich auf den Satz Brian chon's beziehen, können 
an einem System von sechs Geraden gemacht werden. 

118. Betrachten wir die zwei Dreiecke, von denen das 
eine aus der ersten, dritten und fünften Seite, das andere 
aus der zweiten, vierten und sechsten Seite des eingeschrie- 
benen Sechsecks AB'CA'BC (Fig. 90) gebildet ist. Als ent- 
sprechende Seiten nehmen wir B C und B'C, CA' und GA, 
AB' und A'B. Nach dem Satze Pascal's schneiden sich diese 
Seiten paarweise in drei Punkten einer Geraden; also (Nr. 14) 
sind diese beiden Dreiecke coUinear. Daraus folgt, dass man 
den Pascarschen Satz auch so ausdrücken kann: 

Sind zwei Dreiecke collinear, so liegen die 
Punkte, in welchen die Seiten des einen die nicht 
entsprechenden Seiten des andern schneiden, auf 
demselben Kegelschnitte. 

Betrachten wir ebenso in einem umschriebenen Sechseck 
ah' cabc' (Fig. 89) die Eckpunkte ungeraden Ranges und die- 
jenigen geraden Ranges als Eckpunkte von zwei Dreiecken, 
in welchen die Punkte 5c' und 6'c, ca' und c'a, ah' und a'b 
als entsprechende angenommen sind, so liegen nach dem 
Satze Brianchon's diese Punktenpaare auf drei nach einem 
Punkte gerichteten Geraden; also (Nr. 13) sind die zwei Drei- 



Steiner, loc. cit, S. 311, § 60 . 54. 



§ 14. Projectivisclie Gebilde an den Kegelschnitten. 



131 



ecke collinear und es kann der Satz Brianchon's auch so 
ausgedrückt werden: 

Sind zwei Dreiecke collinear, so berühren die 
Geraden, welche die Eckpunkte des einen mit den 
nicht entsprechenden Eckpunkten des andern ver- 
binden, denselben Kegelschnitt. 

Beide Sätze können in einen zusammengezogen werden: 

Sind zwei Dreiecke collinear, so liegen die 
Punkte, in denen die Seiten des einen die nicht ent- 
sprechenden Seiten des andern schneiden, auf einem 
Kegelschnitt und die Geraden, welche die Eckpunkte 
des einen mit den nicht entsprechenden Eckpunkten 
des andern verbinden, berühren einen andern 
Kegelschnitt '^). 

119. Kommen wir auf Fig. 90 zurück und sehen die 
Punkte A B' C A' B als fest, C als beweglich an, so bietet sich 
uns der Pascarsche Satz auch in folgender Fassung dar: 

Verändert sich ein Dreieck G'PQ der Art, dass 
sich seine Seiten PQ, PC und QC um die festen 
Punkte R, B und A drehen, während zwei seiner Eck- 
punkte P und Q zwei feste Gerade CB' und CA' durch- 
laufen, so beschreibt der dritte Eckpunkt G einen 
Kegelschnitt, der durch die gegebenen Punkte A 
und B, durch den Schnittpunkt C der gegebenen 
Geraden, den Schnittpunkt B' der Geraden AR und 
CB' und durch den Schnittpunkt A' der Geraden BR 
und CA' geht 



■"■) Möbius, loc. cit., Nr. 278, 

'"'1) Dieser Satz wurde von Maclaurin 1721 gegeben. Siehe Trans- 
actions philosophiques de la Societe royale de Londres vom Jahre 1735 
(pag. 121 der franz. üebersetzung , Bologne 1741) und Chasles, Apercu 
historique sur l'origine et le developpement des methodes en Geometrie 
(Bruxelles, 1837). Ist der Punkt B in unendlicher Ferne, so wird dieser 
Satz Lemma 20 von Newton, Philosophiae naturalis principia mathema- 
tica, lib. I, S. 198, Kölner Ausgabe; die erste Ausgabe ist von 1686. 



132 



Elemente der projeetivischen G-eometrie. 



Ebenso kann man den Satz Brianclion's in folgende 
Fassung bringen: 

Verändert sieb ein Dreieck cpq (Fig. 90^) der Art, dass 
seine Eckpunkte pg, pc', qo! die festen Geraden r, h und a 
durchlaufen, während sich zwei seiner Seiten um die festen 
Punkte ch' und ca' drehen, so umhiillt die dritte Seite c' 
einen Kegelschnitt der die gegebenen Geraden a und 6, die 



Verbindungslinie c der festen Punkte, die Verbindungslinie 
h' der Punkte ar und c6' und die Verbindungslinie a' der 
Punkte hr und ca' berührt. 

120. Setzen wir in den Sätzen Nr. 116 rechts voraus, 
es liege eine Tangente in unendlicher Ferne, so wird der 
Kegelschnitt eine Parabel (Nr. 19), also ist eine Parabel 
durch vier Tangenten bestimmt oder (Nr. 116, rechts): 
Es gibt nur eine Parabel, die vier gegebene Geraden 
berührt. 

Macht man in dem Satze Nr. 113. II dieselbe Voraus- 
setzung, so sind die unendlich fernen Punkte der beiden be- 
rührenden projeetivischen Punktreihen entsprechende Punkte, 
denn ihre Verbindungslinie ist eine Tangente an die Gurve. 
Daraus folgt (Nr. 74): 

Die Tangenten an eine Parabel schneiden zwei 
feste Tangenten dieser Curve in Punkten, welche 
zwei ähiiliclie Punktreihen bilden. 

Z w ei f e s t e T a n g e n t e n e i n e r P a r a b e 1 werden 



Fig. gOj. 




o' 



§ 14. Projectivisclie Gebilde an den Kegelsclinitten. 



133 



diircli alle anderen Tangenten in proportionale 
Stücke getheilt *). 

Die beiden Tangenten werden von den andern in den 
Punkten A und A', B und B', C und C . . . geschnitten 
(Fig. 91); P und Q' sind die Berührungspunkte der beiden 
ersteren, dann wird ihr Schnittpunkt mit Q oder mit P' be- 



zeichnet, je nachdem man ihn als Punkt der einen oder an- 
dern Tangente ansieht Wir haben also folgende gleiche 
Quotienten: 

A^B ,AC BC^ __ _ A P^ _ AQ^ _ __ p 

A'B' ~" A'C B'C A'F " A^ - ••• ~ pQ/- 

Umgekehrt (Nr. 114) gibt man (in einer Ebene) zwei 
gerade ähnliche (nicht perspectivische) Punktreihen, 
so sind alle Verbindungslinien entsprechender 
Punkte Tangenten an dieselbe Parabel, welche die 
gegebenen Geraden in den ihrem Schnittpunkte 
entsprechenden Punkten berührt. 

In diesem Falle ist nämlich die unendlich ferne Gerade 
eine Tangente an den Kegelschnitt, denn sie verbindet die 
unendlich fernen Punkte der beiden gegebenen Geraden und 
diese Punkte sind entsprechende (Nr. 73). 

121. Setzen wir in dem Satze Nr. 114, Fig. 87 voraus, 



Fig. 91. 




■"') ApoUonii Pergaei Conicorum lib. III, 41. 



134 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



der Punkt A sei in unendliclier Ferne, oder, was auf dasselbe 
herauskommt, der erste Büschel bestehe aus parallelen Ge- 
raden, so entspricht der Geraden OA (d. h. demjenigen 
Strahl des zweiten Büschels, der den Strahlen des ersten 
parallel läuft) als Strahl a' des zweiten Büschels angesehen 
die Gerade a des ersten Büschels und diese ist die Tangente 
in A; diese Gerade kann in endlicher oder unendlicher Ferne 
liegen. 

Im ersten Fall (Fig. 92) ist die unendlich ferne Gerade 
ein Strahl j des ersten Büschels, welchem im zweiten Büschel 



Fig. 92. 




ein von a verschiedener und folglich nicht durch A gehender 
Strahl j' entspricht; der Kegelschnitt wird also eine Hyperbel 
sein (Nr. 19), deren unendlich ferne Punkte k = aa und jj' 



Fig. 93. 




sind; die Gerade a ist eine Asymptote und j ist der anderen 
parallel. 

Im zweiten Fall (Fig. 93) ist die unendlich ferne Gerade 
in A eine Tangente an den Kegelschnitt; dieser ist also eine 
Parabel. 



14. Projectivisclie Gebilde an den Kegelschnitten, 135 



122. Setzt man in demselben Satze Nr. 114 voraus, es 
liegen beide Punkte A und 0 in unendlicher Ferne (Fig. 94), 
so bestehen beide projectivischen Büschel aas parallelen 
Strahlen und da der von ihnen erzeugte Kegelschnitt durch 
die Punkte A und 0 gehen muss, so ist er eine Hy- 
perbel (Nr. 19). Die Asymptoten der Hyperbel sind die Tan- 
,genten in ihren unendlich fernen Punkten '^); sie sind also 

Fig. 94. 




'diejenigen Strahlen a und o' des ersten und zweiten Büschels, 
welche der unendlich fernen Geraden, nach einander als Strahl 
des zweiten oder des ersten Büschels angesehen, entsprechen. 

Nach dem allgemeinen Satz Nr. 113 werden die Asym- 
ptoten der Hyperbel von allen anderen Tangenten in Punkten 
von zwei projectivischen Punktreihen geschnitten, in w^elchen 
die Berührungspunkte, die unendlich ferne liegen, dem Schnitt- 
punkte Q der Asymptoten entsprechen. In diesem Falle geht 
die Gleichung 

J M . r M' = const. 

der Nr. 59 und 83 in folgende über: 

QM . QlVr = const., 

wo M und M' die Schnittpunkte einer beliebigen Tangente 
mit den Asymptoten sind. 
Wir schliessen hieraus: 



""') Desargues, loc. cit., S. 210. — Newton, loc. cit. , Anmerkung 
z. Satze S. 27. 



136 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



Das Prodiict der durch eine beliebige Tangente 
an die Hyperbel auf b eiden Asymptoten abgeschnit- 
tenen Segmente, wenn diese vom Schnittpunkt der 
Asymptoten aus gemessen \Yerden, hat einen con- 
stanten Werth. 

Man kann auch sagen: 

Der Inhalt des von einer beliebigen Tangente 
an die Hyperbel und ihren Asymptoten gebildeten 
Dreiecks ist co nstant 

123. Wenden wir den Satz Nr. 113 auf den Fall an, 
wo zwei feste, parallele Tangenten von einer veränderlichen 
Tangente in M und M' geschnitten werden. In den durch 
diese Punkte erzeugten projectivischen Punktreihen entspre- 
chen dem unendlich fernen Schnittpunkt der beiden festen 
Tangenten ihre Berührungspunkte; bezeichnet man sie mit 
J und r, so hat man in Folge von Nr. 59 die G-leichung 

J M . r M' = const. 

oder : 

Das Product der Segmente, welche eine ver- 
änderliche Tangente auf zwei festen parallelen Tan- 
genten (von ihren Berührungspunkten aus gemessen) 
abschneidet, ist constant '''^). 

§ 15. Coiistructionen und Uebungesie 

124. Folgende Aufgaben werden mit Hülfe der zu Nr. 117 
correlativen Sätze gelöst: 



Fünf Tangenten a, h' , c, a', 
h eines Kegelschnittes sind 
gegeben; man soll durch 
einen Punkt H einer dieser 
Tangenten« eine sechste 
Tangente an die Gurve le- 
gen (Fig. 95). 



Fünf Punkte A, B', C, A', 
eines Kegelschnittes sind 
gegeben; man soll den 
Schnittpunkt dieser Curve 
mit einer Geraden suchen, 
die durch einen der gegebe- 
nen Punkte A geht (Fig. 96). 



'"■) Apollonius, loc. cit., III, 43. 
*i) Apollonius, loc. cit., III, 42. 



§ 15, Constructionen und Uebungen. 



137 



Ist d die gesuchte Tangente, 
so hat das Sechseck ab'ca'bc' 
die in dem Satze Brianchon's 
ausgedrückte Eigenschaft. Zie- 
hen wir die Diagonale r, welche 
zwei Gegenecken a b' und a' b 
verbindet und die Diagonale q, 
welche die Gegenecken c a' und 
c' a (wo c' a der gegebene Punkt 
H ist), so muss die Diagonale, 
welche die beiden andern Gegen- 
ecken b c' und b' c verbindet, 
durch den Punkt g r gehen. Ver- 
bindet also p die Punkte qr und 




b' G , so ist die Verbindungslinie 
von p b und dem gegebenen 
Punkt H die gesuchte Gerade. 

Setzt man jetzt voraus , der 
Punkt H nehme auf irgend einer 
der gegebenen Tangenten andere 
Lagen an und wiederholt man 
jedesmal obige Construction, so 
erhält man eine beliebige Anzahl 
von Tangenten an den Kegel- 
schnitt. Der Satz Brianchon's 
dient also dazu, mit Hülfe von 
Tangenten den Kegelschnitt zu 



Ist C der gesuchte Punkt, so 
hat das Sechseck AB' CA' B C 
die in dem Satze Pascal's 
ausgedrückte Eigenschaft. Der 
Schnittpunkt von zwei Gegen- 
seiten des Sechsecks A B' und 
A' B sei R; der Schnittpunkt 
von zwei andern Gegenseiten 
0 A' und r sei Q; dann muss 
QE, die beiden andern Gegen- 
seiten ß' C und B 0' in dem- 
selben Punkte P schneiden. 
Verbindet man also den Schnitt- 
punkt P der Geraden B' G und 



Fig. 116. 




mit B, so schneidet BP 
die Gerade r in dem gesuchten 
Punkte 0'. 

Setzt man jetzt voraus, die 
gegebene Gerade nehme noch 
andere Lagen an, indem sie sich 
um einen der gegebenen Punkte 
des Kegelschnittes dreht und 
wiederholt man jedesmal obige 
Construction, so erhält man eine 
beliebige Anzahl von Punkten 
des Kegelschnittes. Der Satz 
Pascal's dient also dazu, punkt- 



138 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



construiren, der durch fünf ge- weise den Kegelschnitt zu con- 
gebene Tangenten bestimmt ist *). struiren , der durch fünf gegebene 



125. Setzen wir voraus, dass in der vorhergehenden Auf- 
gabe rechts der Punkt B in unendlicher Ferne liege. Der Kegel- 
schnitt wird dann im Allgemeinen eine Hyperbel sein, von welcher 
die Punkte A, B', C, A' und die Richtung (m) einer Asymptote 
bekannt sind. Man sucht den zweiten Schnittpunkt C der Curve 
mit einer durch A gehenden, gegebenen Greraden r (Fig. 97). 

Die Auflösung wird von derjenigen der vorigen Aufgabe ab- 
geleitet, indem man den Punkt B in der gegebenen Richtung in 



unendliche Perne rückt. Man verbindet den Schnittpunkt E, von 
AB' und der durch A' in der gegebenen Richtung gezogenen 
Geraden mit dem Schnittpunkte Q von r und A' C, zieht hierauf 
durch den Schnittpunkt P von Q R und B' 0 eine Parallele zu 
A'R, welche r in dem gesuchten Punkte C schneidet. 

I. Wenn dagegen der Punkt A unendlich ferne liegt, so geht 
die Aufgabe in die folgende über: 

Von einer Hyperbel sind vier Punkte B'CA'B und 
die Richtung einer Asymptote gegeben* man sucht den 
Schnittpunkt dieser Ourve mit einer gegebenen Ge- 
raden r, die der Asymptote parallel ist (Pig. 98). 

Auflösung. Wir verbinden den Schnittpunkt R von A' B 
und der durch B' in der gegebenen Richtung gezogenen Geraden 



"") Brianchon, loc. cit., S. 38. — Poncelet, loc. cit., Nr. 209. 
■-'■') Newton, loc. cit., Satz XXII. — Maclaurin, De linearum 
geometricarum proprietatibus generahbus (London, 1748), § 44. 



Punkte bestimmt ist *i). 



Fig. 97. 




15. Constractionen und Uebungen, 



139 



mit dem Schnittpunkt Q von A' C und der gegebenen Geraden 
T] jetzt zielaen wir durch B und den Schnittpunkt P von QR 

Fig. 98. 

. / 
\ / 




und B' C eine Gerade; BP schneidet die Gerade r in dem ge- 
suchten Hyperbelpunkte 0'. 

II. Sind zwei Punkte A' und B unendlich ferne, so haben 
wir folgende Aufgabe: 

Von einer Hyperbel sind drei Punkte A, B', C und 
die Richtungen beider Asymptoten gegeben; man 
sucht den zweiten Schnittpunkt der Curve und einer 
durch A gehenden gegebenen Geraden r (Fig. 99). 

Auflösung. Durch den Schnittpunkt Q von der gegebenen 
Geraden r und der durch C in der Richtung der ersten Asym- 

Fig. 99. 




ptote gezogenen Geraden ziehen wir eine Parallele zu AB': sie 
schneidet B' C in P; durch P ziehen wir die Parallele zu der 
zweiten Asymptote, sie schneidet r in dem gesuchten Punkte 0' 
der Hyperbel. 

III. Sind die Punkte A und B' unendlich ferne, so ist die 
durch die vorhergehende Construction gelöste Aufgabe gleich der 
folgenden: 



140 



Elemente der projectivischen Geometi'ie. 



Von einer Hyperbel sind drei Punkte C, A', B und 
die Eichtungen der Asymptoten gegeben; man sucht den 
Schnittpunkt der Ourve mit einer gegebenen Geraden 
r, welche der ersten Asymptote parallel ist (Fig. 100)c 

Auflösung. Wir ziehen durch den Schnittpunkt Q von r 
und CA' eine Parallele zu A'B; diese schneidet in P die durch 



C zur zweiten Asymptote parallel gezogene Gerade; dann schneidet 
B P die gegebene Gerade in dem gesuchten Punkte 0' der Hy- 
perbel. 

IV. Sind endlich die Punkte B', 0, A', B in endlicher Ent- 
fernung, die Gerade A C unendlich ferne, so haben wir folgende 
Aufgabe: 

Vier Punkte B', 0, A', B einer Hyperbel und die 
Richtung einer Asymptote sind gegeben; man sucht 
die Richtung der zw eit en Asymptote (Fig. 101). 

Auflösung, Durch den Schnittpunkt R von A'B und der 
durch in der gegebenen Richtung gezogenen Geraden ziehen 



Flg. '100. 




■r 



Fig. iOl. 




wir die Parallele zu CA'; sie schneidet die Gerade B' C in P; 
dann ist B P die gesuchte Richtung. 



§ 15. Coiistmctionen und Uebimgen. 



141 



Alle diese Aufgaben sind nur besondere Fälle von Nr, 124 
rechts; es wird für den Studirenden eine nützliche Uebung sein, 
die Constructionen für die besonderen Fälle von der allgemeinen 
Oonstruction abzuleiten; man hat zu dem Zwecke nur Fol- 
gendes zu überlegen; Soll ein Punkt in endlicher Entfernung 
mit einem unendlich fernen Punkte in einer gegebenen Richtung 
verbunden werden, so hat man durch den ersten Punkt eine Pa- 
rallele zu der gegebenen Richtung zu ziehen. 

126. Betrachten wir ebenso die besonderen Fälle der Auf- 
gabe Nr. 124 links, indem wir voraussetzen, es rücke eines der 
gegebenen Elemente in unendliche Ferne. 

Nehmen wir in erster Linie an, der Punkt ac' sei unendlich 
ferne, so haben wir folgende Aufgabe zu lösen: 

Fünf Tangenten «, h\ c, a', h eines Kegelschnittes 
sind gegeben; man soll eine sechste Tangente construi- 
ren, die einer der gegebenen, z.B.«, parallel ist (Fig. 102). 

Auflösung. Zeichnen wir die Gerade r, welche die Punkte 
ah' und a! h verbindet, ferner durch den Punkt a' c eine Gerade 



q parallel zu a und eine Gerade p , welche die Punkte q r 
und b' c verbindet. Die gesuchte Tangente c' geht durch den 
Punkt p h. 

Aus einem beliebigen Punkte der Ebene eines Kegelschnittes 
kann man höchstens zwei Tangenten an denselben legen (Nr. 19) ; 
aus einem gegebenen Punkte einer Tangente kann man nur noch 
eine andere Tangente ziehen, Ist also der Kegelschnitt eine Pa- 
rabel, so können nie zwei ihrer Tangenten parallel sein, 

L Ist die Gerade h unendlich ferne, so haben wir die 
Aufgabe: 



Fig. '102. 




142 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Vier Tangenten b\ c, a' einer Parabel sind gege- 
ben; man soll diircli einen Punkt H von a eine fünfte 
Tangente construiren (Kg. 103). 

Auflösung. "Wir ziehen die Gerade r durch ab' und pa- 
rallel zu ferner die Gerade welche den gegebenen Punkt H. 

Fig. '103. 




mit dem Punkte a' c verbindet und die Gerade p, welche die Punkte 
q r und 6' c verbindet. Die gesuchte Tangente ist parallel zu 

II. Ist die Gerade a unendlich ferne, so haben wir die 
Aufgabe: 

Vier Tangenten b\ c, a\ b einer Parabel sind gege- 
ben; man soll eine Tangente construiren, die einer ge- 
gebenen Geraden parallel ist (Fig. 104). 

Auflösung. Wir ziehen durch den Punkt a' b eine Gerade 
r parallel zu /;', ferner durch den Punkt a' c die Gerade q in der 

Fig. 104. 




gegebenen Richtung, endlich die Gerade p, welche die Punkte 
6'c und qr verbindet. Die gesuchte Tangente geht durch den 
Punkt p b. 



§16. Folgerungen aus den Sätzen von Pascal und Bi'ianclion. 143 

III. Verändert in der Aufgabe I der Punkt H seine Lage 
auf a, oder verändert sich die gegebene Richtung in der Auf- 
gabe II, so gelangt man zu der Lösung der Aufgabe: 

An eine durch vier gegebene Tangenten bestimmt© 
Parabel noch weitere Tangenten zu ziehen. 

§ 16. Folgerungen ans den Sätzen von Pascal 

und Brianclion« 

127. Wir haben schon einige Sätze und Constnictionen 
(Nr. 124 und folgende) entwickelt, welche unmittelbare Fol- 
gerungen aus den Lehrsätzen von Pascal und Brianchon sind 
und welche sich aus der Voraussetzung ergeben, dass einzelne 
Elemente ins Unendliche rücken. Man erhält noch an- 
dere Zusätze, indem man annimmt, dass von den sechs 
Punkten oder sechs Tangenten zwei unendlich nahe zusammen 
rücken 

Sind AB'CA'BC sechs Punkte eines Kegelschnittes, so 
sagt der Pascal'sche Satz, dass z. B. die beiden Büschel A 
(A'B'CC) und B (A'B'CC) projectivisch sind. Dem Strahl 
A B des ersten entspricht die Tangente in B , so dass man 
sagen kann, die G-ruppe der vier Geraden 

AA; AB', AC, AB 

ist projectivisch zu der Gruppe von 

BA', BB', BC, Tangente in B; 

Fig. 105. 




damit ist offenbar vorausgesetzt, dass der Punkt C\ der zu- 
erst in einer beliebigen Lage auf der Curve angenommen 



") Carnot, loc. cit., S. 455—456. 



144 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



wurde, dem Punkte B uiieiidlicli nahe gekommen sei. Statt 
des eingeschriebenen Sechsecks hat man die aus dem einge- 
schriebenen Fünfeck AB'CA'B und der Tangente h im Eck- 
punkt B zusammengesetzte Figur (Fig. 105) und der Pascal'sche 
Satz geht in den folgenden über: 

Ist ein Fünfeck (AB'CA'B) einem Kegelschnitt ein- 
geschrieben, so liegen die zwei Schnittpunkte R, Q 
von zw^ei Paaren nicht aufeinander folgender Seiten 
(AB' und A'B, AB und CA') und der Schnittpunkt P 
der fünften Seite (B'C) und der Tangente im gegen- 
überliegenden Eckpunkt (B) auf derselben Geraden. 

Wir können diesen Satz auch aus der Gonstruction (Nr. 66 
rechts) zweier projeotivischer Büschel ableiten. Drei Paare ent- 
sprechender Strahlen AA' und BA', AO und B C, AB' und 
B ß' sind gegeben; . wir schneiden die beiden Büschel durch die 
Transversalen G A' und C B' ; B sei der Schnittpunkt von A' B 
und A B' ; dann müssen irgend zwei entsprechende Strahlen der 
beiden Büschel A und B die Transversalen C A' und 0 B' be- 
ziehungsweise in zwei Punkten schneiden, welche mit E, in der- 
selben Geraden liegen. Um also denjenigen Strahl des zweiten 
Büschels, der AB entspricht, d. h. die Tangente in B zu er- 
halten, hat man nur den Punkt ß mit dem Schnittpunkt Q von 
CA' und A B zu verbinden: die verlangte Gerade h geht dann 
von dem Punkte B nach dem Schnittpunkte P von C B' und 
QE.. Diese Gonstruction stimmt genau mit der oben ausge- 
sprochenen Folgerung überein. 

128. Diese Folgerung dient dazu, die beiden folgenden Auf- 
gaben zu lösen: 

1. Fünf Punkte A, B', C, A', B eines Kegelschnittes sind 
gegeben; man soll die Tangente in einem der gegebenen Punkte 
B construiren (Fig. 105). 

Auflösung. Wir verbinden den Schnittpunkt Q von AB 
und CA' mit dem Schnittpunkt E von AB' und A'B; P sei der 
Durchschnitt von Q E und ß' G. Die gesuchte Tangente ist BP *). 

Besondere Fälle. Einer der Punkte A B' C A' ist unend- 
lich ferne: Vier Punkte einer Hyperbel und die Eichtung einer 



'■') Maclaurin, loc. cit., § 40. 



§ 16. Folgerungen aus den Sätzen von Pascal und Brianchon. |45 

Asymptote sind bekannt; man soll die Tangente in einem der 
gegebenen Punkte construiren. 

B ist unendlich fern: Vier Punkte einer Hyperbel und die 
Riclitung einer Asymptote sind bekannt; die Asymptote selbst 
zu zeiclinen. 

Von den vier Punkten A B' C A' sind zwei unendlich fern: 
Drei Punkte einer Hyperbel und die Richtungen der Asymptoten 
.sind gegeben; in einem der gegebenen Punkte die Tangente zu 
zeichnen. 

B und einer der anderen Punkte sind unendlich fern: Drei 
Pankte einer Hyperbel und die Richtungen der Asymptoten sind 
bekannt; eine Asymptote selbst zu zeichnen. 

2. Vier Punkte A B A' 0 eines Kegelschnittes und die Tan- 
gente in B sind gegeben; den Kegelschnitt selbst punktweise zu 
zeichnen; z. B. den Punkt der Ourve zu finden, der sich auf 
einer durch A gehenden Geraden r befindet (Pig. 105). 

Auflösung. Der Schnittpunkt von r und A'B sei R; der 
Schnittpunkt von AB und CA' sei Q; der Durchschnitt von QR 
und der gegebenen Tangente seiP; dann ist der Schnittpunkt B' 
von C P und der gegebenen Geraden r der gesuchte Punkt der 
Curve. 

Setzt man voraus, es liegen ein oder zwei d.er Punkte A A' C 
odör der Punkt A und die Gerade r, oder der Punkt B, oder der 
Punkt B und einer der anderen Punkte, oder der Punkt B und 
die gegebene Tangente in unendlicher Perne, so hat man folgende 
besondere Pälle: 

Die Hyperbel punktweise zu verzeichnen, wenn von ihr be- 
kannt sind: drei Punkte, die Tangente in einem derselben und 
die Richtung einer Asymptote; oder zwei Punkte, die Tangente 
in einem derselben und die Richtungen der Asymptoten; oder drei 
Punkte und eine Asymptote; oder zwei Punkte, eine Asymptote 
und die Richtung der andern. 

Die Parabel punktweise zu verzeichnen, wenn von ihr drei 
Punkte in endlicher Entfernung und die Richtung der Geraden 
gegeben sind, die sich in dem unendlich fernen Punkte schneiden. 

129. Kommen wir jetzt auf das Sechseck AB'CA'BC 
im Kegelschnitt zurück und nehmen an, dass nicht nur C 
dem Punkte B unendlich nahe liege, sondern dass auch B' 

L. Cremona, Elem. d, project. Geometrie. 10 



146 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



dem Punkte C unendlich nahe rücke, so geht die Figur in 
das eingeschriebene Viereck AB'A'B mit den Tangenten in 
den Eckpunkten B und B' über (Fig. 106) und der Pascal'sche 
Satz heisst dann: 

In jedem einem Kegelschnitt eingeschriebenen 
Viereck liegen die zwei Schnittpunkte der Gegen- 



seiten mit demj enigen der T angenten in irgend zwei 
gegenüberliegenden Eckpunkten in einer Geraden. 

Diese Eigenschaft fällt mit einer anderswo (Nr. 67 rechts) 
erhaltenen zusammen. Betrachten wir nämlich die projectivischen 
Büschel, deren entsprechende Strahlen BA und B'A, B A' und 
B'A', ... sind, so muss die Gerade, welche den Schnittpunkt Q 
von B A und B' A' mit dem Schnittpunkt E von B' A und B A' 
verbindet, durch den Schnittpunkt P derjenigen Strahlen gehen j 
welche der Verbindungslinie der Mittelpunkte B und B' ent- 
sprechen. 

130. Mit Hülfe des vorangehenden Zusatzes werden folgende 
Aufgaben gelöst: 

1. Vier Punkte AB'A'B eines Kegelschnittes und die Tan- 
gente B P in B sind gegeben; man soll die Tangente in B' con- 
struiren (Fig. 106). 

Auflösung. Der Schnittpunkt von AB und A'B' sei 
derjenige von AB' und A'B sei R und derjenige von QR und 



Fig. 106. 




§ 16. FolgeruBgen aus den Sätzen von Pascal und Brian chon, 147 



der gegebenen Tangente sei P; dann ist B' P die gesiiclite Tan- 
gente *). 

Nimmt man an , es liege einer der gegebenen Punkte oder 
die gegebene Gerade nnendlich. ferne, so erhält man die Auf- 
lösung folgender besonderer Aufgaben: 

In einem gegebenen Punkte einer Hyperbel die Tangente zu 
zeichnen, wenn von der Curve ausserdem gegeben sind: zwei an- 
dere Punkte, die Tangente in einem derselben und die Eiohtung 
einer Asymptote; oder ein anderer Punkt mit einer Tangente und 
den Richtungen beider Asymptoten; oder zwei andere Punkte 
und eine Asymptote; oder ein anderer Punkt, eine Asymptote 
und die Richtung der zweiten Asymptote. 

Die Asymptote einer Hyperbel zu zeichnen, wenn die Rich- 
tung derselben gegeben ist und ausserdem noch drei Punkte der 
Curve und die Tangente in einem derselben; oder zwei Punkte, 
die Tangente in einem derselben und die Richtung der zweiten 
Asymptote; oder zwei Punkte und die zweite Asymptote selbst. 

In einem gegebenen Punkte der Parabel eine Tangente zu 
zeichnen, wenn von dieser Curve noch zwei weitere Punkte in 
endlicher Entfernung und die Richtung gegeben sind, in welcher 
der unendlich ferne Punkt liegt. 

2. Punktweise den Kegelschnitt zu construiren, von welchem 
drei Punkte A, B, B' und die Tangenten B P und B' P gegeben 



sind, indem man z. B. den Punkt A' su.cht, in welchem eine 
beliebige durch B gezogene Gferade r von der Curve geschnitten 
wird (Fig. 107), 



Maclaurin, loc. cit., § 38. 



Fig, 107. 




A 



148 



Elemente der proj ectivisclien Geometrie, 



Auflösung. Wir verbinden den Schnittpunkt P der gege- 
benen Tangenten mit dem Schnittpunkt R von r und AB'; ist 
Q der Durchschnitt von AB und Pß, so schneidet B'Q die Ge- 
rade r in dem gesuchten Punkte A'. 

Nimmt man an, es liege einer der Punkte A, B oder B' oder 
eine der Greraden BP, B' P oder r in unendlicher Perne, so hat 
man die Auflösungen folgender besonderer Fälle: 

Punktweise die Hyperbel zu zeichnen, von welcher gegeben 
sind: zwei Punkte mit ihren Tangenten und die Richtung einer 
Asymptote, oder ein Pu.nkt mit seiner Tangente, eine Asymptote 
und die Richtung der zweiten Asymptote, oder beide Asymptoten 
und ein Punkt. 

Punktweise die Parabel zu construiren, von welcher zwei 
Punkte, die Tangente in einem derselben und die Richtung der 
Geraden gegeben sind, die in dem unendlich fernen Punkte zu- 
sammentreffen. 

131. Die Tangenten in den beiden anderen Eckpunkten 
A und A' des Vierecks ABA'B' (Fig. 107) schneiden sich 
ebenfalls auf der Verbindungslinie der Punkte (AB, A'B') 
und (AB', A'B), oder: 

Ist ein Viereck einem Kegelschnitt eingeschrie- 
ben, so liegen die zwei Schnittpunkte der Gegen- 
seiten und die zwei Schnittpunkte der Tangenten 
in den Gegenecken auf derselben Geraden. 

132. Schreiben wir jetzt die Buchstaben 0, D, E und 
G an der Stelle von A', B', R und Q (Fig. 108). In dem 
eingeschriebenen Viereck AB CD liegen also der Schnittpunkt 
der Tangenten in A und G, der Schnittpunkt der Tangenten 
in B und D, der Schnittpunkt der Seiten AD und BG und 
der Schnittpunkt der Seiten AB und CD auf derselben Ge- 
raden EG. 

Nimmt man dieselben Punkte A, B, C und D in einer 
anderen Reihenfolge, so hat man zwei andere eingeschriebene 
Vierecke ACDB und ACBD. 

Wendet man also den letzten Lehrsatz auf das einge- 
schriebene Viereck ACDB an, so findet man, dass der Schnitt- 



§ 16. Folgerungen ans den Sätzen von Pascal und Brianchon. 149 

pimkt der Tangenten in A und D, der Schnittpunkt der Tan- 
genten in C und B, der Schnittpunkt der Seiten AB und CD 
und der Schnittpunkt der Seiten AC und BD auf derselben 
Geraden F G liegen. Ebenso gibt das eingeschriebene Viereck 

Fig. 108. 




ACBD vier Punkte auf derselben Geraden EF, nämlich die 
Schnittpunkte der Tangenten in A und B, der Tangenten in 
0 und D, der Seiten AD und OB und der Seiten AC und 
BD % 

Die drei Geraden EG, FG, EF, die man so erhält, sind 
die Seiten des Diagonaldreiecks (Nr. 30, 2) desjenigen voll- 
ständigen Vierecks, dessen Eckpunkte die vier gegebenen 
Punkte sind; und da dieselben Geraden auch die Durchschnitte 
der Tangentenpaare in diesen Punkten enthalten, so sind sie 
also auch die Diagonalen des von diesen vier Tangenten ge- 
bildeten vollständigen Vierseits oder: 

Das von vier Tangenten eines Kegelschnittes 
gebildete vollständige Vierseit und das von ihren 
vier Berührungspunkten gebildete vollständige 
Viereck haben dasselbe Diagonaldreieck. 



"'0 Maclaurin, loc. cit. , § 50. — Carnot, loc. cit. , S. 453—454. 



150 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie, 



In Fig. 108 sind a, c, d die vier Tangenten, A, B, 
D die vier Berülirungspimkte ; EFG- ist das Diagonaldreieck, 

133. In dem vollständigen Vierseite ah cd schneidet die 
Diagonale /, deren Endpunkte ac und bd sind, die beiden 
andern Diagonalen e und g in E und G; diese vier Punkte 
sind also harmonisch (49). Der correlative Satz heisst: Die- 
jenigen zwei Gegenseiten des eingeschriebenen vollständigen 
Vierecks AB CD, welche sich in F schneiden, sind durch die 
Geraden, die nach den zwei andern Diagonalpunkten E und 
G gehen, harmonisch getrennt (Nr. 50). Man kann also fol- 
genden Lehrsatz aufstellen (Fig. 108): 

Hat ein (einfaches) eingeschriebenes Viereck 
(ABCD) als auf einanderfolgende Eckpunkte die auf- 
einanderfolgenden Berührungspunkte eines (ein- 
fachen) umschriebenen Vierecks (aöcd), so gehen 
1. die Diagonalen der beiden Vierecke durch den- 
selben Punkt (F) und bilden eine harmonische 
Gruppe; 2. liegen die Schnittpunkte der Paare der 
Gegenseiten in beiden Vierecken in einer geraden 
Linie (EG) und sind harmonisch getrennt; 3. gehen 
die Diagonalen des umschriebenen Vierecks durch 
die Schnittpunkte der Gegenseiten des eingeschrie- 
benen Vierecks '^'). 

134 Mit Hülfe des Lehrsatzes von Nr. 132 kann man zu 
vier gegebenen Tangenten ab c d eines Kegelschnittes und einem 
ihrer Berührungspunkte unmittelbar die drei anderen finden, oder 
zu vier gegebenen Punkten A, B, C, D und der Tangente in 
einem derselben, die Tangenten in den drei anderen Punkten 
construiren 

Auflösung. Wir zeichnen Wir zeichnen das Diagonal- 
das Diagonaldreieck EFG des dreiseit efg des vollständigen 
vollständigen Vierseites ab cd] Vierecks AB OD; die Punkte 
dann schneiden AG, A F und ag^ af und a e gehören bezie- 



•"■) Chasles, Sect. coniques, Nr. 121. 
^^1) Maclaurin, loc. cit., § 38 und 39. 



§ 16. Folgerungen aus den Sätzen von Pascal und Brianclion. 151 



A E beziehungsweise b , 
4 in B, 0 lind D. 



nnd 



hungsweise den verlangten Tan- 
genten 6, c und d an. 



135. Betrachten wir die vier Geraden ah cd als Seiten 
eines (einfachen) dem Kegelschnitt umschriebenen Vierseits, 
so können wir dem Lehrsatz von Nr. 132 noch folgenden 
Ausdruck geben, der schon in demjenigen von Nr. 133 ent- 
halten ist 

Wird einVierseit einem Kegelschnitt umschrie- 
ben, so gehen die Verbindungslinien der Berüh- 
rungspunkte der Gegenseiten durch den Schnitt- 
punkt der Diagonalen (Fig. 109). 

Diese Eigenschaft fällt mit einer schon bei den 23rojectivi- 
ischen Punktreihen bewiesenen (Nr. 67 links) zusammen. Denn 

Fig. 109. 




'betrachten wir die projectivischen Punktreihen a und c, in welchen 
und cfc, ad und cd^... entsprechende Punkte sind, so 
müssen sich die Geraden, welche die Punkte ab und cd und die 
Punkte cb und ad verbinden, auf derjenigen Geraden schneiden, 
welche die dem Punkte ac entsprechenden Punkte verbindet; das 
ist aber die Verbindungslinie der Berührungspunkte von a und c. 

Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel und betrachtet man das 
von den Asymptoten und zwei beliebigen Tangenten gebildete 
Vierseit, so sagt der obige Lehrsatz aus, dass die Diagonalen 
'derjenigen Sehne parallel sind, welche die Berührungspunkte der 
iDeiden Tangenten verbindet 



'"■) Newton, loc. cit. Zus. II. zu Lemma XXIV. 
Apollonius, loc. cit., III, 44. 



152 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



136. Der vorangehende Satz dient dazu, folgende Aufgabe 
zu lösen: 

Drei Tangenten c und zwei ihrer Berührungspunkte A 

und C sind gegeben; man soll den Kegelschnitt selbst mit Hülfe 
weiterer Tangenten construiren; man soll z. B. durch einen Punkt 
H, der auf a gegeben ist, eine neue Tangente ziehen (Fig. 109). 

Auflösung. Wir verbinden den Punkt ab mit dem Schnitt- 
punkt von AO und H (bc)] diese Verbindungslinie trifft c in 
einem Punkte, der mit H verbunden, die verlangte Tangente d 
liefert. 

Setzt man voraus, es liege einer der Punkte A und 0 oder 
eine der gegebenen Tangenten in unendlicher Ferne, so erhält 
man die Auflösungen von folgenden besonderen Pällen: 

Vermittelst Tangenten die Hyperbel zu construiren, von welcher 
eine Asymptote, zwei Tangenten imd ein Berührungspimkt — oder 
beide Asymptoten und eine Tangente gegeben sind; vermittelst 
Tangenten die Parabel zu construiren, von welcher der unendlich 
ferne Punkt, zwei Tangenten und ein Berührungspunkt — oder zwei 
Tangenten und ihre Berührungspunkte bekannt sind. 

137. Nehmen wir in dem Pascal'schen Satze an, dass die 
Punkte A und B', C und A', B und C einander unendlich nahe 

Fig. 110, 



rücken, so bekommen wir (Fig. 110) das eingeschriebene 
Dreieck ABC, die Tangenten in den Eckpunkten und den Satz: 
Ist ein D reieck einem Kegelschnitt eingeschrie- 
ben, so liegen die drei Punkte, in welchen die Seiten 
beziehungsweise von den Tangenten der gegenüber- 
liegenden Eckpunkte geschnitten werden, auf der- 
selben Geraden (PBQ). 




16. Folgerungen aus den Sätzen von Pascal und Brianclion. 153 



138. Mit diesem Satze wird die Aufgabe gelöst: 

Drei Punkte A, B, C eines Kegelschnittes und die Tan- 
genten in A und B sind gegeben; man soll die Tangente in 
C Gonstruiren (Fig. 110). 

Auflösung. Die gegebenen Tangenten schneiden beziehungs- 
weise BO und CA in P und Q; P Q schneidet AB in R; dann 
ist C R die gesuchte Tangente. 

Folgende Aufgaben sind besondere Fälle von der vorher- 
gehenden : 

Zwei Punkte A und B einer Hyperbel, die Tangenten in 
diesen Punkten und die Richtung einer Asymptote sind gegeben-, 
man soll diese Asymptote selbst construiren. 

Eine Asymptote einer Hyperbel, ein Punkt A und seine Tan- 
gente und die Richtung der zweiten Asymptote sind gegeben; 
man soll letztere Grerade selbst construiren. 

Beide Asymptoten einer Hyperbel imd ein Punkt C sind ge- 
geben; man soll die Tangente in C construiren. 

139. Das eingeschriebene Dreieck ABC und das von 
den Tangenten gebildete Dreieck DEF (Fig. 110) besitzen 
die Eigenschaft, dass sich die Seitenpaare B C und E F, C A 
und FD, AB und DE in drei Punkten einer Geraden schnei- 
den; folglich sind die beiden Dreiecke collinear, d. h. (Nr. 15) 
die Verbindungslinien AD, BE und CF ihrer Eckpunkte 
gehen durch denselben Punkt 0, oder: 

Ist ein Dreieck einem Kegelschnitt umschrieben, 
so gehen die Geraden, welche seine Eckpunkte mit 
den Berührungspunkten der Gegenseiten verbinden, 
durch denselben Punkt. 

140. Mit Hülfe dieses Satzes wird die Aufgabe gelöst: 
Drei Tangenten eines Kegelschnittes und zwei Berührungs- 
punkte sind gegeben; man soll den dritten bestimmen. 

Auflösung. In Fig. 110 sei DEF das von den gegebenen 
Tangenten gebildete umschriebene Dreieck, A und B die Berüh- 
rungspunkte von EF und FD. Die Geraden AD und BE 
schneiden sich in 0; dann schneidet FO die Tangente D E in 
dem gesuchten Punkte C, 



154 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



Besondere Fälle. Zwei Tangenten, eine Asymptote einer 
Hyperbel und der Berührungspnnkt der einen Tangente sind ge- 
geben; man sucht den Berührungspunkt der andern Tangente. 
Beide Asymptoten und eine Tangente einer Hyperbel sind gege- 
ben; man sucht ihren Berührungspunkt. 

Zwei Tangenten einer Parabel mit ihren Berührungspunkten 
sind gegeben; man sucht die Richtung der Geraden, die sich in 
dem unendlich fernen Punkte schneiden. 

Zwei Tangenten einer Parabel, der Berührungspunkt der 
einen und der unendlich ferne Punkt sind gegeben; man sucht 
■den Berührungspunkt der andern Tangente. 

141. Ebenso wie aus dem Pascarsclien Satze eine Reihe 
specieller, das eingeschriebene Fünfeck, Viereck und Dreieck 
betreffender Sätze abgeleitet wurde, kann man auch aus dem 
Satze des Brianchon correlative, das umschriebene Fünfeck, 
Viereck und Dreieck betreffende Sätze ableiten. 

Nimmt man nämlich an, dass von den sechs Tangenten 
a, h\ c, a', 6, c', welche das umschriebene Sechseck (Nr. 117, 
links) bilden, zwei, z. B, 6 und c', unendlich nahe zusammen- 
rücken, so wird, da eine Tangente die unendlich nahe lie- 
gende Tangente in ihrem Berührungspunkte schneidet (Nr. 110, 
113), das Sechseck in diejenige Figur übergehen, welche aus 
dem umschriebenen Fünfeck ab' ca'b und dem Berührungs- 
punkt der Seite h zusammengesetzt ist (Fig. III). Der Satz 
des Brianchon heisst dann: 

Ist ein Fünfeck einem Kegelschnitt umschrie- 
ben, so schneiden sich zwei Diagonalen, welche 



Fig. III. 




zwei Paare verschiedener Eckpunkte verbinden 
und die Verbindungslinie des fünften Eckpunktes 



16. Folgerungen aus den Sätzen von Pascal und Brianchon. I55 



mit dem Berührungspunkte der gegenüberliegenden 
Seite in demselben Punkte. 

Dieser Lehrsatz spricht eine schon angeführte (Nr. 67, links) 
Eigenschaft der projectivischen Punktreihen aus. Setzen wir 
nämlich voraus, man habe auf den Geraden a und b die projec- 
tivischen Punktreihen, welche durch die Sekanten h'^ c be- 
stimmt werden; wird die erste Punktreihe aus dem Punkte c a', 
die zweite aus dem Punkte c b' projioirt, so hat man zwei perspec- 
tivische Büschel, deren gemeinsamer Schnitt die Verbindungslinie 
r der Punkte a h' und h a' ist. Verlangt man also denjenigen 
Punkt der zweiten Punktreihe, welcher dem Punkte a b der ersten 
entspricht, oder den Berührungspunkt der Tangente 6, so hat 
man nur die Grerade q zu ziehen, welche ab aus ca' projicirt und 
durch die Punkte cb' und qr die Gerade p zu legen; der Punkt 
p b wird der verlangte sein. 

Mit Hülfe der soeben aufgestellten Eigenschaft des umschrie- 
benen Fünfecks werden folgende Aufgaben gelöst: 

1. Fünf Tangenten eines Kegelschnittes sind gegeben; man 
soll den Berührungspunkt einer derselben bestimmen *). 

Besonderer Fall. Vier Tangenten einer Parabel sind ge- 
geben; man soll ihre Berührungspunkte und den unendlich fernen 
Punkt suchen, 

2. Mit Hülfe der Tangenten einen Kegelschnitt zu construi- 
ren, von welchem vier Tangenten und ein Berührungspunkt ge- 
geben sind. 

Besondere Fälle. Mit Hülfe der Tangenten eine Hyperbel 
zu zeichnen, von welcher drei Tangenten und eine Asymptote 
gegeben sind. 

Mit Hülfe der Tangenten eine Parabel zu zeichnen, von 
welcher drei Tangenten und der unendlich ferne Punkt oder drei 
Tangenten und ein Berührungspunkt gegeben sind. 

Diejenigen Folgerungen aus dem Lehrsatze des Brianchon, 
welche das umschriebene Vierseit und das Dreieck betreffen, sind 
keine anderen als die Sätze der Nummern 135 und 139; sie sind 
zu den Sätzen der Nummern 129 und 137 ebenso correlativ, wie 
es die Sätze der Nummern 127 und 141 unter sich sind. 

Es wird eine sehr nützliche TJebung für den Schüler sein, 



""") Maclaurin, loc. cit. , §. 41o 



156 



Elemente der projectivisctien Geometrie. 



wenn er die in diesem Absclinitt (§ 16) angeführten Aufgaben 
ganz allein löst; die Gonstructionen werden auf zwei correlative, 
durch die Lehrsätze des Pascal und des Brianchon unmittelbar 
gegebene , zurückgeführt. 

142. Die Folgerungen aus den Lehrsätzen des Pascal und des 
Brianchon zeigen, dass ebenso wie ein Kegelschnitt durch fünf 
Punkte oder fünf Tangenten eindeutig bestimmt ist, er auch durch 
vier Punkte und die Tangente in einem derselben, durch vier Tan- 
genten und einen Berührungspunkt, durch drei Punkte und die 
Tangenten in zweien derselben, durch drei Tangenten und zwei 
Berührungspunkte eindeutig bestimmt werden kann. Daraus folgt: 

1. Eine unendliche Anzahl von Kegelschnitten kann durch 
drei Punkte gehen und eine gegebene Gerade in einem dieser 
Punkte berühren, oder durch zwei gegebene Punkte gehen und 
darin zwei gegebene Geraden berühren; aber nicht zwei dieser 
Kegelschnitte können noch einen anderen gemeinsamen Punkt 
haben ; 

2. eine unendliche Anzahl von Kegelschnitten kann eine ge- 
gebene Gerade in einem Punkte und zwei andere gegebene Ge- 
raden oder zwei gegebene Geraden in gegebenen Punkten be- 
rühren; aber nicht zwei dieser Kegelschnitte können noch eine 
andere gemeinsame Tangente haben. 

Berühren also zwei Kegelschnitte eine gegebene Gerade in 
demselben Punkte (d. h. berühren sich die Kegelschnitte selbst 
in diesem Punkte), so können sie ausserdem nicht mehr als zwei 
gemeinsame Tangenten oder gemeinsame Punkte haben; berühren 
zwei Kegelschnitte zwei gegebene Geraden in gegebenen Punkten 
(d. h. berühren sich zwei Kegelschnitte in zwei Punkten), so 
können sie keine anderen gemeinsamen Punkte oder Tangenten 
haben. 

Berühren zwei Kegelschnitte eine Gerade a in einem Punkte 
A, so vertritt dieser Punkt zwei Schnittpunkte und die Gerade a 
zwei gemeinsame Tangenten. 

§ 17. Lehrsatz von Eesargues. 

143. Ein Viereck QRST sei Ein Vierseit qrst (Fig. 113) 
einem Kegelschnitt eingeschrie- sei einem Kegelschnitt umschrie- 
ben (Fig. 112); eine beliebige ben; aus einembeliebigen Punkte 
Transversale s schneide die Sei- S ziehe man die Geraden a, a', 



§ 17. Lehrsatz von Desargues, 



157 



ten QT, RS, QE und TS in 
den Punkten A. A'. B und B' 
und den Kegelschnitt in den 
Punkten P und P'. 

Fig. 11->. 



b und b' nacli den Eckpunkten 
g/, r.s, qr und ts des Vierseits 
und die Tangenten p und p' an 
den Kegelschnitt. 



Fis. IIB. 





Die beiden Strahlengruppen, 
welche, aus Q und S, die Punkte 
P, ß, P' und T des Kegelscknit- 
tes projiciren, sind proj ectivisch 
|Nr. 113), demnach sind die bei- 
den Gruppen der Punkte PBP' A 
und PA'P'B', wo diese Strah- 
len von der Transversalen ge- 
schnitten werden, ebenfalls pro- 
j ectivisch. Also sind (Nr. 38) 
die Grruppen P B P' A und 
P'B'PA' proj ectivisch, d. h. 
(Nr. 94) die drei Punktenpaare 

PP' . AA' . BB' 
bilden eine Involution. 

Oder, als Lehrsatz von De- 
sargues *): 



Die beiden G-ruppen der 
Punkte, in welchen q und s die 
Tangenten r, p' und t des 
Kegelschnittes treffen, sind pro- 
jectivisch (Nr. 113), also sind 
die beiden Strahlenbüschel a 
und pa'p'b'^ welche diese Punkte 
aus S projiciren, ebenfalls pro- 
j ectivisch. Darum, sind (Nr. 38) 
die Gruppen pbp' a und p'b'pa' 
proj ectivisch, d. h. (Nr. 94) die 
drei Strahlenpaare 

p p' . a a' . b b' 
bilden eine Involution. 

Der correlative Satz des Lehr- 
satzes von Desargues heisst 
also: 



'") Loc. cit., S. 171, 176. 



158 



Elemente der prqjectiviselien Geometrie. 



Eine beliebige Transver- 
sale schneidet einen Kegel- 
schnitt und die Gegensei- 
ten eines eingeschriebenen 
Vierecks in drei Paaren 
conjngirter Punkte einer 
Involution. 



144. Dieser Lehrsatz kann 
ebenso wie derjenige von Pascal 
(Nr, 117, rechts) dazu dienen, 
punktweise den Kegelschnitt zu 
construiren, von welchem fünf 
Punkte PQRST gegeben sind 
(Fig. 112). Ziehen wir nämlich 
durch P eine beliebige Trans- 
versale s, welche QT, RS, QR 
und T S in A, A', B und B' 
schneidet; construiren dann den 
Punkt P', so dass er dem Punkte 
P in der durch die Punktenpaare 
AA' und BB' (Nr. 102) be- 
stimmten Involution entspricht, 
so wird P' ein weiterer Punkt 
des gesuchten Kegelschnittes 
sein. 

145. Das Paar C C derjeni- 
gen Punkte, in welchen die Trans- 
versale die Diagonalen Q S und 
ET des eingeschriebenen Vier- 
ecks schneidet, gehört ebenfalls 
(Nr. 101, links) der durch die 
Punkte A A', B B' bestimmten 
Involution an. 

Da überdies die Punkte A A', 
B B' zur Bestimmung der Invo- 
lution ausreichen, so sind die 
Punkte P und P' conjugirte 



Die von einem beliebigen 
Punkte an einen Kegel- 
schnitt gelegten Tangen- 
ten und die von demselben 
Punkte an die Gegenecken 
eines umschriebenen Vier- 
seits gezogenen Geraden 
bilden drei Paare conju- 
girter Strahlen einer In- 
volution. 

Dieser Lehrsatz kann ebenso 
wie derjenige des Brian chon 
(Nr. 117, links) dazu dienen, 
mit Hülfe von Tangenten den 
Kegelschnitt zu construiren, von 
welchem fünf Tangenten pqrst 
(Pig. 113) gegeben sind. Neh- 
men wir nämlich auf p einen 
beliebigen Punkt S und ziehen 
aus diesem Punkte die Strahlen 
a, a', b und b' nach den Punkten 
q t, r s, q r, t s ; construiren wir 
dann (Nr. 102) den p entspre- 
chenden Strahl p' der Involution,, 
welche durch die Strahlenpaare 
aa', bb' bestimmt ist, so wird 
y' eine weitere Tangente des. 
gesuchten Kegelschnittes sein. 

Das Paar cc' derjenigen Strah- 
len, welche aus S die Schnitt- 
punkte q s und r t der Gegen- 
seiten des umschriebenen Vier- 
seits projiciren, gehört ebenfalls 
(Nr. 101, rechts) der durch die 
Strahlen a a\ b b' bestimmten 
Involution an. 

Da überdies die Strahlen a a\. 
b b' zur Bestimmung der Invo- 
lution ausreichen, so sind die^ 
Strahlen p und p' conjugirte^ 



§ 17, Lehrsatz 

Punkte dieser Involution für 
jeden Kegelsclmitt, der dem 
Viereck Q E S T umschrieben 
wird. Oder: 

Alle demselben Viereck 
umschriebenen Kegel- 
schnitte werden von einer 
beliebigen Transversalen 
in conjugirten Punkten 
einer Involution geschnit- 
ten. 

Hat die Involution Doppel- 
punkte, so vertritt jeder zwei 
zusammenfallende (oder unend- 
lich nahe liegende) Durchschnitte 
P und P', d. h. er ist der Be- 
rührungspunkt der Transversa- 
len und eines dem Viereck um- 
schriebenen Kegelschnittes. 

Es gibt also entweder zwei 
Kegelschnitte, welche durch vier 
gegebene Punkte QU ST gehen 
und eine gegebene Gerade s (die 
nicht durch einen dieser Punkte 
geht) berühren oder es gibt 
keinen Kegelschnitt, der diese 
Bedingungen erfüllt. 

146. Sind von den sechs Punk- 
ten AA', BB', PP' einer Invo- 
lution fünf gegeben, so ist der 
sechste bestimmt (Nr. 102). Neh- 
men wir darum in Pig. 112 an, 
es sei der Kegelschnitt gegeben 
und das Viereck in der Vv^eise 
veränderlich, dass die Punkte 
AA'Bfest bleiben, so ist auch der 
Punkt B' unveränderlich, oder: 

Verändert sich ein Vier- 
eck, das immer einem 



von Desargues. ^59^ 

Strahlen dieser Involution für 
jeden Kegelschnitt, der dem 
Vierseit qr s t eingeschrieben 
wird. Oder: 

Die Tangentenpaare, die 
von irgend einem Punkte 
aus an diejenigen Kegel- 
schnitte gezogen werden,, 
welche demselben Vierseit 
eingeschrieben sind, bil- 
den eine Involution. 

Hat die Involution Doppel- 
strahlen so vertritt jeder zwei 
zusammenfallende (oder unend- 
lich nahe liegende) Tangenten 
p und p', d. h. er ist in S Tan- 
gente eines dem Vierseit einge- 
schriebenen Kegelschnittes. 

Es gibt also entweder zwei 
Kegelschnitte, welche vier ge- 
gebene Greraden qrst berühren 
und durch einen gegebenen 
Punkt S gehen (der auf keiner 
der gegebenen Geraden liegt) 
oder es gibt keinen Kegel» 
schnitt, der diese Bedingungen 
erfüllt. 

Sind von den sechs Strahlen 
a a\ b b', p y' einer Involution 
fünf gegeben, so ist der sechste 
bestimmt (Nr. 102). Nehmen wir 
darum in Pig. 113 an, es sei der 
Kegelschnitt gegeben und das- 
Vierseit in der Weise veränder- 
lich, dass die Strahlen aa'b fest 
bleiben, so ist auch der Strahl 
// unveränderlich, oder: 

Verändert sich ein Vier- 
seit, das immer einem. 



160 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



Kegelschnitt eingesclirie- 
ben bleibt, der Art, dass 
sich drei seiner Seiten um 
drei feste Punkte einer Gre- 
raden drehen, so dreht sich 
auch die vierte Seite um 
einen vierten Punkt der- 
selben Geraden. 



Kegelschnitt umschrieben 
bleibt, der Art, dass drei 
seiner Eckpunkte auf drei 
festen, von einem Punkte 
ausgehenden, Geraden hin- 
gleiten, so gleitet auch der 
vierte Eckpunkt auf einer 
vierten durch denselben 
Punkt gehenden Geraden 
fort. 



Derselbe Lehrsatz (links) gilt für irgend ein eingeschrie- 
benes Polygon mit gerader Seitenzahl. Nehmen wir an, das 
eingeschriebene Polygon habe 2 n Seiten und es verändere 
sich der Art, dass seine 2 n — 1 ersten Seiten je durch 
eben so viele feste Punkte einer Geraden s gehen (Fig. 114). 
Ziehen wir aus dem ersten Eckpunkte Diagonalen nach dem 
vierten, sechsten, achten,... 2 (n — 1)^^"' so wird das Po- 
rig. 'II 4. 




2 7 



lygon in n~ 1 einfache Vierecke getheilt. Im ersten dieser 
A^ierecke gehen die drei ersten Seiten (welche die drei ersten 
Seiten des Polygons sind) durch drei feste Punkte von s, also 
wird die vierte Seite (welche die erste Diagonale des Poly- 
gons ist) durch einen festen Punkt von s gehen. Im zweiten 
Viereck gehen die drei ersten Seiten (die erste Diagonale, 
die vierte und fünfte Seite des Polygons) durch drei feste 
Punkte von s, also wird auch die vierte Seite (zweite Dia- 
gonale des Polygons) durch einen festen Punkt von s gehen. 
Fährt man in derselben Weise fort, so kommt man zum letz- 
ten Viereck und findet, dass die vierte Seite dieses Vierecks 



§ 17. Lehrsatz von Desargnes. 



161 



oder die 2 n^^ Seite des Polygons ebenfalls durch einen festen 
Punkt von s geht. Oder: 

Verändert sich ein Polygon von gerader Seiten- 
zahl 2?i, das einem gegebenen Kegelschnitt einge- 
schriebenbleibt, der Art, dass alle Seiten, eine aus- 
genommen, durch eben so viele feste Punkte einer 
Geraden gehen, so wird auch die letzte Seite durch 
einen festen Punkt derselben Geraden gehen 

Kann man aus dem festen Punkt, um welchen sich die 
letzte Seite dreht, Tangenten an den Kegelschnitt ziehen, 
und betrachtet man jede derselben als eine Lage der letzten 
Seite, so werden die zwei auf dieser Seite liegenden Eck- 
punkte zusammenfallen und das Polygon hat nur noch 2 n — 1 
Eckpunkte. Der Berührungspunkt jeder der beiden Tangenten 
wird also ein Eckpunkt des dem Kegelschnitt eingeschriebenen 
Vielecks von 2 w — 1 Seiten sein , dessen Seiten durch die 
2 n — 1 gegebenen Punkte einer Geraden gehen. 

Fig. 115. 




Der Studirende möge übungsweise den correlativen Lehr- 
satz beweisen: 

Verändert sich ein Vieleck von gerader Seiten- 



Poncelel, loa cit., Nr. 513. 

L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie,. 



11 



162 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



zahl 2 das immer einem gegebenen Kegelschnitt 
umschrieben bleibt, der Art, dass s eine E ckpiinkte, 
einer ausgenommen, auf eben so vielen von dem- 
selben Centrum ausgehenden Strahlen ' hingleiten,, 
so gleitet auch der letzte Eckpunkt auf einem 
festen Strahle fort, der von diesem Centrum ausgeht 
(Fig. 115). 

Schneidet dieser letzte Strahl den Kegelschnitt in zwei 
Punkten und legt man in jedem derselben die Tangente, so 
wird eine solche zur Seite eines umschriebenen Polygons von 
2n — 1 Seiten, dessen Eckpunkte auf den 2 7i — 1 gegebenen 
Geraden liegen. 



147. Nehmen wir an, dass die 
Punkte S und T auf dem Kegel- 
schnitt einander unendlich nahe 
liegen (Fig. 116) oder dass die 
Gerade S T zur Tangente in S 
werde, so geht das Viereck 
Q R S T in das eingeschriebene 
Dreieck QRS über und aus dem 
Lehrsatze von Desargues folgt: 

Fig. '1'16. 




Ist ein Dreieck QRS 
einem Kegelschnitt einge- 
schrieben und schneidet 
eine Transversale .s die 



Nehmen wir an, dass die Tan- 
genten -s und t unendlich nahe 
zusammenrücken (Mg. 117) oder 
dass s im Punkte s t Tangente 
an den Kegelschnitt werde, so- 
geht das Vierseit cj r s t in ein 
umschriebenes Dreiseit grs über 
und der Lehrsatz Nr. 144 (rechts) 
h eis st dann: 

Fia. 'M7. 




Ist ein Dreiseit qrs einem; 
Kegelschnitt umschrieben 
und zieht man aus einem 
Punkte S die Tangenten j) 



§ 17. Lehrsatz 



von Desargues. 



163 



Curve in zwei Punkten P 
"and P', zwei Seiten des Drei- 
ecks in den Punkten A und 
A', die dritte Seite und die 
Tangente im gegenüberlie- 
genden Eckpunkt in den 
Punkten B und B', so bil- 
den diese drei Punkten- 
paare eine Involution. 

148. Mit diesem Lehrsätze con- 
struirt man in S eine Tangente 
an den Kegelschnitt, von dem 
fünf Punkte P P' Q R S gegeben 
sind. Sind nämlich A, A' und 
B die Schnittpunkte der Geraden 
PP' und der Dreieckseiten QS, 
ßS und QR, so construiren wir 
(Nr. 102) zu B den conjugirten 
Punkt B' der Involution, welche 
durch die beiden Paare AA', 
P P' bestimmt ist ; B' S wird die 
verlangte Tangente sein. 

149. Nehmen wir jetzt an, 
dass auch die Punkte Q und E, 
(Fig. 118) auf dem Kegelschnitt 
einander unendlich nahe rücken, 
d. h. dass Qß eine Tangente in 
Q werde, so haben wir statt 
der Seiten des eingeschriebenen 
Vierecks Q E S T die beiden 
Tangenten in den Punkten Q 
und S und die Berührungssehne 
QS*). 



und an den Kegelschnitt, 
dann die Geraden a und a' 
nach zwei Eckp unkten des 
Dreiseits und endlich die 
Geraden h und h' nach dem 
dritten Eckpunkt und dem 
Berührungspunkt der 
gegenüberliegenden Seite, 
so bilden diese drei Strah- 
lenpaare eine Involution. 

Mit diesem Lehrsatze construirt 
man den Berührungspunkt der 
Tangente s an den Kegelschnitt, 
von dem die fünf Tangenten 
p p' qrs gegeben sind. Sind näm- 
lich a, a' und b die Strahlen, 
welche die Punkte qs, rs, qr 
aus dem Punkte jjp' projiciren, 
so construiren wir (Nr. 102) zu 
b den conjugirten Strahl b' der 
Involution, welche durch die bei- 
den Paare a a\ p p' bestimmt 
ist; b' s wird der verlangte Be- 
rührungspunkt sein. 

Nehmen wir jetzt an, dass 
auch die Tangenten q und r 
einander unendlich nahe rücken, 
d, h. dass q im Punkte q r Tan- 
gente an den Kegelschnitt sei, 
so haben wir statt der Eck- 
punkte des umschriebenen Vier- 
I seitsqrsi die Berührungspunkte 
der Tangenten q und s und ihren 
Schnittpunkt q s (Fig. 119). 



'"■) D. h. die Verbindungslinie 
genteil. 



der Berührungspunkte beider Tan- 



164 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Da jetzt die Geraden QT und 
RS in eine einzige Grerade QS 
zusammenfallen, so werden auch 
die Punkte A und A' in einen 
einzigen Punkt A zusammen- 
fallen, welcher folglich eines der 
Doppelelemente der Involution 
sein wird, die durch die Paare 
PP' und BB' bestimmt ist. Der 
Lehrsatz von Desargues wird 
also zum folgenden: 



ing. 118. 




Schneidet eine Transver- 
sale einen Kegelschnitt in 
zwei Punkten P und P', 
zwei seiner Tangenten in 
zwei andern Punkten B 
undB' und die Berührungs- 
sehne in A, so ist dieser 
letztere Punkt ein Doppel- 
punkt der Involution, 
welche durch die Paare PP' 
und ^B' bestimmt ist; oder: 



Berührt ein veränderli- 
cher Kegelschnitt zwei ge- 
gebene Geraden und geht 



Da jetzt die Punkte q l und 
r s in einen einzigen Punkt q s 
zusammenfallen, so werden auch 
die Strahlen a und a' in einen ein- 
zigen Strahl a zusammenfallen, 
welcher folglich eines der Dop- 
pelelemente der Involution sein 
wird, die durch die Paare 
und b b' bestimmt ist. A¥ir schlies- 
scH also aus dem Lehrsatze 
Nr. 144 (rechts): 

Flg. 119. 




Zieht man aus einem 
Punkte S die Tangenten p 
und p' an einen Kegel- 
schnitt und projicirt man 
aus demselben Punkte S 
zwei Punkte der Curve und 
den Schnittpunkt der Tan- 
genten in diesen beiden 
Punkten mit Hülfe der 
Strahlen 6, h' und «, so ist 
die Gerade a ein Doppel- 
strahl der Involution, 
welche durch die Paare pp' 
und bh' bestimmt ist; oder: 

Berührt ein veränderli- 
cher Kegelschnitt, der 
durch zwei gegebene 



§ 17. Lehrsatz von Desargues. 



165 



er durch zwei gegebene 
Punkte PP', so geht die Be- 
rührungssehne durch einen 
festen Punkt von PP'. 



Verändern sich gleichzeitig mit 
dem Kegelschnitt auch die Tan- 
genten Q U und S U , während 
die Punkte P P' B B' fest blei- 
ben, so muss die Berührungs- 
sehne immer durch einen der 
Doppelpunkte der durch die 
Paare P P' und B B' bestimm- 
ten Involution gehen. Sind also 
vier Punkte P, P', B, B' einer 
Geraden gegeben und legt man 
an einen durch P und P' gehen- 
den Kegelschnitt die zwei Tan- 
gentenpaare, die von B und 
B' ausgehen, combinirt man 
hierauf jede von B ausgehende 
Tangente mit jeder von B' aus- 
gehenden, so erhält man vier 
Berührungssehnen, welche sich 
paarweise in den Doppelpunk- 
ten der Involution P P' . B B' 
schneiden *). 



150. Hieraus ergibt sich eine 
Oonstruction der Tangente in S 
an einen Kegelschnitt, der durch 
vier Punkte P, P', Q und S 
und die Tangente in Q bestimmt 
ist (Fig. 118). Sind nämlich A 
und B die Schnittpunkte von 
P P' mit Q S und der gegebenen 



Punkte geht, zwei gegebene 
Greraden |:) und p', so schnei- 
den sich die Tangenten in 
diesen Punkten, auf einer 
durch p p' gehenden festen 
Geraden. 

Verändern sich gleichzeitig mit 
dem Kegelschnitt auch die Be- 
rührungspunkte von q und 5, 
während die Geraden p b b' 
fest bleiben, so muss der Schnitt- 
punkt q 8 immer auf einen der 
Doppelstrahlen der durch die 
Paare p p' und hb'. bestimmten 
Involution fallen. Sind also vier 
Strahlen p, p\ 6, h' eines Bü- 
schels gegeben und construirt 
man einen p und p' berührenden 
Kegelschnitt sowie die beiden 
Tangentenpaare an die Curve in 
denjenigen Punkten, wo sie die 
Geraden h und h' schneidet, com- 
binirt hierauf die Tangente in 
jedem der beiden Schnittpunkte 
von b mit der Tangente in jedem 
der beiden Schnittpunkte von 6', 
so erhält man vier Schnitt- 
punkte, welche sich paarweise, 
auf den Doppelstrahlen der In- 
volution p p' . b b' befinden. 

Hieraus ergibt sich eine Oon- 
struction des Berührungspunktes 
der Tangente s an den durch die 
vier Tangenten p, p\ g, s und 
den Berührungspunkt von g be- 
stimmten Kegelschnitt (Fig. 119) . 
Sind nämlich a und b diejenigen 
Strahlen, welche aus pp' bezüg- 



•) Brianchon, loc, cit. , S. 20, 21. 



166 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Tangente, so construiren wir 
den zu B conjugirten Punkt B' 
in der durch das Paar P P' und 
den Doppelpunkt A bestimmten 
Involution. Die Gerade S B' 
wird die gesuchte Tangente sein. 



lieh den Punkt q s und den ge- 
gebenen Berührungspunkt pro- 
jiciren, so construiren wir den 
zu b conjugirten Strahl b' in der 
durch das Paar jj p' und den 
Doppelstrahl a bestimmten In- 
volution. Der gesuchte Punkt 
wird s b' sein. 



151. Setzen wir in dem vorhergehenden Lehrsatz (Nr. 149) 
voraus, es sei der Kegelschnitt eine Hyperbel (Fig. 120) und sind 
die gegebenen Tangenten die Asymptoten, so ist die ganze Sehne 
Q, S in unendlicher Ferne. 

Die Involution (P P' . B B' . . .) hat also einen Doppelpunkt 
in unendlicher Ferne, das andere Doppelelement (Nr. 52 und 96) 
ist der gemeinsame Mittelpunkt der Segmente P P', BB',.. Oder: 

Fig. 120. 




Schneidet man eine Hyperbel und ihre Asymptoten 
durch eine Transversale, so haben die b eiden Segmente 
derselben, welche von der Ourve und den Asymptoten 
herausgeschnitten, werden, denselben Mittelpunkt. 

Daraus folgt, dass 

PB = B'P' und PB' = BP' *) 

und hieraus eine Regel für die Oonstruction einer Hyperbel, von 
welcher beide Asymptoten und ein Punkt gegeben sind *i). 

Nehmen wir in dem Lehrsatz 
Nr. 149 an, die Tangenten /? 
und j)' seien unendlich nahe bei 



152. Nehmen wir jetzt im Lehr- 
satze Nr. 149 an, die Punkte P 
und P' seien unendlich nahe bei 



") Apoll onius , loc. cit., II. 8, 16. 
*i) Apoll onius, loc, cit. , II. 4. 



§ 17. Lehrsatz von Desargues. 



167 



^einander, d. h. die Transversale 
sei eine Tangente an den Kegel- 
schnitt (Fig. 121), dann ist der 
BerühruDgspiinkt P der zweite 
Doppelpunkt der durch das 



Fig. m. 




Paar B B' und den Doppelpunkt 
A bestimmten Involution; also 
sind die vier Punkte P, A, B, 
B' harmonisch (96); oder: 

In einem umschriebenen 
Dreieck (UBB') wird jede 
Seite (Bß') durch ihren Be- 
rührungspunkt (P) und die 
Verbindungslinie der Be- 
rührungspunkte (Q und S) 
der beiden anderen Seiten 
harmonisch getheilt. 



Man kann aus A eine zweite 
Tangente ziehen; ihr Berüh- 
rungspunkt sei 0. Die harmo- 
nischen Punkte P, A, B, B' sind: 
der Berührungspunkt der Tan- 
gente AB und die Schnittpunkte 
dieser Tangente mit den drei 
anderen Tangenten 0 A, QB und 
SB', also (Nr. 113) werden die 
vier Tangenten AB, 0 A , Q B 



einander., d. h. der Punkt S liege 
auf dem Kegelschnitt selbst 
(Fig. 122), dann ist die Tan- 
gente in S der zweite Doppel- 
strahl der durch das Paar b h' 

Fig. m. 




und den Doppelstrahl a bestimm- 
ten Involution; also sind die 
vier Strahlen o, 6, b' harmo- 
nisch (Nr. 96); oder: 

In einem eingeschriebe- 
nen Dreieck {iibb') wird je- 
der Winkel {b b') durch die 
Tangente pin seinemSchei- 
tel und die Verbindungs- 
linie dieses Scheitels mit 
dem Schnittpunkt der Tan- 
genten {fi und s) in den bei- 
den anderen Eckpunkten 
harmonisch getheilt. 

Die Gerade a trifft den Kegel- 
schnitt in einem zweiten Punkte ; 
die Tangente in diesem Punkte 
sei 0. Die harmonischen Ge- 
raden p, a, 6, b' sind: die Tan- 
gente in S und die Verbindungs- 
linien von S mit drei anderen 
Punkten des Kegelschnittes (Be- 
rührungspunkte von 0, q und s) : 
also (Nr. 113) werden diese vier 



168 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



und S B' von jeder beliebigen 
anderen Tangente in vier har- 
moniscben Punkten geschnitten, 
d. h. diese vier Tangenten sind 
harmonisch (Nr. III). Da zu- 
gleich die Verbindungslinie QS 
der Berührungspunkte der con- 
jugirten Tangenten QB und SB' 
diirch den Punkt A geht, so 
haben wir den Satz: 

Geht die Berührungs- 
sehne zweier Tangenten 
eines Kegelschnittes 
durch den Schnittpunkt 
von zwei anderen Tangen- 
ten, so werden die ersteren 
durch die beiden letzteren 
harmonisch getrennt. 

Und umgekehrt: 

Sind vier Tangenten an 
einen Kegelschnitt harmo- 
nisch, so geht die Berüh- 
rungssehne von zwei con- 
jugirten Tangenten durch 
den Schnittpunkt der bei- 
den anderen. 



Punkte aus jedem andern Punkte 
des Kegelschnittes durch vier 
harmonische Strahlen projicirt,, 
d. h. es sind vier harmonische 
Punkte (Nr. 109) des Kegel- 
schnittes. Da zugleich der 
Schnittpunkt der Tangenten (/ 
und s auf der Berührungssehne 
der Tangenten p und o liegt, so 
haben wir den Satz: 

Liegt der Schnittpunkt 
der Taugenten an zwei 
Punkte eines Kegelschnit- 
tes auf der Verbindungs- 
linie von zwei anderen 
Punkten desselben, so sind 
die beiden ersten Punkte 
durch die beiden letzteren 
harmonisch getrennt. 
Und umgekehrt: 
Sind vier Punkte eines 
Kegelschnittes harmo- 
nisch, so liegt der Schnitt- 
punkt der Tangenten an 
zwei conjugirte Punkte auf 
der Verbindungslinie der 
beiden anderen. 



153. Diese beiden correlativen Sätze können vermöge der 
schon (Nr. 112 und 113) auseinandergesetzten Eigenschaft, dass 
an vier harmonischen Punkten eines Kegelschnittes auch vier 
harmonische Tangenten liegen und umgekehrt, in einen einzigen 
Satz vereinigt werden : 

Schneiden sich zwei Tangenten eines Kegelschnittes, 
in einem Punkte der Berührungssehne von zwei anderen 
Tangenten, so liegt auch umgekehrt der Schnittpunkt 
der letzteren auf der Berührungssehne der ersteren 
und die vier Tangenten (sowie ihre Berührungspunkte) 
bilden eine harmonische Grruppe *). 

De la Hire, loc. cit., Buch I, S. 30. ~ Stelner, loc. cit., S. 159. 

§ 43. 



§ 17. Lehrsatz von Desorgues. 



169 



In der Fig. 121 geht QS durch A, den Schnittpunkt von 
PA und 0 A, und ebenso OP durch U, den Schnittpunkt von 
QB imd SB'; so wie die Geraden U (Q, S, P, A) harmonisch 
sind, so sind es auch die Geraden A (0, P, Q, U). 

In der Pig. 122 sehen wir : ebenso wie der Punkt q s auf a, 
der Berührungssehne von o und p, liegt, so ist auch der Punkt 
op auf der Geraden tt, welche die Berührungspunkte von q und 
s verbindet;, und ebenso wie die vier Punkte u (q, p, a) har- 
monisch sind, so sind es auch die vier Punkte a (o, 2', q, u). 

154. Beispiel. Nehmen wir an, der Kegelschnitt sei eine 
Hyperbel (Fig. 123) • die Asymptoten sind zwei Tangenten, deren 

Fig. 123. 



Berührungssehne Q S die unendlich ferne Gerade ist. Folglich 
liegen die Berührungspunkte von zwei parallelen Tangenten mit 
dem Schnittpunkt U der Asymptoten in derselben Geraden; und 
umgekehrt, zieht man durch U eine Transversale, welche die 
Ourve in zwei Punkten P und 0 schneidet, so sind die Tangenten 
in diesen beiden Punkten parallel. In der Mitte zwischen den 
Berührungspunkten P und 0 liegt der Punkt ü, weil im Allge- 
meinen (Fig. 121) die Gruppe U V P 0 harmonisch ist und hier 
V unendlich ferne liegt. 

Eine beliebige Tangente schneidet die beiden Asymptoten in 
zwei Punkten B und B', welche durch den Berührungspunkt P 
und die Berührungssehne der Asymptoten harmonisch getrennt 
sind; diese letztere aber ist die unendlich ferne Gerade, also ist 
P die Mitte von BB' oder: 

Der zwischen den Asymptoten liegende Theil einer 
Tangente an die Hyperbel wird durch den Berührungs- 
punkt halbirt 

"} ApoUonius, ioc. cit. , II. 319. 




170 



Elemente der projectivi sehen Geometrie. 



Dieser Satz ist ein besonderer Fall von demjenigen in Nr. 151. 

155. Da nach dem Satze von Desargues (Nr. 143) die 
Pnnktenpaare P P', A A', BB' (Fig. 112) eine Involution bilden, 
so haben wir die gleichen Doppelverhältnisse (P P' A B) = 
(P' P A' B') oder 

PA P B _ P^ A^ P'B'_P^ P A^ 
P' A * 'TB ~~ PÄ^ • PB^ WW ' 

Nun aber ist P A : P' A gleich dem Verhältniss der Entfer- 
nungen (in einer beliebig angenommenen Richtung gemessen) der 
Punkte P und P' von der Geraden QT; die anderen Verhältnisse 
in der obigen Gleichung haben eine entsprechende Bedeutung; 
man kann also schreiben: 

(A)_ (B) (B-) , (AQ 
(A)' ■ (B)' ~ (B7 * (A7 

oder 

(A) . (AQ (A)' . (A7 

(B) . (B') ~ (B)' . (B')" 

worin (A), (A'), (B), (B') die Entfernungen (senkrechten oder 
schiefen unter gegebenen Winkeln) des Punktes P von den Seiten 
QT, ES, QR, ST des eingeschriebenen Vierecks Q R S T und 
(A)', (A')', (B)', (B')' die Entfernungen (unter beziehungsweise 
gleichen Winkeln) des Punktes P' von denselben Seiten bedeu- 
ten. Die obige Gleichung sagt also aus, dass das Verhältniss 

(A) . (A Q 

(B) . (B') 

für jeden Punkt P des Kegelschnittes constant ist; oder es ist 
der Satz bewiesen: 

Ist ein Viereck einem Kegelschnitt eingeschrieben, 
so steht das Product der Entfernungen eines beliebi- 
gen Punktes der Curve von zwei Gegenseiten zu dem 
Product der Entfernungen desselben Punktes von den 
zwei anderen Gegenseiten in einem constanten Ver- 
hältniss *). 

156. In eine ähnliche Form lässt sich auch der Satz (Nr. 143, 

•'j Chasles nennt diesen Satz den Lehrsatz des Pappus, weil er 
der berühmten Aufgabe; „problema ad quatuor lineas" dieses alten 
Geometers entspricht. Apergu historique, S. 37 und 338. 



§ 18. Entsprechend gemeinschaftl. Elemente u. Doppelelemente. 171 

rechts) bringen, der eine Folgerung desjenigen von Desargues ist. 
Bezeichnen wir die Eckpunkte qr^ qt^ st und sr des umschrie- 
benen Vierseits q^^st mit T, , Rj (Fig. 113), die Schnitt- 
punkte der Tangenten p und p' mit der Seite q mit P und P' 
und die Schnittpunkte derselben Tangenten mit der Gegenseite 
s mit Pi und P/. Nach dem Lehrsatze 113, II sind die Doppel- 
verhältnisse (RTPP') und (Rj Tj P| P/) gleich, man hat also: 

RP RP ' R,^ R^ P/ 
TP • T P' ~ T^P, ■ T^ P/ 

oder 

R P . T^ Pj RP\ Tj P/ 
TP . Ri P^ TP' . Ri P/' 

Nun aber ist R P : T P gleich dem Verhältniss der Entfer- 
nungen (in derselben, beliebigen Richtung genommen) der Punkte 
R und T von der Geraden p; gerade so ist Tj P^ : R^ P-j gleich 
dem ,Verhältniss der Entfernungen der Punkte T^ und R; von 
derselben Geraden j^. Obige Gleichung drückt also aus, dass 
das Verhältniss 

R P . T^ P^ 

T p . R, p; 

für jede Tangente p constant ist; oder: 

Ist ein Vierseit einem Kegelschnitt umschrieben, 
so steht das Product der Entfernungen zweier Gegen- 
ecken von einer beliebigen Tangente zu dem Product 
der Entfernungen der beiden anderen Gegenecken von 
derselben Tangente in einem constanten Verhält- 
niss *). 

§ 18. Entspre eilend gemeinscbaftliclie Elemente und 

Boppelelemente. 

157. Zwei projectivisclie Strahlenbüschel, concentrische 
oder nicht concentrische, seien gegeben; durch ihren ge- 
meinsamen Mittelpunkt oder durch ihre Centreu 0 und 
0' legen wir einen Kegelschnitt oder einen Kreis, der 
die Strahlen des ersten Büschels in A, B, C... und die 
Strahlen des zweiten Büschels in A', B', C, . . . schneidet. 



■"'} Chasles, Sect. coniques, Nr. 26. 



172 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



Projiciren wir diese beiden Reihen von Punkten aus zwei 
neuen Punkten 0^ und 0/ (oder aus demselben Punkt) des 
Kegelschnittes, so sind die beiden i3rojicirenden Büschel 
0] (ABC . . .) und 0/ (A'B'C. . .) (Nr. 113) bezüglich projec- 
tivisch zu den beiden gegebenen Büscheln 0 (ABC...) und 
0' (A'B'C. ..), folglich sind sie auch zu einander projec- 
ti vis ch. 

Die beiden Reihen von Punkten ABC... und 
A'B'C. werden pr oj ectivische Reihen genannt*). 

1. Projiciren wir jetzt diese beiden Reihen (Fig. 124) aus 
zwei ihrer entsprechenden Punkte, z. B. A' und A. Die pro- 
jicirenden Büschel 



werden projectivisch und da sie den entsprechend gemein- 
schaftlichen Strahl AA' haben, auch perspectivisch sein. 



Folglich (62) werden sich die Paare der entsprechenden Strah- 
len auf einer festen Geraden schneiden, oder die Schnitt- 
punkte AB' und A'B, AC und A'C, AD' und A'D . . . werden 
auf derselben Geraden s liegen. Verbindet man einen belie- 
bigen Punkt von s mit den Punkten A' und A, so erhält man 
zwei Geraden, welche neuerdings den Kegelschnitt in zwei 
entsprechenden Punkten der Reihen AB CD... und A'B' CD'... 
treffen. 

Nimmt man statt A' und A zwei andere entsprechende 
Punkte, z. B. B' und B als Projectionscentren, so kommt 
man auf dieselbe Gerade s. Da nämlich AB'CA'BC ein 



A' (A, B, C, . . .) und A (A', B', C, . . .) 



Fig. '124. 




'"■) Bellavitis, Saggio di Geometria derivata (Nuovi Saggi dell'' 
Accademia di Padova, vol. IV, 1838, S. 270 Anmerkung). 



§ 18. Entsprechend genieinschaft]. Elemente u. Doppel elemente. 173 

eingeschriebenes Sechseck ist^ so muss nach dem Pascarschen 
Satze der Schnittpunkt von B'C und BC auf derjenigen Ge- 
raden liegen, welche durch den Schnittpunkt von A'B und 
AB' und den Schnittpunkt von A'C und AC geht (117 rechts). 

II. Jeder Schnittpunkt M des Kegelschnittes und der 
Geraden s ist ein entsprechend gemeinschaftlicher Punkt der 
beiden Pveihen ABC... und A'B'C. .. Es treffen nämlich 



die Geraden M A' und MA den Kegelschnitt in demselben 
Punkte M oder zwei entsprechende Punkte der beiden pro- 
jectivischen Reihen sind in M vereinigt. Daraus folgt, dass 
die beiden Reihen entweder zwei entsprechend ge- 
meinschaftliche Punkte haben, oder nur einen oder 
gar keinen, je nachdem die Gerade s den Kegel- 
schnitt in zwei Punkten (Fig. 124) trifft, oder ihn 



Fig. 125. 



Fig. 126. 




Fig. 1^7. 




berührt (Fig. 126) oder keinen Punkt mit ihm gemein 
hat (Fig. 127). 



174 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



III. Aus dem Vorhergehenden folgt, dass zwei projec- 
tivische Keihen von Punkten eines Kegelschnittes 
durch drei Paare entsprechender Punkte (A, A'), 
(B, B'), (C, C) bestimmt sind. Um andere Paare entsprechen- 
der Punkte und die entsprechend gemeinschaftlichen Punkte, 
^Yenn es solche hat, zu finden, hat man nur die Gerade s zu 
construiren, welche durch die Schnittpunkte der Paare der 
Gegenseiten des eingeschriebenen Sechsecks A B' C A' B C 
(Fig. 90, 124, 125) geht. Die entsprechend gemeinschaftlichen 
Punkte sind die Schnittpunkte von s und dem Kegelschnitt; 
irgend zwei entsprechende Punkte D und D' liegen so, dass 
sich die Geraden A' D und A D' (oder B' D und B D', oder 
C D und C D') auf s schneiden *). 

158. Statt der proj ectivischen Reihen von Kegel- 
schnittpunkten kann man anch proj ectivische Reihen von 
Tangenten betrachten. Sind o und o' zwei gerade projectivische 
Punktreihen (getrennte oder auf demselben Träger), so beschrei- 
ben wir einen Kegelschnitt, der o und o' berührt und ziehen von 
jedem Paar entsprechender Punkte A und A', B und B', C und 
G', . . . die Tangenten a und a', b und 6', c und c' . . . an den 
Kegelschnitt. Schneiden wir hierauf diese beiden Tangenten- 
reihen a b c , . . und a' b' c'. , . bezüglich durch zwei andere Tan- 
genten Oj und o/, so erhalten wir zwei neue Punktreihen, welche 
bezüglich zu den gegebenen Punktreihen (Nr. 113) und folglich 
auch zu einander projectivisch sind. 

Man nennt zwei Reihen von Tangenten an einen Kegelschnitt 
projectivisch, wenn sie von irgend einer anderen Tangente 
an dieselbe Ourve in zwei proj ectivischen Punktreihen geschnitten 
w^erden. 

I. Nehmen wir an, es werde die erste Reihe durch die Tan- 
gente a', die zweite Reihe durch die Tangente a geschnitten. 
Die beiden projectivischen Punktreihen, welche diese Schnitte 
geben, sind perspectivisch, da sie den entsprechend gemeinschaft- 
lichen Punkt aa' haben; also liegen die anderen Paare entspre- 
chender Punkte a' b und a b\ a' c und a c'. . . auf solchen Ge- 
raden, die nach einem festen Punkte S gerichtet sind. Dieser 



Steiner, loc. cit. , S. 174. § 46. III. 



§18, Entsprechend gemeinschaftl. Elemente u. Doppelelemente. 175 

Punkt verändert sich nicht, wenn man zwei andere Tangenten 
b' und b als Transversalen nimmt; denn nach dem Lehrsatze von 
Brianchon müssen sich in dem umschriebenen Sechseck a 6' ca '6 c' 
die Verbindungslinien der Gegenecken a' b und ah', a' c und a c\ 
b' c und hc' in demselben Punkte schneiden (ßr. 117, links). 

II. Kann man aus dem Punkte S Tangenten an den Kegel- 
schnitt legen, so wird jede derselben ein entsprechend ge- 
meinschaftlicher Strahl der beiden projectivischen Reihen 
ab c . . a' h' c' , . . sein. 

III. Zwei projectivische Reihen abc... und a'b'c'... von 
Tangenten an einen Kegelschnitt sind durch drei Paare entspre- 
chender Geraden (a, a'), (6, &'), (c, c') bestimmt. Will raan ein 
anderes Paar entsprechender Geraden und die entsprechend ge- 
meinschaftlichen Geraden, wenn es solche gibt, finden, so hat 
man nur den Schnittpunkt S derjenigen Diagonalen zu construi- 
ren, welche die Paare der Gegenecken des umschriebenen Sechs- 
ecks ab' c a'b c' verbinden. Die entsprechend gemeinschaftlichen 
Geraden sind die von S aus gezogenen Tangenten und irgend 
zwei andere entsprechende Geraden d und d' haben die Eigen- 
schaft, dass die Schnittpunkte a' d und ad' (oder b' d und bd'^ 
oder c' d und c rf' . . .) mit S auf derselben Geraden liegen, 

IV. Eine Reihe von Punkten A, B, C... eines Kegelschnit- 
tes und eine Reihe von Tangenten a, b, c... derselben Curve 
werden projectivisch genannt, wenn der Strahlenbüschel, welcher 
ABO... aus irgend einem Punkte des Kegelschnittes projicirt, 
zu der Punktreihe, welche die Geraden ö, 5, c... auf einer be- 
liebigen Tangente desselben Kegelschnittes bezeichnen, projec- 
tivisch ist. 

Eine Reihe- von Punkten A, B, 0, . . . oder von Tangenten 
ö, c... eines Kegelschnittes wird zu einer Punktreihe oder 
einem Büschel projectivisch genannt, wenn diese Punktreihe oder 
dieser Büschel zu demjenigen Strahlenbüschel, welcher ABO... 
aus einem beliebigen Punkte des Kegelschnittes projicirt, oder zu 
der Punktreihe projectivisch ist, welche durch die Geraden a, 
c . . . auf einer beliebigen Tangente desselben Kegelschnittes be- 
zeichnet wird. 

V. Diese Definitionen angenommen, verstehen wir unter 
Gebilden der ersten Stufe nicht nur gerade Punktreihen 



176 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



und Büschel, sondern aucli die Reihen von Punkten oder 
Tangenten eines Kegelschnittes ; wir können alsdann fol- 
genden allgemeinen Satz aufstellen: Sind zwei Gr e bilde der 
ersten Stufe zu einem dritten (derselben Stufe) projeo- 
tivisch, so sind sie auch zu einander proj ectivisch 
(Vergl. Nr. 35). 

Vf. Aus denselben Definitionen folgt auch, dass der Lehr- 
satz von Nr. 113, III, auf folgende Art ausgedrückt werden kann: 

Irgend eine Reihe von Tangenten an einen Kegel- 
schnitt ist zu der Reihe der Berührungspunkte projec- 
tivis ch. 

VII. Zwei projectivische Reihen von Kegelschnittpunkten 
mögen ABC... und A' B' C . . . , die Tangenten in diesen Punk- 
ten aber ab c . . . und a' h' c' , . , sein. Die Reihen der Tangenten 
übe... und a' b' c' . . . sind bezüglich zu den Reihen der Berüh- 
rungspunkte ABC... und A' B'^C . . . und darum auch zu ein- 
ander proj ectivisch. Auf der Geraden s mögen sich die Linien- 
paare schneiden, die den Paaren AB' und A'B, A 0' und A' C, 
B C und B' C . . . entsprechen und nach dem Punkte S sollen 
alle die Geraden laufen , auf welchen die Punktenpaare a b' und 
6, a c' und a' c, h c' und b' c ^ . . und ihre analogen sich befinden. 
Trifft s den Kegelschnitt in zwei Punkten M und N, so müssen 
diese Punkte entsprechend gemeinschaftliche Punkte der Reihen 
ABO... und A'B' C. , . sein; die Tangenten m und n in M und 
N müssen folglich die entsprechend gemeinschaftlichen Strahlen 
der Reihen ab c . . . und a' b' c' . . . sein , also schneiden sich die 
Geraden m und ?i in S. 

VIIL Aus dem Vorhergehenden folgt, dass man die Betrach- 
tung einer Reihe von Tangenten immer an die Stelle derjenigen 
der Berührungspunkte, und umgekehrt, setzen kann. 

159. Betrachten wir statt zweier beliebigen projectivi- 

■") Die Einführung dieser neuen Gebilde der ersten Stufe gestattet 
nun auch, den bisher angewandten Operationen (Schneiden durch eine 
Gerade und Projiciren aus einem Punkte) noch zwei weitere beizufügen*, 
sie bestehen darin, einen Strahlenbüschel durch einen Kegelschnitt zu 
schneiden, der durch das Centrum des Büschels geht und eine gerade 
Panlctreihe mit Hülfe von Tangenten eines Kegelschnittes, der den Trä- 
ger der Punktreihe berührt, zu projiciren. 



§ 18. Entsprechend gemeinschaftl. Elemente u. Doppelelemente. ^77 



sehen Büschel, wie in Nr. 157, eine Involution von Strahlen, 
die von einem Punkte 0 ausgehen und nehmen an, class diese 
Strahlen von einem durch 0 gehenden Kegelschnitt in den 
Punktenpaaren A A', BB', CC, ... geschnitten werden. Pro- 
jiciren wir diese Punkte aus irgend einem andern Punkte 
0| des Kegelschnittes. Da nach der Voraussetzung (Nr. 93 
und 94) die Büschel 0 (A . A' . B . C . . .) und 0 (A' . A . B' . C. . .) 
projectivisch sind, so sind es auch die Büschel O.) (A . A' . B . C . . .) 
und Ol (A'.A.B\C...) (Nr. 113); folglich bilden die von Oj 
ausgehenden Strahlen ebenfalls Paare einer Involution. Man 
sagt in diesem Falle: 

Die beiden pro j ectivischen Reihen von Kegel- 
schnittpunkten ABC... und A'B'C... bilden eine 
Involution, o der man hat auf dem Kegelschnitte ein e 
von den Paaren conjugirter Punkte AA', B B', CG',., 
gebildete Involution 

I. Hat man, wie oben, eine Involution von Punkten auf 
einer Geraden o mit einem, o berührenden, Kegelschnitt und zieht 
man durch die Paare der conjugirten Punkte die Tangentenpaare 
a a', b b\ c c' . . . an den Kegelschnitt, so werden diese Tangenten 
a ß', h . . . von jeder anderen Tangente an denselben Kegel- 
schnitt in Punkten einer Involution geschnitten; man wird dann 
sagen, dass a a', 6 5', c c' . . . eine Involution von Tangen- 
ten an den Kegelschnitt ist (A'^ergl. Nr. 158). 

IL Wenn mehrere Paare von Tangenten a a', b b', c c', . . . 
an einen Kegelschnitt eine Involution bilden, so bilden auch ihre 
Berührungspunkte AA', BB', CO',... eine Involution, und um- 
gekehrt (158, VI). 

160. Von den sechs beliebigen Punkten A, B, C, A', B', C 
eines Kegelschnittes, die wir in Nr. 157 erhielten, soll nun C un- 
endlich nahe an A und C unendlich nahe an A' liegen. Dann bil- 
den die proj ectivischen Reihen (A B A' ...) und (A' B' A. . .) eine 
Involution (A A' . B B'. . .) und das eingeschriebene Sechseck 
geht in diejenige Figur über, welche von dem eingeschriebenen 



Staudt, Beiträge, Nr. 70 ff. 
L. Cremona^ Elem. d. project. Geometrie. 



12 



178 



Elemente der proj ectivisclien Geometrie. 



Viereck AB'A'B und von den Tangenten in den Gegeneckei-. 
A und A' (Fig. 106, 128) gebildet wird. Daraus folgt- 



Zwei Punktenpaare (AA'), (B B') eines Kegel- 
schnittes bestimmen auf dieser Curve eine Invo- 
lution. 

I. Sollen andere conjugirte Punkte und die Doppei- 
punkte gefunden werden, so hat man nur die Gerade s zu 
construiren, welche den Schnittpunkt von AB' und A' B 
mit dem Schnittpunkt von AB und A'B' verbindet; d. h. 
die Verbindungslinie der Schnittpunkte der Gegenseiten des 
eingeschriebenen Vierecks AB' A'B zu ziehen. Die gemein- 
samen Punkte von s und dem Kegelschnitt sind die Doppel- 
punkte. Zwei conjugirte Punkte C und C liegen so, dass 
sich die Geraden A C und A' C (oder A C und A' C oder 
B C und B' C oder B' C und B C) auf s schneiden. 

II. Die Tangenten in zwei conjugirten Punkten, wie 
AA', BB', ... schneiden sich ebenfalls, immer auf der Ge- 
raden s (Nr. 129). 

III. Da sich die Seitenpaare B C und B' C, G A und 
C A\ A B und A' B' in drei Punkten derselben Geraden s 



Fig. m. 




§ 18. Eütsprecliend gemeinschafÜ. Elemente u. Doppelelemente. 17 9 



schneiden, so sind die Dreiecke ABC und A'B'C collinear 
(14)*), folglich laufen die Greraden A A', BB', C C in einem 
Punkte S zusammen. Die Geraden A A' und B B' genügen, 
um diesen Punkt zu bestimmen; daraus folgt: 

Zwei beliebige conjugirte Punkte der Involu- 
tion liegen stets mit einem festen Punkte S auf 
derselben Geraden. 

Oder auch: 

Jede durchs gehende Sekante de s Kegelschnit- 
tes gibt zwei conjugirte Punkte der Involution. 

IV. Wir haben gesehen, dass wenn s mit dem Kegel- 
schnitte zwei Punkte M und N gemein hat, diese Punkte die 
Doppelpunkte der Involution sind; also treffen sich auch die 
Tangenten in M und N im Punkte S. 

V. Umgekehrt, bilden die Punktenpaare, in welchen ein 
Kegelschnitt von den Strahlen eines Büschels, dessen Centrum 
S kein Punkt der Curve ist, geschnitten wird, eine Involu- 
tion. Denn, sind (A A') und (B B') die Schnittpunkte der 
Curve und zweier Strahlen, so bestimmen diese beiden Paare 
AA' und BB' eine Involution, in welcher stets zwei entspre- 
chende Punkte mit einem festen Punkte, nämlich mit S, in 
gerader Linie sind. Hat die Involution Doppelpunkte, so sind 
es die Durchschnitte des Kegelschnittes mit der Geraden s, 
welche den Schnittpunkt von AB und A' B' und denjenigen 
von A B' und A' B enthält. 

VI. Zieht man aus den verschiedenen Punkten einer Ge- 
raden s die Tangentenpaare aa', bb'^ cc',., an den Kegelschnitt,, 
so bilden diese Geraden eine Involution. Denn, sind AA', BB', 
CO'.,, die Berührungspunkte der Geraden a a\ b b\ c c' . . . und 
S der Schnittpunkt der Sehnen A A' und BB', so liegen in der 
durch die Paare A A' und B B' bestimmten Involution irgend 
zwei andere conjugirte Punkte in derselben Geraden mit S. Der 
Punkt G und sein conjugirter liegen also auf einer durch S gehen- 
den Geraden und die Tangenten in diesen Punkten müssen sick 



") Audi die Dreiecke A' B C und AB'C, AB'C und A' B C, ABC'" 
und A' B' C sind collinear. 



180 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



auf der Geraden sclineiden, welche diircli die Schnittpunkte von 
«a' und geht, d. h. auf s; der conjugirte Punkt zu C ist also 
G\ Damit ist gezeigt, dass AA', BB', CO' Punktenpaare einer 
Involution und dass folglich a a\ h b\ c c' Tangentenpaare einer 
Involution sind (159, II). 

VIL Sind M und N die Doppelpunkte einer Involution A A', 
B B', CO'... von Kegelschnittpunkten, so haben wir gesehen, 
dass AB, A'B', MN drei Geraden sind, die in einem Punkte zu- 
sammenlaufen (ebenso verhält es sich mit A'B, AB', MN). Also 
können wir nach dem Satze Nr. IQO, V schliessen: 

Sind A A' undBB' zwei Paare conj ugirter Elemente 
und MN die Doppelelemente einer Involution, so sind 
MN, AB und A'B' (ebenso MN, AB' und A'B) drei 
Paare conjugirter Elemente einer neuen Involution. 

VIIL Die Gerade s schneidet den Kegelschnitt, wenn 
(188) der Punkt S ausserhalb liegt (Fig. 128), d. h. wenn 
das eine von den beiden Paaren A A und B B' ganz inner- 
halb oder ganz ausserhalb des andern liegt; ist das eine 



Paar durch das andere getrennt (reicht es in das andere 
hinein), so liegt der Punkt S innerhalb und die Gerade s 
trifft den Kegelschnitt gar nicht (Fig. 129). Wir finden also 
neuerdings die Eigenschaft (98): 

Eine Involution hat zwei Doppelelemente, wenn 
von zweiPaaren conjugirter Elemente das eine ganz 
innerhalb oder ganz ausserhalb des andern liegt. 



Fia. 129. 




§ 18, Entsprechend gemeinscliaftl. Elemente u. Doppelelemente. Xgl 

Eine Involution hat keine Doppelelemente, wenn 
von zwei Paaren conjugirter Elemente das eine das 
andere trennt. 

Es kann niemals vorkommen, dass eine eigentliclie In- 
volution ein einziges Doppelelement hat Denn, w^äre s eine 
Tangente an den Kegelschnitt, so v;äre S der Berührungs- 
punkt; in jedem Paar conjugirter Punkte wäre einer mit 
S zusammenfallend (Vergl. Nr. 96). 

161. Sind (M N A B . . .) und (MN A'B'. , .) zwei projec- 
tivische Reihen von Kegelschnittpunkten, so werden M und 
N die entsprechend gemeinschaftlichen Punkte sein und die 
Gerade MN wird den Schnittpunkt von AB' und A'B ent- 
halten (Nr. 157). Nehmen wir jetzt an, dass B' unendlich 
nahe an A rücke und das nämliche auch mit den Punkten 
B und A' geschehe, so dass die Grenzlagen der Geraden AB' 
und A'B die Tangenten in A und A' w^erden (Fig. 130). 
Sind nun ah er M N A A' und MNA'A entsprechende Grup- 



pen von zwei projectivischen Reihen ^ so ist damit auch 
gesagt, dass, wenn man diese Punkte aus einem beliebigen 
Punkte 0 des Kegelschnitts projicirt, die beiden Gruppen pro- 
jicirender Strahlen mnaa' und mna'a projectivisch sind: 
also ist die Gruppe mnaa' harmonisch (65). So gelangen 
wir neuerdings zu dem Lehrsatze von Nr. 152, II (rechts): 

Sind vier Punkte MNAA' eines Kegelschnittes 
harmonisch, so schneiden sich die Tangenten in 




182 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



zwei conjiigirten Punkten, z. B. A und A' auf der 
Verbindungslinie der beiden andern. Oder (152, 11^ 
links) : 

Sind vier Tangenten eines Kegelschnittes har- 
monisch, so schneiden sich zwei conjugirte Tangen- 
ten auf der Verbindungslinie der B erührungspunkte 
der beiden andern. 

Daraus folgt: Zieht man durch den Schnittpunkt S der 
Tangenten in M und N gerade Linien, welche den Kegel- 
schnitt in (A, A'), (B, B'), (C, C) . . . durchschneiden, so sind 
alle diese Punktenpaare durch M und N harmonisch getrennt. 
Die Tangentenpaare in A und A', B und B', C und C, , . . 
schneiden sich also auf der G-eraden M N, 

Mit andern Worten: 

Zieht man aus einem Punkte zwei Tangenten 
und eine Sekante an einen Kegelschnitt, so bilden 
die beiden Berührungspunkte und die beiden Schnitt- 
punkte eine harmonische Gruppe. 

Die Punkte (AA'), (BB'), (C C) . • • bilden eine Involu- 
tion, deren Doppelpunkte M und N sind (160, III, IV). Wir 
kommen also neuerdings zu der Eigenschaft: wenn eine In- 



Fig. 131. 




volution zwei Doppelelemente hat, so sind sie durch zwei be- 
liebige conjugirte Elemente harmonisch getrennt (96). 

Nehmen wir nun an, der Kegelschnitt sei ein Kreis (Fig. 131). 
Die ähnlichen Dreiecke SAM und SMA' geben: 

A M : M A' = S M : S A' 

und die ähnlichen Dreiecke SAN und SNA': 

AN : NA' = SN : S A'; 



§ 18. Entsprecliend gemeinscliaftL Elementen. Doppelelemeiite. 183 

•da aber S M = S N , so wird 

AM A^M 
AN A'N 

oder 

AM. A'N = AN. A'M. 

In dem. eingescliriebenen Viereck A M A' N haben wir nach, 
■dem Ptolemäischen Satze *) : 

AA' .MN=: AM. A'N-1- AN. A'M; 

.sind also die vier Eckpunkte des Sehnenvierecks harmonische 
Punkte, so hat man 

yAA' .MN = AM. A'N = AN. A'M. 

162. Die in Nr. 157 fF. behandelten Eigenschaften dienen 
unmittelbar zur Lösung der Aufgabe: 

Die entsprechend gemeinschaftlichen Elemente von 
zwei aufeinander liegenden proj e ctivischen Grebilden 
-und die D oppelelemente einer Involution zu construiren. 

I. 0 sei der gemeinsame Mittelpunkt von zwei projectivi- 
;schen Büscheln, die durch drei Paare entsprechender Strahlen 
bestimmt sind (Eig. 132). Wir beschreiben durch 0 einen Kreis; 
'dieser wird die drei Paare der gegebenen Strahlen in (A, A'), 

Fig. m. 




(B, B') und (0, C) schneiden. R sei der Schnittpunkt der Gre- 
raden A B' und A' B und Q der Schnittpunkt von A 0' und A' 0. 
Schneidet QR den Kreis in zwei Punkten M und N, so werden 
0 M und 0 N die gesuchten entsprechend gemeinschaftlichen 
Strahlen sein. 

II. A A', B B', C C mögen drei Paare entsprechender Punkte 



Baltzer, Planimetrie, S. 119. 



184 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



von zwei aufeinander liegenden projectivischen Punktreihen ani 
einer Geraden o sein (Fig. 133i)*, es sollen die entsprechend ge- 
meinschaftlichen Piinkte constrnirt werden. 

Fig. '133i. 

{,■ 
J \\ 



Man beschreibe einen Kreis, der die Gerade o berührt rmci 
ziehe daran aiis den gegebenen Punkten die Tangenten aa', 5 6^^ 

Fig. '1332. 



-c«^ — ^-o™ — 



A' N B' A 

\ ff// 



// 



/ 



/ / 



5 . 



/ /7 i/ 
■ -r 



\ / / .44-^ '^^ \ 



Vi 



/I 



cc'; die Verbindungslinie der Punkte a ft' und a! h sei r, diejenige 
der Punkte a c' und a' c sei q> Liegt der Punkt q r ausserhalb 
des Kreises und sind m, und n die Tangenten aus diesem Punkte 



§18. Entsprechend gemeinschaftl. Elemente u, Doppelelemente, X85 

an den Kreis , so werden o m und o n die entsprechend gemein- 
schaftliclien Punkte der gegebenen Punktreihen sein. 
Oder auch (Pig. ISS.^): 

Wir projiciren aus einem Punkte 0 eines beliebig gezeich- 
neten Kreises die gegebenen Punkte in A/, Bj' Cj C/ der 
Peripherie. P sei der Schnittpunkt von Aj und A/B-i und 
Q derjenige von A^G^' und A|'G| (oder auch P der Schnittpunkt 
von Bj C,' und B/ 0,). 

Schneidet die Grerade P Q ß den Kreis in zwei Punkten 
und Ni und projicirt man diese zwei Punkte aus dem Punkte 0 
in M und N auf der gegebenen Geraden, so werden M und N 
die gesuchten entsprechend gemeinschaftlichen Punkte sein ■•). 

III. Sind die beiden Büschel 162, I involutorisch, so werden 
sie durch zwei Paare conjugirter Strahlen bestimmt (Pig. 134). 
Wir legen durch 0 einen beliebigen Kreis, der die gege- 
benen Strahlen in den Punkten (A, A'), (B, B') schneide. Ii 
sei der Schnittpunkt von AB' und A' B und Q derjenige von 



Fig. m. 

0 




V 

AB und A'B'. Schneidet die Gerade Qß den Kreis in zwei 
Punkten M und N, so werden OM und 0 N die Doppelstrahlen 
der Involution sein. Die Gerade Q R schneidet den Kreis nicht,, 
wenn der Schnittpunkt S von A A' und B B' im Innern des 
Kreises liegt. 

IV. Man sucht die Doppelpunkte einer Involutio'ii 
von Funkten einer Geraden; zwei Paare conjugirter 
Punkte seien AA' und B B' (Pig. 135^). 

Aus einem Punkte 0 eines beliebig gezeichneten Kreises 



Steiner, loc. cit., S. 68 und 174. § 17 und 46. 



186 



Elemente der projeetivisclien Geometrie. 



projiciren wir die gegebenen Punkte in Aj', Bj B,' auf der 
Peripherie. R sei der Schnittpunkt von Aj B/ und Aj'Bj; Q 
sei der Schnittpunkt von Aj B| und A^'B^'. Schneidet die Ge- 



Fig. '135i. 

A N A' D' U B 




0 



rade QR den Kreis in und N| und projicirt man und Nj 
aus dem Punkte 0 nach M und N auf der gegebenen Geraden, 
so werden M und N die verlangten Doppelpunkte sein. 
Oder auch: 

Wir legen einen berührenden Kreis an die Gerade AB... 
(Pig. 1352) ziehen aus A A' und B B' die Tangenten a a' 

und b b' an diesen Kreis. Die Verbindungslinie der Punkte a b 



A M A B' N B 




und a' b' sei q, die Verbindungslinie der Punkte a b' und a' b sei 
r. Die Tangenten m und n aus dem Punkte q r werden AB... 
in den verlangten Doppelpunkten schneiden. 

163. Wenn in dem Fall (162, III) der Involution der 
Schnittpunkt S der Geraden A A', B B' , . . Mittelpunkt des 



§ 18. Eatsprecliend gemeinscliaftl. Elerneute u. Doppelelemente. 187 



Kreises ist (Fig. 136), cl, h. wenn AA', BB',. eben so viele 
Diirclimesser des Kreises sind, so wird jeder Strahl 0 A, 
OB,... auf dem conjugirten Strahl senkrecht stehen, mit 

Fig. 136. 




andern Worten: die Involution ist in diesem Falle von allen 
den rechten Winkeln gebildet, welche ihren Scheitel in 0 
haben. 

Ist aber S nicht Mittelpunkt des Kreises, so wird ein 
einziger Durchmesser durch diesen Punkt gehen; sind die 
Endpunkte dieses Durchmessers C und C, so w^erden die 
Strahlen 0 C und 0 C aufeinander senkrecht stehen und »war 
werden dieses die einzigen conjugirten Strahlen sein, welche 
diese Eigenschaft besitzen (Fig. 137). Oder auch: 

Eine Involution von Strahlen ist entweder aus- 
schliesslich von rechten Winkeln gebildet oder sie 

Fig. 137. 




enthält nur einen rechten Winkel, dessen Schenkel 
conjugirte Strahlen sind. 

164. Dieser Lehrsatz ist nur ein besonderer Fall des 
folgenden: 

Angenommen, wir haben zwei verschiedene Involutionen 



188 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



von Stralileii, die alle im Punkte 0 zusammenlaufen und ein 
durch 0 beschriebener Kreis schneide die conjugirten Strah- 
len der ersten Involution in den Punktenpaaren (A A' . B B'. . .) 
und diejenigen der zweiten in (G G' . H H' . . .). Der Sclmitt-- 
punkt von AA' und B B' sei S und derjenige von G G' und 
H H'. . . sei T. Schneidet die Gerade S T den Kreis in zwei 
Punkten E und E', so werden diese in beiden Involutionen 
conjugirte Punkte sein, denn sie liegen sowohl mit S als mit 
T auf derselben Geraden. Suchen wir jetzt die Fcälle auf, 
in welchen die Gerade ST den Kreis schneiden wird. 

Dieses Schneiden wird zunächst stattfinden, wenn wenig- 
stens einer der Punkte S und T im Innern des Kreises ist 
(160, VIII), d. h. wenn wenigstens eine der Involutionen keine 
Doppelelemente hat (Fig. 138 und 139). 

Sind beide Punkte S und T ausserhalb des Kreises, d, h. 
besitzen beide Involutionen Doppelelemente und sind O M 



und 0 N diese Elemente in der ersten Involution und 0 ü 
und OV in der zweiten, so müssen die Strahlen OE und 
0 E' sowohl das Paar O M und ON als auch das Paar QU 
und 0 Y harmonisch trennen; damit aber (56) ein Elementen- 
paar OE und 0 E' vorhanden sei, welches mit jedem der 
Paare OM und ON, OU und OV eine harmonische Gruppe 
bilde, ist es nothwendig und hinreichend, "dass sich diese 
beiden Paare nicht theilweise decken; oder: 

Zwei aufeinander liegende Involutionen (oder 
solche, die in demselben Gebilde der ersten Stufe enthalten 
sind) haben immer ein gemeinsames Paar conjugir- 
ter Elemente, nur in den Fällen nicht, wo die In- 



Fig. 138. 



Fia. '139. 




§ 18. Entsprechend gemeinscbaftl. Elemente u. Doppelelemente. 189 



voliitionen Doppelelemente haben und wo die Dop- 
pelelemente der einen Involution durcli diejenigen 
der andern getrennt sind. 

Die Fig. 140 (ebenso die Eig. 138 und 139) zeigt uns den 
Eall von zwei Involutionen mit einem gemeinscliaftliclien Paar 
oonjugirter Elemente E und E'. 

Fi^. 140. 




//. 

T 

Die Fig. 141 dagegen illustrirt den Fall, wo dieses gemein- 
Bchaftliohe Paar nicht vorhanden ist. 

1. Die vorhergehende Aufgabe, mit welcher in zwei aufein- 
ander liegenden Involutionen das gemeinschaftliche Paar conju- 

Fig, \k\. 

i 




t Ii' 



girter Elemente construirt wurde, kommt auf folgende zurück: 
in einer Punktreihe, einem Büschel oder auf einem Kegelschnitt 
zwei Elemente zu bestimmen, welche mit jedem von zwei gege- 
benen Paaren ein harmonisches System bilden (56). 



190 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Handelt es sich z. B. um Punkte einer Geraden, so projiciren 
wir die gegebenen Paare aus einem Punkte 0 auf einen Kreis, 
der durcli diesen Punkt geht, M, N und ü, V sollen diese Pro- 
jectionen sein (Pig. 140). Die Tangenten in M und IST an den 
Kreis schneiden sich in 8, die Tangenten in U und V schneiden 
sich in T. Ist das Paar M N nicht durch das Paar U V getrennt, 
so wird S T den Kreis in zwei Punkten E und E' schneiden, deren 
Projectionen aus 0 die verlangten Punkte sind. 

II. Die Doppelpunkte der durch die Paare A A' und B B' 
bestimmten Involution bilden das gemeinschaftliche Paar conju- 
girter Elemente von zwei andern Involutionen : die eine ist durch 
die Paare AB und A'B', die andere durch die Paare AB' und 
A'B bestimmt (160, VII). 

Daraus ergibt sich eine Construction der Doppelpunkte der 
Involution , welche durch die Punktenpaare A A' und B B' einer 
Geraden bestimmt ist. Nehmen wir einen beliebigen Punkt G 
ausserhalb der Linie und beschreiben die Kreise GAB und GA'B', 
so werden sie einen zweiten Schnittpunkt H haben. Der zweite 
Schnittpunkt der Kreise GAB' und GA'B sei K. Jeder durch 
die Punkte G und H gezogene Kreis trifft die gegebene Gerade 
in zwei conjugirten Punkten der Involution AB . A'B' (98)^ 
ebenso gibt jeder durch GK gezogene Kreis zwei conjugirte 
Punkte der Involution A B' . A' B. Zieht man also den Kreis 
GHK und trifft derselbe die gegebene Gerade, so werden die 
beiden Schnittpunkte die Doppelelemente der Involution AA' .BB' 
sein *). 

165, Aus dem Vorhergehenden folgt, dass die Bestimmung 
der entsprechend gemeinschaftlichen Punkte zweier projectivischer 
Reihen von Kegelschnittpunkten ABO... und A' B' 0' . . . (und 
folglich der entsprechend gemeinschaftlichen Elemente von zwei 
beliebigen aufeinander liegenden projectivischen Gebilden), auf die 
Construction der Geraden s herauskommt, auf welcher sich die 
Linienpaare AB' und A'B, AG' und A'O, B 0' und B'O,... 
schneiden. Ebenso kommt die Bestimmung der Doppelpunkte 
einer Involution A A', B ß' , . . auf die Construction der Geraden 
s heraus, auf welcher sich die Linienpaare AB und A'B', AB' 
und A'B, . . . oder die Tangentenpaare in A und A', B und B'. . . 
schneiden. 



••') Cliasles, Geometrie superieure, Nr. 263. 



§ 19, Aufgaben des zweiten Grades. 



191 



Gibt man, umgekelirt, eine beliebige Gerade s (die nicht Tan- 
gente an den Kegelschnitt ist), so ist mit ihr eine Involution von 
Kege] Schnittpunkten bestimmt; denn man hat nur aus den ver- 
schiedenen Punkten von s die Tangentenpaare an den Kegelschnitt 
zu legen, so bilden deren Berührungspunkte die Paare conjugirter 
Punkte. 

Sollen aber zwei projectivische Reihen ABO,., und A'B'C'.., 
bestimmt werden, so muss ausser der Geraden s ein Paar ent- 
sprechender Punkte AA' gegeben sein; jeder Punkt von s gibt^ 
mit A und A' verbunden, zwei Geraden, welche den Kegelschnitt 
in zwei entsprechenden Punkten B' und B treffen. 

Zwei projectivische Reihen von Punkten bestimmen eine In- 
volution; die beiden Reihen geben nämlich die Gerade s, welche 
die Involution bestimmt. Haben die beiden Reihen zwei ent- 
sprechend gemeinschaftliche Punkte, so sind diese Punkte auch 
die Doppelpunkte der Involution, 

§ 19. Anfgaljen des zweiten Grades, 



166. Aufgabe. Fünf Punkte 
0, 0', A, B, C eines Kegel- 

Fig. 142. 




Schnittes sind gegebt n; man soll 
die Schnittpunkte dieser Curve 



Fünf Tangenten o, o', a, 6, c 
eines Kegelschnittes sind gege- 

Fig, 143, 




ben; man soll die TaDgenteii 
suchen, die man aus einem ge- 



192 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



mit einer gegebenen Geraden s 
bestimmen. 

Auflösung, Aus 0 und 0' 
pröjiciren wir (Fig. 142) die übri- 
gen Punkte A, B und C des 
Kegelschnittes; die Büsoliel 
0(ABC...) und 0' (ABG...) 
sind projectiviscli und schneiden 
die Transversale s in Punkten, 
die zwei aufeinander liegende 
projectivische Punktreihen bil- 
den. 

Ist M ein entsprechend ge- 
meinschaftlicher Punkt dieser 
Punktreihen, so wird M auch 
ein Punkt des Kegelschnittes 
sein, denn zwei entsprechende 
Strahlen der beiden Büschel 
schneiden sich in M. Die Schnitt- 
punkte des Kegelschnittes und 
der Geraden s sind also nichts 
anderes als die entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkte der 
beiden aufeinander liegenden 
Panktreihen, welche im Durch- 
schnitt der Geraden s mit den 
drei Paaren entsprechender 
Strahlen OA und O'A, OB und 
O'B, 0 0 und O'C liegen. Mög- 
licherweise gibt es zwei entspre- 
chend gemeinschaftliche Punkte, 
oder einen einzigen oder gar 
keinen; die Gerade s kann also 
den Kegelschnitt in zwei Punk- 
ten treffen oder ihn in einem 
Punkte berühren oder gs.r nicht 
mit ihm zasammentreffen. Was 
nun die Construction der ent- 
sprechend gemeinschaftlichen 



gebenen Punkte S an den Kegel- 
schnitt legen kann. 

Schneidet man die Tangenten 
a, 6, c... durch die Geraden 
0, o' (Fig. 143), so sind die 
Punktreihen o (a, 6, c,.,.) und 
o' (a, b, c,...) projectivisch und 
projicirt man sie aus dem Cen- 
trum S, so erhält man zwei con- 
centrische projectivische Strah- 
lenbüschel. 

Ist m ein entsprechend ge- 
meinschaftlicher Strahl dieser 
Büschel, so wird m eine Tan- 
gente an den Kegelschnitt sein, 
denn zwei entsprechende Punkte 
der beiden Punktreihen o und 
o' fallen auf diese Gerade m. 
Die durch S gehenden Tangen- 
ten des Kegelschnittes sind also 
nichts anderes als entsprechend 
gemeinschaftliche Strahlen der 
beiden concentrischen Strahlen- 
büschel, die durch diejenigen 
Strahlen bestimmt sind, welche 
die drei Paare entsprechender 
Punkte Ott und o' a, ob und 
o'b, 0 c und o' c aus dem Gen- 
trum S pröjiciren. Möglicher- 
weise gibt es zwei entsprechend 
gemeinschaftliche Strahlen oder 
einen einzigen oder gar keinen; 
man kann also aus dem Punkte 
S entweder zwei Tangenten zie- 
hen, oder S ist ein Punkt der 
Gurve, oder man kann aus S 
gar keine Tangente ziehen. Was 
nun die Construction der entspre- 



§ 19» Aufgaben des zweiten Grades. 



193 



Punkte anbetrifft, so verweisen 
wir auf Nr. 162, II. 

Die Aufgabe wird ebenso ge- 
löst, wenn vier Punkte 0, 0', 
A und B des Kegelschnittes und 
die Tangente o in 0 oder drei 
Punkte 0, 0' und A und die 
Tangenten o und o' in 0 und 
O' gegeben sind. Im ersten die- 
ser Fälle sind die Büschel durch 
die drei Strahlenpaare o und 
O'O, 0 A und O'A, OB und 
O'B, im zweiten Fall durch die 
drei Paare o und 0' 0, 0 0' und 
o', 0 A und 0' A bestimmt. 

Gibt man aber fünf Tangen- 
ten oder vier Tangenten und 
einen ihrer Berührungspunkte 
oder drei Tangenten und zwei 
ihrer Berührungspunkte , so 
kann man zuerst die übrigen 
Berührungspunkte construiren 
(134, 140, 141); dann kommt 
die Aufgabe auf einen der obi- 
gen Fälle zurück. 



chend gemeinschaftlichen Strah- 
len anbetrifft, so verweisen wir 
auf Nr. 162. 

Die Aufgabe wird ebenso ge- 
löst, wenn vier Tangenten o, o\ 
a und b des Kegelschnittes und 
der Berührungspunkt 0 von o 
oder drei Tangenten o, o\ a und 
die Berührungspunkte 0 und 0' 
von 0 und o' gegeben sind. Im 
ersten dieser Fälle sind die Punkt- 
reihen durch die drei Punkten - 
paare 0 und o'o, oa und o'a, 
0 b und o' & , im zweiten FalJ 
durch die drei Paare 0 und o' o, 
0 o' und 0', 0 a und o' a be- 
stimmt. 

Gibt man aber fünf Punkte 
oder vier Punkte und die Tan- 
gente in einem derselben oder 
drei Punkte und die Tangenten 
in zweien derselben, so kann 
man zuerst (128, 134, 138) die 
Tangenten in den übrigen ge- 
gebenen Punkten construiren ; 
dann kommt die Aufgabe auf 
einen der obigen Fälle zurück. 



167. Nehmen wir in der Oonstraction der vorhergehenden 
Nummer (links) an, es sei der Kegelschnitt eine Hyperbel und 

Fig. 144. 




die Transversale s eine Asymptote (Fig. 144). In diesem Falle 
werden die auf s durch die Büschel 0 (A, B, C, . . .) und 0' (A, B, 0, . . .) 
L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 13 



194 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



bezeichneten aufeinander liegenden Punktreihen einen entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkt haben und dieser wird unendlich ferne 
liegen (es ist der Berührungspunkt der Hyperbel und der Asym- 
ptote s); da aber in zwei aufeinander liegenden Punktreihen (77), 
deren entsprechend gemeinschaftliche Punkte in einen einzigen 
unendlich fernen zusammenfallen, die zwischen zwei beliebigen 
entsprechenden Punkten liegende Strecke von constanter Länge 
ist, so ergibt sich der Satz: 

Drehen sich um zwei feste Punkte 0 und 0' einer 
Hyperbel zwei Strahlen, die sich stets auf der Curve 
schneiden, so hat die zwischen diesen Strahlen liegende 
Strecke PP' auf einer Asymptote eine constante Länge *). 

168. Nimmt man in Nr. 166 links an, es sei die Gerade s 
unendlich ferne, so wird die Aufgabe zur folgenden: 

Fünf Punkte 0, 0', A, B, 0 eines Kegelschnittes 
sind gegeben; man soll die unendlich fernen Punkte 
bestimmen (Fig. 145). 

Betrachten wir wieder die projectivischen Büschel 0 (A, B, 0, . . .) 

Fig. '145. 




und 0' (A , B, C, . . .) , welche auf der unendlich fernen Geraden 
s zwei aufeinander liegende Punktreihen bezeichnen, deren ent- 



■"') Brianchon, loc. cit., S. 36. 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



195 



sprechend gemeinscliaftliclie Punkte die verlangten Punkte sind 
und beacMen wir, dass jeder dieser entsprechend gemeinschaft- 
lichen Punkte sowohl auf der unendlich fernen Geraden s als auf 
zwei entsprechenden Strahlen der beiden Büschel liegen muss, 
diese Strahlen also parallel sind, so vereinfacht sich die Auf- 
gabe dahin, in den beiden Büscheln die Paare der parallelen ent- 
sprechenden Strahlen zu finden. 

Zur Auflösung ziehen wir durch 0 die Geraden 0 A', 0 B', 
0 0' resp. parallel O'A, 0' B und 0' 0; nun construiren wir 
(162) die entsprechend gemeinschaftlichen Strahlen der beiden 
concentrisohen Büschel, welche durch die Paare OA und 0 A', 
0 B und OB', 0 0 und 0 G' bestimmt sind. Gibt es zwei ent- 
sprechend gemeinschaftliche Strahlen 0 M und 0 N, so ist der 
durch die fünf gegebenen Punkte bestimmte Kegelschnitt eine 
Hyperbel, deren unendlich ferne Punkte auf den Bichtungen 0 M 
und ON liegen oder, was auf dasselbe herauskommt, deren Asym- 
ptoten den Geraden 0 M und 0 N parallel sind. 

Gibt es nur einen einzigen entsprechend gemeinschaftlichen 
Strahl OM, so ist der durch die fünf gegebenen Punkte be- 
stimmte Kegelschnitt eine Parabel, deren unendlich ferner Punkt 
in der Richtung 0 M liegt. 

Gibt es gar keinen entsprechend gemeinschaftlichen Strahl, 
so ist der durch die fünf gegebenen Punkte bestimmte Kegel- 
schnitt eine Ellipse, weil er mit der unendlich fernen Geraden 
keinen Punkt gemein hat. 

Will man im ersten Fall (Pig. 145) die Asymptoten der Hy- 
perbel selbst construiren, so betrachte man letztere nur, als sei sie 
durch die beiden unendlich fernen Punkte und drei andere Punkte, 
z. B. A, B, 0 bestimmt; man nehme mit andern Worten an, die 
Hyperbel werde durch die beiden projectivischen Büschel er- 
zeugt , in denen die einen Strahlen parallel 0 M , die andern pa- 
rallel OISF sind und von denen zwei entsprechende durch A, zwei 
andere entsprechende durch B und die letzten zwei durch 0 
gehen. Diejenigen Strahlen dieser Büschel, welche der unendlich 
fernen Geraden (der Verbindungslinie der Oentren der Büschel) 
entsprechen, werden die verlangten Asymptoten sein. 

Nennen wir also (Pig. 145) a, b, c die durch A, B, 0 gehenden 
Strahlen, die parallel OM sind und a', 6', c' die durch A, B, 0 
gehenden und 0 N parallelen Strahlen; verbinden wir dann Punkt 
a b' mit a' b und Punkt b c' mit Punkt ¥ c; der Schnittpunkt 



196 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



dieser Linien sei K, Die durch den Punkt K gezogenen Paral- 
lelen zu 0 M und 0 N sind die gesuchten Asymptoten, 

169. Die Aufgabe: „Durch einen Punkt S die Tangenten 
an den Kegelschnitt zu legen, von welchem fünf Punkte 
A, B, 0, D, E gegeben sind," kann ebenfalls an die Aufgabe 
von Nr. 166 links geknüpft werden, indem man die Eigenschaften 
der Involution benützt (Nr. 160), welche man erhält, indem man 
den Kegelschnitt durch Transversalen aus dem Punkte S schneidet. 

Ziehen wir die Geraden S A und S B (Fig. 146), welche den 
Kegelschnitt in zwei neuen Punkten A' und B' treffen, die man 



nstruiren kann (nur mit Hülfe des Lineals und ohne die Curve 
L ziehen), indem man den Pascal'schen Satz (Nr. 124, rechts) 



anwendet. Die Punkte A' und B' wurden in der Eigur mit Hülfe 
der Sechsecke ADCBEA' und BECADB' construirt. Ver- 
binden wir jetzt den Schnittpunkt von A B und A' B' mit dem- 
jenigen von A B' und A' B, so wird diese Gerade s (160) die Be- 



Fig. 146. 




Fig, 147. 




§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



197 



rührungspunkte der von S ausgehenden Tangenten enthalten. 
Die Frage vereinfacht sich also dahin, die Durchschnittspunkte 
des Kegelschnittes und der Geraden s zu finden (ISTr. 166, links). 

Wir überlassen dem Studirenden die Mühe, die verwandte 
Construction (Fig. 147) zu machen, um folgende Aufgabe auf die- 
jenige von Nr. 166 rechts zurückzuführen: 

Die Schnittpunkte einer gegebenen Geraden s und eines Kegel- 
schnittes zu finden, der durch fünf gegebene Tangenten be- 
stimmt ist. 



170. Aufgabe. Einen Ke- 
gelschnitt zu construiren, 
der durch vier gegebene 
Punkte Q, ß, S, T geht und 
eine gegebene Gerade s (die 
durch keinen der gegebe- 
nen Punkte geht) berührt, 
Auflösung. Die Seiten QT, 
ES, QR, ST des Yierecks 
Q, R S T schneiden s in A , A'^ 
ß, B' (Fig. 148) ; wir construiren 
die Doppelpunkte der durch die 
Paare A A', B B' bestimmten 
Involution (Nr. 143). 

Fig. 148. 




Gibt es zwei Doppelpunkte, 
M und N, so wird jeder der- 
selben (Nr. 145 links) ein Be- 
rührungspunkt von s mit einem 



Einen Kegelschnitt zu 
construiren, der vier gege- 
bene Geraden r, s, t be- 
rührt und durch einen ge- 
gebenen Punkt S geht (der 
auf keiner der gegebenen 
Geraden liegt). 

Auflösung. Aus dem Cen- 
trum S projiciren wir die Punkte 
f/ t, rs, qr, st des Vierseits qrst 
mit Hülfe der Strahlen a, a', 
h, b' (Fig. 149) und construiren 
die Doppelstrahlen der durch 
die Paare aa\ bb' bestimmten 
Involution. 

Fig. 149. 




Gibt es zwei Doppelstrahlen 
711 und n, so wird jeder dersel- 
ben (Nr. 145 rechts) in S Tan- 
gente an den dem Vierseit qrst 



198 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



der um das Viereck Q E S T be- 
schriebenen Kegelschnitte sein; 
die Aufgabe ist also mit jedem 
der Kegelschnitte QRSTM und 
QESTN gelöst, die man beide 
punktweise mit Hülfe des Pas- 
cal'schen Satzes (Nr. 124 rechts) 
verzeichnen kann. 

Gibt es aber keine Doppel- 
punkte, so gibt es auch keine 
Kegelschnitte, die den gegebe- 
nen Bedingungen genügen. 



eingeschriebenen Kegelschnitt 
sein; die Aufgabe ist also mit 
jedem der Kegelschnitte qrstm 
und qrs tn gelöst, die man beide 
mit Hülfe weiterer Tangenten 
und mit Anwendung des Satzes 
von Brianchon (Nr. 124 links) 
zeichnen kann. 

Gibt es keine Doppelstrahlen, 
so gibt es auch keine Kegel- 
schnitte, die den gegebenen Be- 
dingungen genügen. 



I. Nimmt man (in voriger Aufgabe links) an, es sei die Ge- 
rade s unendlich ferne, so wird die Aufgabe zur folgenden : Eine 
Parabel zu construiren, die durch vier Punkte Q, R, S, 
T geht. Aus einem beHebigen Centrum 0 (Fig. 150) ziehen wir die 
Strahlen a, a', b, b' bezüglich parallel den Geraden QT, RS, QR, 

Fig. 150. 




ST und construiren die Doppelstrahlen der durch die Paare aa\ 
bb' bestimmten Involution. Ergeben sich Doppelstrahlen, so 
zeigt jeder von ihnen die Richtung an, in welcher der unendlich 
ferne Punkt einer Parabel liegt, die durch die vier gegebenen 
Punkte geht; so wird die Aufgabe auf die letzte von Nr. 128 
zurückgeführt. 

Durch vier gegebene Punkte können also entweder zwei oder 
gar keine Parabeln gelegt werden; im ersten Fall sind die übri- 
gen umschriebenen Kegelschnitte Ellipsen und Hyperbeln; im 
zweiten Fall sind es nur Hyperbeln. Der erste Fall tritt ein, 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



199 



wenn jeder der vier Punkte ausserhalb des von den drei andern 
gebildeten Dreiecks liegt; man hat aber den zweiten Fall, wenn 
einer der vier Punkte im Innern des von den drei andern ge- 
bildeten Dreiecks ist. 

II. Ist in der Aufgabe rechts eine der Geraden qr st in un- 
endlicher Ferne, so wird die Aufgabe zur folgenden: 

Eine Parabel zu construiren, welche drei gegebene Geraden 
berührt und durch einen gegebenen Punkt geht. 



171. Aufgabe. Einen Ke- 
gelschnitt zu construiren, 
der durch drei gegebene 
Punkte P, P', P" geht und 
zwei gegebene Geraden q 
und s (die durch keinen der 
Punkte P, P', P" gehen) 
berührt. 

Fig. 151. 




Die Auflösung ist auf den Satz 
Nr. 149 links gestützt. Stellen 
wir uns vor, der Kegelschnitt 
und das Tangentenpaar q und s 
werden von der Transversalen 
P P' in den Punktenpaaren P P' 
und B B' (Fig. 151) geschnitten. 
Sind dann A und A, die Dop- 
pelpunkte der durch diese beiden 
Punktenpaare bestimmten In- 



Einen Kegelschnitt zu 
construiren, der drei gege- 
bene Geraden p, p" be- 
rührt und durch zwei ge- 
gebene Punkte Qund S geht 
(die nicht auf den gegebe- 
nen Geraden liegen). 

Fig. 152. 




Die Auflösung ist auf den Satz 
Nr. 149 rechts gestüzt. Stellen 
wir uns vor, man habe aus dem 
Punkte p jo' die Tangenten p 
und an den Kegelschnitt 
und die Strahlen b und b' nach 
den Punkten Q und S gelegt 
(Fig. 152). Sind dann a die 
Doppelstrahlen der durch die 
beiden Paare p p' und b b' be- 



200 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



volution, so muss nach, jenem 
Lehrsätze die Berührungssehne 
des Kegelschnittes und der Tan- 
genten ^, s durch einen dieser 
Punkte gehen. Wiederholen wir 
denselben Schluss für die Trans- 
versale PP", welche q und s in 
D und D" schneidet, d. h. con- 
struiren wir auch, die Doppel- 
punkte C und der durch die 
Paare PP" und DD" bestimm- 
ten Involution, so wird die Be- 
rührungssebne durch 0 oder 
durch gehen müssen. Die 
Aufgabe lässt also vier Auf- 
lösungen zu, d. h. wenn die bei- 
den Involutionen (PP'. BB') und 
(PP".DD") die Doppelpunkte 
(A, A^) und (0, Oj) besitzen, 
so gibt es vier Kegelschnitte, 
die den gegebenen Bedingungen 
entsprechen. Die Berührungs- 
sehnen dieser Curven mit den 
Tangenten q und s sind A C, 
A^ A C j und A^ . Von jedem 
dieser Kegelschnitte kennt man 
fünf Punkte: P, P', P" und vom 
ersten z. B. die Schnittpunkte 
von A 0 mit q und s*, man kann 
sie also mit Hülfe des Pascal- 
schen Satzes (Nr. 124, rechts) 
punktweise verzeichnen. 



stimmten Involution, so muss 
nachjenemLehrsatze der Schnitt- 
punkt der Tangenten in den 
Punkten Q und S des Kegel- 
schnittes auf einem dieser Strah- 
len liegen. Wiederholen wir 
denselben Schluss für den Punkt 
pp'\ aus welchem wir die Strah- 
len d und d" nach den Punkten 
Q und S ziehen, d. h. construi- 
ren wir auch die Dojppelstrahlen 
c und Cj der durch die Paare 
]-) p" und d d" bestimmten In- 
volution, so wird der Tangenten- 
schnittpunkt auf c oder C\ fallen. 
Die Aufgabe lässt also vier Auf- 
lösungen zu, d. h. besitzen die 
beiden Involutionen (p jj' . b b') 
und (p p" . d d") die Doppel- 
strahlen (a «i) und (c c j, so gibt 
es vier Kegelschnitte, die den 
gegebenen Bedingungen ent- 
sprechen. Die Schnittpunkte der 
Tangenten in Q und S sind für 
diese Curven a c, % c, a , . 
Von jeder dieser Curven kennt 
man fünf Tangenten, von der 
ersten z. B. p, p', p" und die Gre- 
raden, welche a c mit Q und S 
verbinden; man kann sie also 
mit Hülfe weiterer Tangenten 
und Benützung des Lehrsatzes 
von Brianchon (Nr. 124 links) 
verzeichnen. 



172. Aufgabe. Ein Polygon zu construiren, dessen 
Eckpunkte auf gegebene Grerade fallen und dessen Sei- 
ten durch gegebene Punkte gehen *). 



•'0 Poncelet, loc. cit., S. 345, 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



201 



Auflösung. Um ein Beispiel zu entwickeln, neliinen wir 
an, es handle sich darum, ein einfaches Vierseit zu construiren, 
dessen Eckpunkte 1, 2, 3, 4 bezüglich auf die gegebenen Geraden 
S| , ^3 und .§4 fallen und dessen Seiten 12, 23, 34, 41 durch 
die gegebenen Punkte S^2r^23! ^34? ^41 S^^^^- Wir projiciren 
aus dem Oentrum S^^ die beliebig gewählten Punkte Aj , Bj^ 
. . . von s^ auf «2 in A2, B2, G2,.., dann projiciren wir aus 
dem Centrum S23 die Punktreihe A2 B2 C2 auf S3 in A3 Bg C3 . . , ; 
wir projiciren weiter aus S34 die Punkte AgßgG^ ... in A4B4C4... 
auf S4; endlich projiciren wir auch aus 84^ die Punkte A4 B4 G4 .. . 
in ABC... auf S[. Bei dieser Gonstruction sind die Punkte 
Si2> 823, S34, die Centren von vier projectivischen Büscheln; 
denn der erste ist perspectivisch zum zweiten (der gemeinsame 
Schnitt ist §2), ebenso der zweite zum dritten (der gemeinsame 



Schnitt ist S3) und der dritte zum vierten (der gemeinsame Schnitt 
ist S4). Daraus folgt (114), dass der Ort des Schnittpunktes 
zweier entsprechender Strahlen (wie Aj A2 und A4 A) des ersten 
und vierten Büschels oder mit andern Worten, der Ort des ersten 
Eckpunktes desjenigen variabeln Yierseits, dessen zweiter, dritter 
und vierter Eckpunkt (A2, A3, A4) auf drei gegebenen Geraden 
(s2, «3? S4) hingleiten und dessen Seiten (Aj A2, A2A3 , A3 A4, 
A4 A) durch vier gegebene Punkte (S|2, S23, Sg4, S41) gehen, ein 
Kegelschnitt ist *). 

'"■) Diesen Satz: „Verändert sich ein einfaches Polygon in der Weise, 



Fig. '153. 




202 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



Dieser Kegelsclinitt geht durch die Punkte Sj^ und 84^, die 
Centren der ihn erzeugenden Büschel; um ihn also zu bestimmen, 
hat man nur noch drei weitere Punkte desselben nöthig; d. h. 
es genügen die Schnittpunkte der drei Paare entsprechender 
Strahlen A^A2 und A4A, ßi B2 und B4B, und O4 C. Man 

hat dann nur noch die Durchschnitte der Greraden mit dem 
durch diese fünf Punkte bestimmten Kegelschnitte (166) zu con- 
struiren, so kann jeder dieser Durchschnittspunkte M, N als 
erster Eckpunkt des gesuchten Vierseits genommen werden. 

Dieselbe Oonstruction kann aus einem anderen Gesichtspunkte 
betrachtet werden. Die gebrochenen L mien A| A2 A-g A^ A^ 
B| B2 B3 B4 B und C2 O3 C4 0 können als Versuche angesehen 
werden, die gemacht worden sind, um das gesuchte Vierseit zu 
construiren; diese Versuche ergeben nicht geschlossene Polygone, 
denn der Punkt A fällt nicht mit Aj , B nicht mit B^ und 0 nicht 
mit zusammen. Diese Versuche und alle ähnlichen denk- 
baren, die mau noch machen könnte, die aber nicht nothwendig 
sind, ergeben auf der Geraden zwei Punktreihen A} B^ Oj . . ., 
ABC... (die eine durch den Anfangspunkt, die andere durch 
den Endpunkt der gebrochenen Linie oder des offenen Polygons 
beschrieben). Diese beiden Punktreihen sind projectivisch, denn 
die zweite wird mit Hülfe von Projectionen aus den Centren 
^12? ^23? S34 , und Schnitten durch die Transversalen §2, S3, 
S4 , S| aus der ersten abgeleitet. Jeder entsprechend gemein- 
schaftliche Punkt dieser Punktreihen löst die Aufgabe; denn 
legt man den Anfangspunkt der gebrochenen Linie in denselben, 
so fällt auch ihr Endpunkt darauf und das Polygon wird ge- 
schlossen sein. 

In dieser Aufgabe, sowie in den folgenden bleibt die Methode 
dieselbe, welches auch die Seitenzahl des zu construirenden Po- 
lygons sei. 

173. Aufgabe. In einen gegebenen Kegelschnitt *) 
ein Polygon zu beschreiben, dessen Seiten durch ge- 
gebene Punkte gehen. 

dass aeine Seiten durch gegebene Punkte gehen und dass alle seine Eck- 
punkte, bis auf einen, auf gegebenen Geraden hingleiten, so durchläuft 
der letzte Eckpunkt einen Kegelschnitt," verdanken wir Maclaurin 
(Transactions of London 1735 oder Apercu historique, S. 150). 

"■•') Vollständig gezeichnet oder durch fünf gegebene Punkte bestimmt. 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



203 



Auflösung. Wir nehmen an, es handle sich darum., ein 
Dreieck zu construiren, dessen Seiten beziehungsweise durch 
drei gegebene Punkte , 83? ^3 i^^ä- ^^^) gehen. Machen wir 
drei Versuche, d, h. projiciren wir aus dem Centrum S; drei be- 



liebige Punkte A, B, 0 der Curve in Aj , B, , auf derselben 
Curve, hierauf A^ , B, , 0^ aus dem Oentrum S2 ^2? ^^2) 

endlich A^, B-j, aus dem Oentrum S3 in A', B', 0' (immer auf 
derselben Curve). Da der Endpunkt A' oder B' oder 0' nicht 
mit dem entsprechenden Ausgangspunkt A oder B oder C zu- 
sammenfällt, so bekommen wir statt eines eingeschriebenen Drei- 
ecks, wie es in der Passung der Aufgabe verlangt wird, ein 
offenes Polygon AAjA^A', BB^B2B', OC^C^C; die Projec- 
tionen aber, die successive aus den Centren Sj , S^, S3 gemacht 
wurden, leiten aus der Beihe von Punkten A, B, C, . . . die 
Reihen A, , B| , C^ . . . A^, By, Cj . . . und A', B', C , . . ab, folg- 
lich ist (158, 160) die Reihe A, B, 0... der Ausgangspunkte 
projectivisch zu der Reihe der Endpunkte A', B', C, . . . (157). 
Die Aufgabe wäre gelöst, wenn der Ausgangspunkt mit dem End- 
punkt zusammenfiele. Wenn also die beiden projectivischen 
Reihen ABC... und A' B' C . . . entsprechend gemeinschaftliche 
Punkte haben, so kann jeder der erste Eckpunkt eines Dreiecks 
sein, das den gegebenen Bedingungen genügt. Man hat also nur 
noch die Gerade zu finden (157, II), auf welcher sich die Paare 
der Gegenseiten des eingeschriebenen Sechsecks A B' 0 A' B C 
schneiden und die Schnittpunkte M und ISF dieser Geraden mit 
dem Kegelschnitt (166) zu construiren; jeder wird eine Auflösung 
der Aufgabe liefern *), 



Fig. 154. 




Bj TS 



'"") Poncelet, loc. cit. , S. 352. 



204 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



174. Eine entsprecliende Methode gestattet die Auflösung 
der correlativen Aufgabe: 

Einem gegebenen Kegelscbnitt, der vollständig be- 
schrieben oder durch fünf Tangenten bestimmt ist, ein 
Polygon zu umschreiben, dessen Eckpunkte auf gege- 
bene Geraden fallen. 

Nehmen wir an, es handle sich darum, einem Kegelschnitt 
ein Dreieck zu umschreiben, dessen Eckpunkte beziehungsweise 
auf den Geraden Sj , S2, % (Eig. 155) liegen. Ziehen wir die 
Tangente a in einem beliebigen Punkte A des Kegelschnittes; 
aus ihrem Schnittpunkt mit ziehen wir eine andere Tangente 

Fig. 155. 




«I (ihr Berührungspunkt ist A|); aus dem Schnittpunkt von 0, 
und ^2 ziehen wir die dritte Tangente «2 (-Bei'ührungspunkt A2); 
endlich aus dem Schnittpunkt von und 53 ziehen wir noch die 
Tangente a' mit dem Berührungspunkt A'. Die Aufgabe wäre 
gelöst, fiele der Punkt A' auf A, d. h. wenn die Tangenten a 
und a' coincidirten. Stellen wir uns nun vor, dass wir noch an- 
dere ähnliche Versuche gemacht haben, indem wir beliebige 
Punkte B, 0 . . . des Kegelschnittes zu Ausgangspunkten wählten, 
so bekommen wir successive die Punktreihen A, B, C, . . . Aj, 
B| , Cj , . . . A2, B.2, C2,... und A', B', C, . . . die alle zu ein- 
ander projectivisch sind. Die erste Reihe ist nämlich zu der 
zweiten projectivisch (160), weil sich die Tangenten in A und 
Aj, B und B,, 0 und 0| , , . immer auf s.^ schneiden; ebenso sind 



19. Aufgaben des zweiten Grades. 



205 



die zweite und dritte, die dritte und vierte und folglicli aucli 
die erste und vierte Reihe aus demselben Grunde (158) projecti- 
viscla. Da aber die Aufgabe gelöst wäre, wenn A auf A' oder 
B auf B' . . . fiele, so wird jeder entsprecbend gemeinscliaftliclie 
Punkt der beiden projectivischen Reihen ABC. und A'B'C... 
als Berührungspunkt der ersten Seite eines Dreiecks dienen kön- 
nen, das den gegebenen Bedingungen Grenüge leistet. Man hat 
also nur drei Versuche zu machen (157), d. h, zu drei beliebigen 
Punkten A, B, 0 des Kegelschnittes die entsprechenden Punkte 
A', B', C zu suchen und die Durchschnitte M und N des Kegel- 
schnittes mit derjenigen Geraden zu construiren, welche die 
Schnittpunkte der Gegenseiten des eingeschriebenen Sechsecks 
AB'OA'BG enthält *). 

175. Der besondere Fall der Aufgabe Nr. 173, in welchem 
die festen Punkte Sj , S2, . . . alle auf derselben Geraden s liegen, 
muss getrennt behandelt werden. Ist die Seitenzahl des gesuch- 
ten Polygons gerade, so wird der Satz von Nr. 146 verwendbar: 
in diesem Palle hat die Aufgabe entweder gar keine Auflösung 
oder sie hat deren unendlich viele. Handelt es sich z. B. darum, 
in den Kegelschnitt ein Achteck zu beschreiben, dessen sieben 
erste Seiten durch die Punkte S| , S2,.., S^ gehen, so wird die 
letzte Seite dann, in Folge jenes Lehrsatzes, durch einen festen 
Punkt S von s gehen; der Punkt S ist aber nicht beliebig, son- 
dern durch die Punkte S^ , S2 , . . . S^ bestimmt, Coincidirt also 
der letzte Punkt Sg mit S, so gibt es unendlich viele Achtecke, 
welche den gegebenen Bedingungen genügen. Findet diese Ueber- 
einstimmung nicht statt, so gibt es gar keine Auflösung. 

Ist die Seitenzahl des gesuchten Polygons ungerade, so wird 
die Aufgabe bestimmt. Nehmen wir an, es handle sich darum, 
ein Siebeneck einzubeschreiben (Fig. 114), dessen Seiten durch 
die gegebenen Punkte S|, S2, S3 . . . S^ gehen, die alle in gerader 
Linie liegen. Nach dem Lehrsatz (146) gibt es unendlich viele 
Achtecke, deren sieben erste Seiten durch sieben gegebene Punkte 
einer Geraden und deren achte Seite durch einen festen Punkt 
S dieser Geraden geht. Hat es unter diesen Achtecken eines, 
dessen achte Seite eine Tangente an den Kegelschnitt ist, so 
wird die Aufgabe gelöst sein; denn dieses Polygon mit zwei u.n- 



""■) Poncelet, loc. cit., S. 354. 



206 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



endlich nalie liegenden oder zusammenfallenden Eckpunkten wird 
zu einem eingeschriebenen Siebeneck, dessen Seiten durch sieben 
gegebene Punkte gehen. Kann man also durch den Punkt S 
Tangenten an den Kegelschnitt ziehen, so wird der Berührungs- 
punkt einer jeden von ihnen eine Auflösung geben (146). Je 
nach der Lage des Punktes S zu der Curve gibt es also ent- 
weder zwei Auflösungen oder nur eine oder gar keine. 

Die Fig. 116 bezieht sich auf den Fall dieser Aufgabe, wo 
es sich darum handelt, ein Dreieck einzubeschreiben *). 

Der Studirende möge übungsweise die correlative Auf- 
gabe lösen: einem Kegelschnitt ein Polj^gon zu umschreiben, 
dessen Eckpunkte auf gegebene Strahlen eines Büschels fallen. 
Auch diese Aufgabe ist entweder unbestimmt oder ohne Auf- 
lösung, wenn das Polygon von gerader Seitenzahl ist; sie ist be- 
stimmt und vom zweiten Grade, wenn das Polygon von ungerader 
Seitenzahl ist (Pig. 115 und 117). 

176. Hülfssatz: Schneiden sich zwei Kegelschnitte 
in den Punkten A, B, 0 und C und zieht man durch A 
und B zwei Geraden, die den ersten Kegelschnitt in P 



und G, den zweiten in P' und G' treffen, so laufen die 
Sehnen PG und P' G' in einem Punkte H der Geraden 
0 0' (Pig. 156) zusammen. 

Die Transversale 0 C trifft nämlich den ersten Kegelschnitt 
und die Gegenseiten des eingeschriebenen Vierecks A ß G F in 
sechs Punkten einer Involution (Nr. 143, links); dasselbe findet 



Fig. 1o6. 




Pappns, loc. cit.. Buch Vil, S. 117. 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



207 



am zweiten Kegelscimitt und dem eingeschriebenen Vierecke 
ABG'F' statt; die beiden Involutionen fallen aber zusammen 
(98), denn sie haben zwei Paare conjugirter Punkte gemeinschaft- 
lich: das Punktenpaar C C, in welchem die Transversale beide 
Kegelschnitte durchschneidet und das Paar derjenigen Punkte, 
in welchen die Transversale die Gregenseiten A P P' und B G G'^ 
die beiden Vierecken angehören, trifft. Jedes andere Paar con- 
jugirter Punkte wird beiden Involutionen gemeinschaftlich sein^ 
d. h. die Transversale C C wird P G und P' G' in demselben 
Punkte H schneiden, der zu ihrem Schnittpunkt mit AB conju- 
girt ist. Der vorhergehende Satz, der nur eine Polgerung des 
Lehrsatzes von Desargues ist, verhilft unmittelbar zur Lösung 
der beiden folgenden Aufgaben, von denen die eine vom ersten, 
die andere vom zweiten Grade ist. 

I. Aufgabe. Von zwei Kegelschnitten sind drei ge- 
meinschaftliche Punkte A, B, C und ausserdem vom 
ersten die Punkte D und E, vom zweiten die Punkte P 
und G gegeben; man soll den vierten Schnittpunkt der 
beiden Kegelschnitte finden (Pig. 156). 

Wir ziehen aus zwei gemeinschaftlichen Punkten A und B 
die Transversalen AP und B G, welche den ersten Kegelschnitt 
in P' und G' treffen (diese Punkte kann man mit Nr, 124 rechts 
construiren). Die Geraden P G und P' G' schneiden sich in einem 
Punkte H derjenigen Sehne, welche die beiden andern gemein- 
schaftlichen Punkte verbindet. Diese Sehne wird also HO sein; 
so dass nur noch der Punkt 0' zu construiren bleibt, in welchem 
sie die beiden Kegelschnitte trifft; der Punkt 0' wird also der 
gesuchte sein. 

II. Aufgabe. Von zwei Kegelschnitten sind zwei ge- 
meinschaftliche Punkte A und B und ausserdem vom 
ersten die drei Punkte D, E und N, vom zweiten die 
drei Punkte P, G und M gegeben; man soll noch die zwei 
übrigen Schnittpunkte bestimmen (Pig. 156). 

Wir ziehen AP und B G, welche den ersten Kegelschnitt 
in F und G' treffen; der Schnittpunkt H von P G und P' G' 
wird auf derjenigen Sehne liegen, welche die beiden gesuchten 
Punkte verbindet. Schneidet ebenso AM den ersten Kegelschnitt 
in M', so wird der Schnittpunkt K von G M und G' M' auf der- 
selben Sehne liegen. Die gesuchten Punkte liegen also auf H K 
und die Aufgabe ist darauf zurückgeführt, die Durchschnitts- 



208 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



punkte C und C der Gleraden H K mit einem der beiden Kegel- 
schnitte zu construiren (166) *). 

III. Die Construction verändert sich nicht, wenn die Punkte 
A und B unendlich nahe zusammenrücken, d. h, wenn die beiden 
Kegelschnitte dieselbe gegebene Gerade in einem gegebenen 
Punkte berühren. 

Da in diesem Falle zwei sich in einem Punkte A berührende 
Kegelschnitte gegeben sind, so erhält man die Grerade H K, welche 
die beiden Schnittpunkte C und 0' verbindet. Sollte diese Ge- 
rade durch A gehen, so müsste einer der Punkte G und C' mit 
A coincidiren, denn ein Kegelschnitt kann nicht drei Punkte in 
gerader Linie haben. Man kann dann sagen, dass von den vier 
Schnittpunkten der beiden Kegelschnitte drei in einem Punkte A 
vereinigt (oder einander unendlich nahe) sind; man sagt ferner, 
dass die beiden Kegelschnitte im Punkte A (dem Osculations- 
punkt) osculiren. Die Construction gibt einen Punkt H der- 
jenigen Geraden, welche den Punkt A mit dem vierten Schnitt- 
punkt 0 verbindet. Es kann endlich vorkommen, dass diese Ge- 
rade mit der Tangente in A coincidirt; man sagt dann, dass A 
vier zusammenfallende (oder unendlich nahe liegende) Schnitt- 
punkte der beiden Kegelschnitte vertrete. 

IV. Wenden wir jetzt den Hülfssatz auf einen gegebenen 
Kegelschnitt und einen Kreis an, der ihn in A berührt. Wir 
ziehen aus A die Normale (senkrecht zu der Tangente in A); sie 
treffe zum zweiten Mal den Kegelschnitt in P und den Kreis in 
P'; beschreiben wir über AP als Durchmesser einen Kreis; dieser 
den Kegelschnitt in A berührende, in P schneidende Kreis wird 
diese Curve in einem zweiten Punkt G schneiden und der Winkel 
AGP wird ein rechter sein. Der erste Kreis schneidet A G in 
G' ; nach dem Hülfssatze laufen P G und P' G' auf der Sehne 
HK zusammen; aber FG und F'G' sind parallel, weil der Winkel 
AG'P' auch ein rechter ist. Für alle Kreise also, welche 
den Kegelschnitt inA berühren, hat dieSehneHK eine 
constante Richtung, nämlich die Richtung FG. 

Geht die Sehne HK durch A, so osculiren der Kreis und 
der Kegelschnitt in A. Ziehen wir dann durch A die Parallele 



'"") Gaskin, The geometrical construction of a conic section etc. 
(Cambridge 1852), S. 26, 40. 



19. Aufgaben des zweiten Grades. 



209 



mi FGl, so wird sie den Kegelschnitt in C schneiden; der in A 
berührende und in C schneidende Kreis wird der Osculations- 
(Krümmungs-) Kreis in A *). 

Umgekehrt kann man den Kegelschnitt construiren, der 
durch drei gegebene Punkte A, P, Q geht und in A einen ge- 
gebenen Kreis als Osculationskreis hat. Die Greraden AP und 
A Q schneiden den gegebenen Kreis in P' und Q' ; der Schnitt- 
punkt von PQ und P'Q' sei ü. Ziehen wir AU, so wird diese 
Gerade den Kreis nochmals in 0 schneiden; der gesuchte Kegel- 
schnitt wird durch C gehen, er ist also durch die vier Punkte 
A, P, Q und C und die Tangente in A (an den Kreis) bestimmt, 

V. Der dem vorhergehenden Hülfssatz correlative Satz kann 
so ausgesprochen werden: Sind a und b zwei gemeinschaftliche 
Tangenten an zwei Kegelschnitte und werden aus zwei, auf a 
und b genommenen, Punkten die Tangenten f und g an den ersten 
und die Tangenten f und g' an den zweiten Kegelschnitt gelegt, 
so werden die Punkte f g und f g' mit dem Schnittpunkt der 
beiden ersten gemeinschaftlichen Tangenten an die gegebenen 
Kegelschnitte in gerader Linie liegen. 

Dieser Satz dient dazu, die Aufgaben zu lösen, welche denen 
von I und II correlativ sind: die gemeinschaftlichen Tangenten 
-(eine oder zwei) an zwei Kegelschnitte zu finden, deren jeder 
durch fünf gegebene Tangenten bestimmt ist, unter denen schon 
drei oder zwei, beiden Curven gemeinschaftliche sind. 

177. Aufgabe. Man gibt elf Punkte A, B, 0, D, E, A^ 
B|, Oj, Dj, E|, Pund soll punktweise de njenigenKe gel- 
schnitt construiren, der durch P und die vier (nicht ge- 
gebenen) Schnittpunkte der (nicht gezeichneten) Kegel- 
schnitte AB ODE und A^B^G^B^'E^ geht *i). 

Auflösung. Ziehen wir durch P eine beliebige Trausver- 
;sale und construiren (Nr. 166, links) die Punkte M und M', in 
welchen sie den Kegelschnitt A B G D E trifft und die Punkte 
N und N'^ in welchen sie den Kegelschnitt A, Bj Dj E^ trifft. 
-Da diese beiden Kegelschnitte, sowie der gesuchte, demselben 
Viereck umschrieben werden sollen, so werden wir den Lehrsatz 
von Desargues anwenden können. Gonstruirt man also (Nr. 102 



-"0 Poncelet, loc. cit, Nr. 334—337. 
-"-!) Poncelet, loc. cit., Nr. 389. 
L. Cremona, Elem, d. projpct Geometrie. 



14 



210 



Elemente der projecdvisclien Geometrie. 



links) den Punkt P', der dem Punkt P in der durcli die Paare: 
MM' und NN' bestimmten Involution zugeordnet ist, so wird 
P' dem gesuchten Kegelsclinitt angehören. Lässt man die Trans- 
versale sich um den Punkt P drehen, so wird man noch andere 
Punkte desselben Kegelschnittes erhalten. 

178. Aufgabe. Man gibt zehn Punkte A, B, C, D, E, A^, 
Bj , 0^ , D| , und eine Gerade man soll einen, s berüh- 
renden, Kegelschnitt construiren, der durch die vier 
(nicht gegebenen) Schnittpunkte der beiden (nicht ge- 
zeichneten) Kegelschnitte ABGDE und Aj Bj Gj D| E, geht. 

Auflösung. Construiren wir (Nr. 166, links) die Schnitt- 
punkte M und M' von s und dem Kegelschnitt ABGDE und die 
Schnittpunkte N und N' von s und dem Kegelschnitt Aj B, Gj E, 
hierauf die Doppelpunkte der durch die Paare M M' und N N' be- 
stimmten Involution. Ist P einer dieser Doppelpunkte, so wird P 
(145) der Berührungspunkt der Tangente s an denjenigen Kegel- 
schnitt sein, der einem Viereck umschrieben ist, welches von den 
vier Schnittpunkten der Kegelschnitte ABGDE und A, B, GjD^Ej 
gebildet wird; damit kommt die Aufgabe auf diejenige der vor- 
hergehenden Nummer zurück. 

179. Die correlativen Gonstructionen geben die Auflösungen 
der correlativen Aufgaben. 

Einen Kegelschnitt zu construiren, der durch einen gegebenen 
Punkt geht oder eine gegebene Gerade berührt und einem Vier- 
seit einbeschrieben ist, welches von den vier (nicht gegebenen) 
gemeinschaftlichen Tangenten an zwei (nicht gezeichnete) Kegel- 
schnitte gebildet wird, welche Kegelschnitte durch je fünf Tan- 
genten bestimmt sind. 

180. Aufgabe. Durch einen gegebenen Punkt S eine; 
Gerade zu legen, welche von vier gegebenen Geraden 

6, c, d in vier Punkten mit einem gegebenen Doppel 
verhältniss geschnitten wird. 

Auflösung. Wir haben (115) gesehen, dass alle diejenigen, 
Geraden, welche von vier gegebenen Geraden c, d in vier Punk- 
ten geschnitten werden, die ein gegebenes Doppelverhältniss bilden^ 
an denselben Kegelschnitt Tangenten sind, welcher die gegebenen 
Geraden berührt und dass, wenn D der Berührungspunkt von d^ 
und A, ß, C die Schnittpunkte von d und ö, b, c sind, das Dop- 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



211 



pelverhältniss (A B C D) gleich demjenigen der vier Punkte ist, 
in welchen die Geraden a, c, d von irgend einer andern Tan- 
gente des Kegelschnittes getroffen werden. Die Auflösung der 
Aufgabe wird also folgende sein: 

Wir construiren (54) den Punkt D der Geraden (/, welcher 
mit den Punkten fw^ = A, 6fi B, cd ~ Q das dem gege- 
benen gleiche Doppelverhältniss (A B 0 D) gibt; hierauf zeichnen 
wir (Nr. 166, rechts) diejenigen durch S gehenden Geraden, 
welche den durch die vier Tangenten et, 6, c, d und den Berüh- 
rungspunkt D auf d bestimmten Kegelschnitt berühren; jede 
dieser Geraden wird die vorgelegte Aufgabe lösen. 

Ist eine der Geraden 6, c, d unendlich ferne, so wird die 
Aufgabe zur folgenden: 

Durch einen gegebenen Punkt S eine Gerade so zu legen, 
dass die auf ihr durch drei gegebene Geraden a, 6, c abgeschnit- 
tenen Segmente (zwischen a und 6, a und c) in einem gegebenen 
Verhältniss stehen. 

Construiren wir auf a den Punkt A, welcher mit den Punk- 
ten a 6 = B, a c = 0 dem Verhältniss A B : A C den gegebenen 
Werth verleiht und ziehen aus S die Tangenten an die Parabel, 
welche durch die Tangenten a, c und den Berührungspunkt A 
auf a bestimnit ist. 

Die correlative Construction gibt die Auflösung der folgenden 
Aufgabe : 

Auf einer gegebenen Geraden s einen Punkt zu finden, aus 
welchem man vier gegebene Punkte A, B, 0, D mit Hülfe von 
vier Strahlen projiciren kann, die ein gegebenes Doppelverhältniss 
haben (54). 

181. Aufgabe. Zwei gerade projectivische Punkt- 
reihen u und u' sind gegeben; man soll zwei entspre- 
chende Segmente suchen, die man aus zwei gegebenen 
Punkten 0 und 0' unter gegebenen Winkeln sehen 
kann *). 

Auflösung. Nehmen wir anf u' zwei Punkte A' und D' der 
Art, dass der Winkel A' 0' D' dem zweiten der gegebenen Winkel 
gleich sei; mögen A und D die Punkte von u sein, welche A' und D' 

*) D. h. sind MP und M'P' die verlangten Segmente, so müssen 
die Winkel MOP und M' 0' P' der Grösse und dem Sinne nach ge- 
geben sein. 



212 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



entsprechen; bestimmen wir jetzt auf u den Punkt Aj so, dass 
der Winkel 0 D gleich dem ersten der gegebenen Winkel 
wird; ofienbar wäre die Aufgabe gelöst, wenn 0 A] mit OA zu- 
sammenfiele, denn in diesem Falle wären beide Winkel AOD 
und A'O'D' den gegebenen Winkeln gleich. Lässt man gleich- 
zeitig die Strahlen OA, 0' A', 0' D', OD, 0 A, sich verändern, 
so sind die erzeugten Büschel zu einander projectivisch. Es sind 
nämlich die von O'A' und O'D' erzeugten Büschel projectivisch^ 
ebenso die von 0 Aj und 0 D erzeugten, weil die Winkel A' 0' D' 
und Aj OD constant sind (82); auch die von 0 A und O'A' und 
von OD und O'D' erzeugten Büschel sind wegen der projectivi- 
schen Verwandtschaft von u und u' projectivisch. Folglich sind 
die von 0 A und 0 Aj erzeugten Büschel projectivisch nnd die 
entsprechend gemeinschaftlichen Strahlen lösen die Aufgabe, 
Machen wir drei dem vorigen ähnliche Versuche, so werden v/ir 
drei Paare entsprechender Strahlen OA und 0A|, OB und OB^, 
0 0 und 0 G| erhalten und construiren wir die entsprechend ge- 
meinschaftlichen Strahlen der durch diese drei Paare bestimmten 
concentrischen Strahlenbüschel (162). Trifft einer der entspre- 
chend gemeinschaftlichen Strahlen u in M, nimmt man dann auf 
u den Punkt P so , dass der Winkel MOP dem ersten der ge- 
gebenen Winkel gleich wird, nennt man hierauf M' und P' die- 
jenigen Punkte von u'^ welche M und P entsprechen, so wird 
Winkel M'O'P' dem zweiten gegebenen Winkel gleich, oder die 
Aufgabe ist gelöst. 

182. Aufgabe. Zwei projectivische Punktreihen 
= ABC. . . und u' = A' W C ... sind gegeben; man soll zwei 
entsprechende Segmente finden, welche (in Grösse und 
Sinn) mit zwei gegebenen Segmenten übereinstimmen. 

Auflösung. Nehmen wir auf u' ein Segment A'D', das dem 
zweiten gegebenen Segmente gleich ist und auf u das Segment AD, 
welches A'D' entspricht. Nehmen wir auf u den Punkt A-^ so, 
dass Af D dem ersten gegebenen Segment gleich wird, so wäre die 
Aufgabe gelöst, wenn die Punkte A und Aj zusammenfielen. Lässt 
man gleichzeitig die Punkte A, A', D', D, A^ sich verändern, 
so sind die von A u.nd A' erzengten Punktreihen projectivisch, 
sowie auch die von D und D' erzeugten Reihen (wegen der pro- 
jectivischen Verwandtschaft von u und ti' ; die von A und D be- 
schriebenen Puüktreilien, sowie die von A' und D' beschriebenen 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



213 



sind auch projectivisch , da sie durch die Bewegung constanter 
Segmente entstanden sind (77). Folglich sind auch die von A 
und A| erzeugten Punktreihen projectivisch und ihre entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkte lösen die Aufgabe. Man hat also nur 
mit Hülfe dreier Versuche drei Paare entsprechender Punkte A 
und A| , B und Bj^ , C und C| herzustellen und hierauf die ent- 
sprechend gemeinschaftlichen Punkte zu construiren (162). 

183. Der Studirende hat gewiss die Beständigkeit der Me- 
thode wahrgenommen, welche wir bei der Auflösung der vorher- 
gehenden Aufgaben angewandt haben. Sie ist allgemein, gleich- 
artig und direct; man kann sie in mehr oder weniger einfacher 
Art auf alle Aufgaben des zweiten Grades, d. h. auf alle Fragen 
anwenden, welche, algebraisch gelöst, von einer Gleichung des 
zweiten Grades oder von einer Gleichung höheren Grades ab- 
hängen würden, die auf eine solche des zweiten zurückgeführt 
werden kann. Die Methode besteht darin, dass man drei Ver- 
suche macht, welche drei Paare entsprechender Elemente zweier 
aufeinander liegender projectivisch er Gebilde liefern: die entspre- 
chend gemeinschaftlichen Elemente sind die Lösungen der Auf- 
gabe. Dieses Verfahren ist darum mit Recht eine geometrische 
Methode der falschen Position genannt worden *). 

184, Die Aufgaben des zweiten Grades (oder die auf den 
zweiten Grad reducirbaren) werden, wie alle diejenigen der niederen 
Geometrie, nur mit Hülfe des Lineals und des Cirkels, d. h. mit 
Hülfe von Durchschnitten von Geraden und Kreisen gelöst*'). 
Man kann aber andererseits jede dieser Aufgaben von der Be- 
stimmung der entsprechend gemeinschaftlichen Elemente von zwei 
übereinander liegenden projectivischen Gebilden abhängig machen, 
welche Bestimmung auf die Oonstruction der entsprechend ge- 
meinschaftlichen Punkte (162) von zwei gegebenen projectivischen 
Reihen (157) auf einem ganz beliebig angenommenen Kreise 
herauskommt. Daraus folgt, dass ein einziger, ein für allemal 
beschriebener Kreis, dazu dienen kann, alle Aufgaben des zweiten 



■"") Cliasles, Geom. sup., S. 212. 

"1) Aufgaben des ersten Grades werden solche genannt, die 
nur mit Hülfe des Lineals, d. h. mit Durchschnitten von Geraden gelöst 
werden können. Siehe Lambert, loc. cit. , S. 161-, ßrianchon, loc. 
cit., S. 6; Poncelet, loc. cit., S. 76. 



214 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Grades *), die in Bezug auf gegebene Elemente in einer festen 
Ebene (der Zeichnungsfläche) gestellt werden können, zu lösen. 
Nachdem man diesen Kreis gezogen hat, vereinfacht sich die Auf- 
gabe dahin, mit Hülfe von Projectionon und Schnitten diejenigen 
drei Punktenpaare auf den Kreis überzutragen, welche die pro- 
jectivischen Gebilde bestimmen, deren entsprechend gemeinschaft- 
lichen Elemente die Aufgabe lösen; man hat dann nur die Ge- 
rade zu ziehen, welche die Schnittpunkte der Paare der Gegen- 
seiten in dem eingeschriebenen Sechseck enthält, dessen Gegen- 
ecken die Punkte der obigen drei Paare sind (157). 

Es ist kaum nothwendig zu bemerken, dass man die Auf- 
lösung der Aufgabe nicht von den entsprechend gemeinschaftlichen 
Elementen von zwei übereinander liegenden projectivischen Ge- 
bilden abhängig machen muss, sondern dass man sie auch auf 
die Bestimmung der Doppelelemente einer Involution hinausführen 
kann (165). 

Wir haben schon in Nr. 89 ein Beispiel von dem Verfahren 
gegeben, eine Aufgabe des zweiten Grades nur mit Hülfe des 
Lineals zu lösen, indem wir voraussetzten, dass in der Zeich- 
nungsfläche ein Hülfskreis gezeichnet sei und dass man den Mit- 
telpunkt dieses Kreises kenne. Wir werden weiter unten noch 
andere Beispiele finden. 

185. Eolgende Aufgaben werden auf ähnliche Art gelöst: 
I. Man gibt (Fig. 157) zwei gerade proj ectivische 
Punktreihen u und u' und zwei andere gerade projecti- 

Fig. 157. 



vische Punktreihen v und v'; man soll durch den Punkt 
0 zwei Geraden s und s' legen, welche u und ti' in zwei 

■"■) Poncelet, loc. cit., S. 187. — Steiner, Die geometrischen Con- 
striictionen ausgeführt naittelst der geraden Linie und eines festen 
Kreises (Berlin, 1833), S. 67. Gesammelte Werke, Bd. I, 461--522. 




V 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



215 



-entsprechenden Punkten und gleichzeitig auch y und 
v' in zwei entsprechenden Punkten schneiden. 

Durch 0 ziehen wir eine Grerade, welche u' und v' in A' und 
P' schneidet; dem Punkte A' entspreche A auf dem Punkte 
P' entspreche P auf v. Die Aufgabe wäre gelöst, wenn die Ge- 
raden 0 A und 0 P zusammenfielen. Lässt man gleichzeitig diese 
-Geraden sich verändern, so beschreiben sie zwei concentrische 
projectivische Büschel (bestimmt durch drei dem eben gemachten 
ähnliche Versuche), deren entsprechend gemeinschaftliche Strahlen 
die Auflösungen der Aufgabe liefern. 

IL Man kann in der vorigen Aufgabe annehmen, dass die 
Punktreihen u und u' und ebenso v und v' aufeinander liegen. 
Lägen alle vier Punktreihen auf derselben Geraden, so könnte 
die Aufgabe so ausgesprochen werden: 

Sind auf einer Geraden zwei projectivische Punktreihen u 
und u' und noch zwei andere v und v' gegeben, so hat man zwei 
Punkte zu bestimmen, welche sowohl als Punkte von u und ii', 
als auch als Punkte von v und v' einander entsprechen. 

III. Zwischen zwei gegebene Gerade u und soll eine 
Strecke so gelegt werden, dass sie aus zwei Punkten 0 
und S unter gegebenen Winkeln gesehen wird (Fig. 158). 

Wir ziehen durch S zwei Geraden, welche u und in A 
und A| schneiden, so dass der Winkel ASA| dem zweiten ge- 

Fig, 158. 



gebenen Winkel gleich sei; dann legen wir durch 0 eine andere 
Gerade, welche u in A! schneidet und so, dass der Winkel 
A' 0 A| dem ersten gegebenen Winkel gleich wird. Die Aufgabe 
wäre gelöst, wenn OA mit 0 A' zusammenfiele. Drei Versuche 
wie derjenige, den wir soeben gemacht haben, liefern drei Paare 
entsprechender Strahlen (0 A und 0 A', OB und OB', 0 0 und 
O C) der beiden projectivischen Büschel, die entstehen würden, 




216 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



wenn man 0 A und 0 A' sich verändern Hesse; die entsprechend 
gemeinschaftlichen Strahlen 0 M und 0 N dieser Büschel geben 
die Lösungen (M Mj^ mid N N^^) der Aufgabe. 

IV. Zwei proj ectivische Punktreihen u und u' sind 
gegeben; man soll zwei entsprechende Segmente AM 
und A' M' finden, die, von zwei gegebenen entsprechen- 
den Punkten A und A' aus gemessen, in einem gegebe- 
nen Verhältniss AM : A'M' — l stehen. 

Sind A und A', B und B', C und C drei Paare entspre- 
chender Punkte von u und w', so wählen wir auf u zwei neue 
Punkte B" und 0" so, dass AB" = AA'B', AG" = X A' C\ 
Die Punkte A, B", C", . . . bestimmen eine Punktreihe., die der 
Reihe A' B' 0' . . . ähnlich (73) und darum zu ABC... projecti- 
visch ist. Die aufeinander liegenden Punktreihen A B" C" . . . 
und ABC... haben schon einen entsprechend gemeinschaftlichen 
Punkt A; der andere entsprechend gemeinschaftliche Punkt M 
(72) wird die Aufgabe lösen, denn man wird haben 

A M = A M" = l A' M'. 

Die Aufgabe ist vom ersten Grade. 

V. Zwei aufeinander liegende proj ectivische Punkt- 
reihen ABC... und A' B' C . . , sind gegeben; man soll 
ein Segment MM' finden, dessen Mittelpunkt ein gege- 
bener Punkt 0 ist. 

Wir wählen die Punkte A", B", 0" der Art, dass 0 der 
Mittelpunkt der Segmente AA", B B", CG" wird; die Punkte 
A", B", C", . . . bestimmen eine Punktreihe, welche der Reihe 
ABC... gleich und folglich zu der Reihe A'B'C ... projectivisch 
ist. Construiren wir die entsprechend gemeinschaftlichen Punkte 
der aufeinander liegenden projectivischen Punktreihen A' B' C . . o 
und A"B"C"...; ist nun M' oder M" einer der entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkte, so wird 0 die Mitte des Segmentes 
MM' sein. 

VI. Ein Segment EP ist gegeben; man soll auf EF 
zwei Punkte M und M' so bestimmen, dass das Segment 
MM' gleich einem gegebenen Segment und das Doppel- 
verhältniss (EEMM') einer gegebenen Zahl gleich sei. 

Wir wählen auf der gegebenen Geraden drei beliebige Punkte 
A, B, C; hierauf bestimmen wir die drei Punkte A', B', C so, 
dass die Doppelverhältnisse (E F A A'), (E F B B'), (EEG C') alle 
gleich dem gegebenen werden und die drei Punkte A", B", C" 



§ 19. Aufgaben des zweiten Grades. 



217 



so, dass die Segmente A A", B B C 0" dem gegebenen Segment 
gleich werden. Dann werden die Punktreilien ABC,., und 
A'B' C . . . projectivisch sein (61, 83) und ebenso die Punktreiben 
ABC... und A"B"0"... (77), also sind auch die Reihen 
A' B' 0' . . . und A" B" 0" , . , projectivisch. Haben diese Eeihen 
entsprechend gemeinschaftliche Punkte (M' oder M") und ist M 
der entsprechende Punkt in der Eeihe ABC,.., so werden das 
Segment MM' und das Doppelverhältniss (EP MM/) die gege- 
benen Werthe haben und die Aufgabe ist gelöst, 

VII, In ein gegebenes Dreieck PQR ein Rechteck 
mit gegebenem Inhalt einzubeschreiben (Pig. 159). 

Das gesuchte Rechteck sei M S T U; ziehen wir M S' parallel 
PR, so bekommen wir das Parallelogramm M S P S', das gleich 



dem Rechteck ist; wir können also die Aufgabe in folgende um- 
wandeln : 

Auf QR soll ein Punkt M der Art gefunden werden, dass, 
wenn M S und M S' beziehungsweise P Q und P R parallel ge- 
zogen werden, das Rechteck P S . P S' einem gegebenen Quadrat 
A;2 gleich wird. 

Nehmen wir einen beliebigen Punkt A auf Q R , ziehen A D 
parallel P Q und nehmen auf P Q den Punkt D' so, dass PD . PD' 
= /t2, ziehen dann D' A' parallel P R. Coincidiren die Punkte A 
und A', so ist die Aufgabe gelöst. 

Lässt man gleichzeitig die Punkte A, D, D', A' sich ver- 
ändern, so beschreiben sie eben so viele projectivische Punkt- 
reihen. Da nämlich D die aus dem unendlich fernen Punkte von 
P Q gemachte Projection des Punktes A und A' die aus dem un- 
endlich fernen Punkte von P R gemachte Projection von D' ist, 
so ist die zweite Punktreihe zur ersten perspectivisch und ebenso 



Fig. 159. 



P 




0 



218 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



die vierte znr dritten. Die zweite Punktreihe und die dritte aber 
sind projectivischj denn die Relation 

P D . P D' = Iii 

zeigt (59), dass die gleichzeitig sich verändernden Punkte D und 
D' zwei projectivische Punktreihen beschreiben, deren unendlich 
ferne Punkte denselben entsprechenden Punkt P haben *). 

Drei ähnliche Versuche geben drei solche Punktenpaare wie 
A und A'; construirt man die entsprechend gemeinschaftlichen 
Punkte, so hat man die Lösungen der Aufgabe. 

Statt den Punkt A in den drei Versuchen ganz beliebig zu 
nehmen, kann man ihm eine besondere Lage geben, welche die 
Gonstruction vereinfacht. Diese Bemerkung kann übrigens bei 
allen Aufgaben gemacht werden, welche wir untersucht haben. 
In der vorliegenden ist klar, dass, wenn der Punkt A in die un- 
endliche Perne rückt, auch seine Projection D sich unendlich ent- 
fernt, D' fällt also auf P, folglich coincidirt A' mit R; legt man 
den Punkt A in Q, so coincidirt die Projection D mit P, folglich, 
rückt D' und darum auch A' in die unendliche Ferne. So hat 
man nun zwei Versuche, die gar keine Gonstruction erfordern; 
die Paare, die sich daraus ergeben, sind aus R und dem unend- 
lich fernen Punkte, aus dem unendlich fernen Punkt und Q zu- 
sammengesetzt. Nennen wir B B' das durch einen dritten Ver- 
such sich ergebende Paar und A A' ein beliebiges Paar, so haben 
wir (59) 

Q A . RA' = QB . RB' 
und folglich, wenn M ein entsprechend gemeinschaftlicher Punkt ist, 

QM . RM =QB . RB', 

woraus die entsprechend gemeinschaftlichen Punkte gefunden 
werden können; es wird aber immer einfacher sein, auf die all- 
gemeine Gonstruction von Nr. 162 zurückzugehen; d. h. man zieht 
durch einen beliebigen Punkt 0 eines Kreises die Geraden 0 B, 
OB', GR, OQ und die Parallele zu QR, welche fünf Geraden 

'"■) Nennt man die beiden Punktreiiien u und w' und geht man auf die 
Gonstruction Nr. 67 links zurück, so sieht man, dass die Hülfsreihe u" 
ganz in unendlicher Ferne ist. Hat man also ein Paar entsprechender 
Punkte D und D' gefunden und soll zu einem andern Punkt E von 
P R = it den entspreckenden Punkt E' suchen, so hat man nur D' und 
E zu verbinden und D E' parallel D' E zu ziehen. 



§19. Aufgaben des zweiten Grades; 



219 



den Kreis zum zweitenmal in , B^', E^, Qi , I schneiden*); 
verbinden wir dann den Sclinittpnnkt von B^ und B^' I mit 
demjenigen von B| I und B|' Q| und sclineidet diese Gerade den 
Kreis in zwei Punkten (M^ , N^), so treffen die Geraden, welche 
sie aus 0 projiciren, Q E in den gesuchten entsprechend gemein- 
schaftlichen Punkten M und IST; mit ihnen ist die Aufgabe gelöst. 

VIII. Ein Polygon zu construiren, dessen Seiten 
durch eben so viele gegebene Punkte gehen u.nd dessen 
Eckpunkte, einen ausgenommen, auf eben so vielen ge- 
gebenen Geraden liegen, während der Winkel am letz- 
ten Eckpunkt einem gegebenen Winke] gleich ist. 

Es sei z. B. ein Dreieck L M N (Fig. 160) zu construiren^ 
dessen drei Seiten MN, NL, LM beziehungsweise durch 0, V, 

Fig. 160. 



U gehen, und von welchem zwei Eckpunkte M und N auf den 
Geraden u und v liegen , während der Winkel M L N eine be- 
stimmte Grösse erhält. 

Ziehen wir durch 0 eine beliebige Gerade, welche u in A 
und D in B schneidet und durch TJ die Gerade UX, welche mit 
BV einen Winkel bildet, der dem gegebenen Winkel gleich ist. 
Ist A' der Schnittpunkt von u und UX, so wäre die Aufgabe 
gelöst, wenn die Punkte A und A' zusammenfielen. Man wird 
die Lösungen der Aufgabe erhalten, indem man die entsprechend 
gemeinschaftlichen Punkte derjenigen projecti vischen Punktreihen 
construirt, in welchen u von den gleichzeitig beweglichen Strah- 
len OA, TJA' geschnitten wird. 

IX. Folgende Aufgabe ist in der vorhergehenden enthalten; 
Ein Lichtstrahl geht aus einem gegebenen Punkte 
0 und wird nacheinander auf n gegebenen Geraden , 




'"') Von diesen Punkten ist nur I in der Figur bezeichnet. 



220 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



• ■ • zurückgeworfen; man soll die ßichtung bestim= 
men, welclie man dem ursprünglichen Strahl zu geben 
hat, damit er von dem letzten zurückgeworfenen Strahl 
unter einem gegebenen Winkel A geschnitten werde. 

Trifft nämlich der einfallende Strahl 0 A| (Fig. 161) die Ge- 
rade Iii J ®° müssen nach dem Gresetze der E/eflexion der 
einfallende und der zurückgeworfene Strahl mit gleiche (ent- 



gegengesetzte)" Winkel bilden; da nun der einfallende Strahl durch 
den fixen Punkt 0 geht, so wird der zurückgeworfene Strahl 
immer durch den Punkt 0| gehen, der in Bezug auf zu 0 
symmetrisch liegt *). Ebenso wird der erste zurückgeworfene 
Strahl, nachdem er in A2 getroffen hat, nach demselben Gre- 
setz zurückgeworfen; folglich geht der zweite zurückgeworfene 
Strahl durch einen fixen Punkt O2, der in Bezug auf U2 zu 0^ 
symmetrisch liegt; und so weiter. Der ursprüngliche Strahl und 
die n aufeinander folgenden, zurückgeworfenen Strahlen, sind also 
die Seiten eines Polygons 0 A^ Ag . . . , dessen n 1 Seiten 
durch eben so viele gegebene Punkte 0, 0| , O2, . . . 0,i, gehen, 
während der Winkel A einem gegebenen Winkel gleich sein soll 
und die Scheitel der n übrigen Winkel auf n gegebenen Geraden 
W|, w^i'-* liegen sollen. 

X. Aufgabe. Ein Polygon zu construiren, dessen 
Eckpunkte auf gegebenen Geraden liegen und dessen 
Seiten aus gegebenen Punkten unter gegebenen Win- 
keln gesehen werden. 

Setzen wir voraus, es handle sich darum, ein Dreieck zu 
construiren, dessen Eckpunkte 1, 2, 3 auf gegebene Geraden W|, 

% fallen und dessen Seiten 23, 31, 12 aus den gegebenen 

D. h. Punkt Oj liegt so, dass 0 Oj senkrecht auf Vi steht und 
durch diese Gerade halbirt wird. 



Fig. 161. 




19. Aufgaben des zweiten Grades. 



221 



Punkten S, , S2, S3 unter (der Grösse und dem Sinne nach.) ge- 
gebenen Winkeln ü?| , «2? gesehen werden. Nehmen wir einen 
beliebigen Punkt A auf u.^ (Fig. 162), ziehen A Sg und machen 
den Winkel A S3 B gleich 093. Der zweite Schenkel dieses Win- 
kels schneide U2 in B. Machen wir den Winkel B S.| C gleich 
a9| ; der zweite Schenkel dieses Winkels schneide in C und 
machen wir den Winkel CS2A' gleich coi. Die Aufgabe wäre 
gelöst, wenn der zweite Schenkel S2 A' mit S2 A zusammenfiele. 
Lassen wir S.^ A sich um S2 drehen, so verändern sich gleich- 



zeitig die andern Strahlen S3A, S3B, S|B, S^G, S2C und S2A' 
und erzeugen eben so viele Büschel, die alle zu einander pro- 
jectivisch sind. Es sind nämlich die von Sg A und Sg B erzeug- 
ten Büschel jDrojectivisch (82), weil der Winkel A Sg B constant 
ist; die von Sg B und S.^ B erzeugten Büschel sind projectivisch, 
weil sie perspectivisch sind und so weiter. Die Auflösungen der 
Aufgabe werden also mit den entsprechend gemeinschaftlichen 
Strahlen derjenigen concentrischen Büschel erhalten, welche von 
S2 A und S2 A' erzeugt werden. 

Die Aufgabe wird in derselben Weise gelöst, wenn die Winkel 
in S| und S2 nicht gegebenen Winkeln gleich, sondern von Paaren 
gegebener Geraden so getheilt sein sollen, dass man in jedem 
dieser Punkte einen Büschel von vier Strahlen erhält, die ein 
gegebenes Doppelverhältniss haben. Soll in jedem der gegebenen 
Punkte S^ , S2, . der Büschel harmonisch und die gegebenen 
Strahlen rechtwinklig sein, so kann die Aufgabe so ausgedrückt 
werden (53) : 

Ein Polygon zu construiren, dessen Eckpunkte auf gegebene 
Gerade fallen und dessen Seiten aus gegebenen Punkten unter 
AVinkeln gesehen werden, deren Halbirungslinien gegeben sind. 



Flg. 162. 




Si 



222 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



XL Dieselbe Methode gibt die Auflösung der Aufgabe : 
Ein Polygon zu construireUj dessen Seiten durch ge- 
gebene Punkte gehen und dessen Winkel gegebene Seg- 
mente in gegebenen Doppelverhältnissen theilen *). 

Man erhält besondere Fälle dieser Aufgabe, indem man voraus- 
setzt, dass jeder "Winkel auf einer gegebenen Geraden ein der 
Grösse und dem Sinne nach gegebenes Segment oder ein Seg- 
ment herausschneide, welches von einem gegebenen Punkt in 
einem gegebenen Verhältniss getheilt werde 

§ 20. Pole und Polaren« 

186. Ist S ein beliebiger Punkt in der Ebene eines 
Kegelschnittes (Fig. 162 a), und zieht man durch diesen 
Punkt eine beliebige Anzahl von Transversalen, welche die 
Curve in den Punktenpaaren (A, A'), (B, B'), (G, C'),... 
schneiden, so schneiden sich nach Nr. 160 und 161 die Tan- 
gentenpaare (a, a), (6, 6'), (c, c'), ... in Punkten einer festen 
Geraden s, welche die Berührungspunkte der von S ausgehen- 
den Tangenten enthält; überdies schneiden sich die Paare 
der Geraden A B' und A' B, A G und A' C, . . . B G und B' G , . . . 
AB und A'B', A G und A'G', . . . BG und B'G, ... in Punk- 
ten von s. Man kann noch eine andere Eigenschaft der Ge- 
raden s erkennen, indem man das vollständige Viereck AA'BB' 
betrachtet: Die Gegenseiten AA' und BB' werden durch den 
Diagonalpunkt S und durch die Gerade .9, welche die beiden 
anderen Diagonalpunkte verbindet, harmonisch geschnitten 
(50); es sind also die Punkte A und A' (ebenso B und B', 
G und G', , . .) durch S und s harmonisch getrennt. 

Die so durch den beliebigen Punkt S bestimmte Gerade 
s heisst die Polare von S in Bezug auf den Kegelschnitt 
und umgekehrt heisst S der Pol der Geraden s. 

■"■) D. h. die Schenkel eines Winkels sollen eine gegebene Gerade, 
auf welcher zwei fixe Punkte A und B sind, in zwei anderen Punkten 
C und D so schneiden, dass das Doppelverhältniss (AB CD) eine gege- 
bene Zahl wird. 

-1) Chasles, Geom. sup,, S. 219—223 und Towwsend, Chapter 
on the modern Geomelry (Dublin, 1865), Bd. II, S. 257—274. 



§ 20. Pole und Polaren. 



223 



Die Polare eines gegebenen Punktes S ist also 
gleichzeitig: 1. der Ort des Schnittpunktes der 
Tangentenpaare, deren Berührungspunkte mit S in 
derselben Geraden liegen; 2. der Ort der Schnitt- 



punkte der Gegenseitenpaare eines jeden einge- 
schriebenen Vierecks, dessen Diagonalen durch S 
gehen; 3. der Ort eines durch zwei Kegelschnitt- 
punkte von S harmonisch getrennten Punktes*), 

187. Umgekehrt bestimmt eine beliebig gegebene Ge- 
rade s einen Punkt S, zu welchem sie Polare ist. Denn 
sind A und B irgend zwei Punkte des Kegelschnittes, so wer- 
den die Geraden a und b, die Tangenten in A und B sein 
sollen, jene Gerade s in zwei Punkten schneiden, aus welchen 
die zweiten Tangenten a' und 5' gezogen werden können; 
ihre Berührungspunkte seien A' und B' und S sei der Schnitt- 
punkt von AA' und BB'. Dann wird die Polare von S die 
Punkte aa' und hh' enthalten^ sie wird also mit 5 zusammen- 
fallen. 



Fig. 162Sa. 




*) Apollonius, loc. cit, Buch VIT/ 37. — Desargues, loc. cit,, 
S. 164 ff.; De la Hire, loc. cit., Buch L und II, 



224 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Kann man also aus irgend einem Punkte von s 
zwei Tangenten c und c' an den Kegelschnitt ziehen, 
so geht die Gerade CG', welche ihre Berührungs- 
punkte verbindet, durch S. 

I. Die Geraden a, a, b, h' (Fig. 162b) bilden ein um- 
schriebenes Vierseit, dessen eine Diagonale s ist; seine bei- 
den andern Diagonalen schneiden sich in S (135); zieht 



Fis. '162 b. 




man also aus einem beliebigen Punkte von s zwei 
Tangenten an den Kegelschnitt, so sind diese durch 
s und eine Gerade, die immer durch S geht, har- 
monisch getrennt (49). 

II. Das vollständige Viereck AA'BB' und das vollstän- 
dige Vierseit aa'hh' haben dasselbe Diagonaldreieck (132), 
dessen Eckpunkte S, der Schnittpunkt von A B und A' B' und 
der Schnittpunkt von AB' und A'B sind; seine Seiten sind 
s, die Verbindungslinie der Punkte ab und a'b' und die 
Verbindungslinie der Punkte ah' und a' h. Zieht man 
also aus zwei Punkten der Geraden s die Tangenten- 



§ 20. Pole und Polaren, 



225 



paare (a, a'), h'), so gehen die Diagonalen des um- 
schriebenen Vierseits aha'h' durch den Punkt S. 
Man kann z. B. auf Figur 108 zurückgehen, indem man statt 
der Buchstaben E, D, C, d, c die Buchstaben S, A', B', a\ 

Fig. 162 c. 




b' oder an der Stelle der Buchstaben G, B, C, D, 6, c, d 
die Buclistaben S, A', B, B', a\ b, b' setzt. Fig. 162 c. 

188. Ist also ein Kegelschnitt gegeben, so hat 
jeder Punkt der Ebene seine Polare und jede Ge- 
rade ihren Pol"^). Der gegebene Kegelschnitt, auf welchen 
man die Pole und die Polaren bezieht, heisst der Funda- 
mental- Kegel schnitt. 

I. Kann man aus einem Punkte der Ebene eines Kegel- 
schnittes zwei Tangenten an die Curve legen, so heisst er ein 
Aussenpunkt der Curve; er ist ein Innenpunkt, wenn 
man keine Tangente ziehen kann. Ist also "der Pol ausser- 
halb des Kegelschnittes (160), so schneidet die Polare die 
Curve (in den Berührungspunkten der von dem Pol ausgehen- 
den Tangenten). 



Desargues, loc. cit., S. 190. 
L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 



15 



226 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Ist der Pol innerhalb des Kegelschnittes, so schneidet 
die Polare den Kegelschnitt nicht. 

IL Nimmt man einen Punkt des Kegelschnittes selbst als 
Pol und lässt eine Transversale um diesen Punkt rotiren, so 
fällt einer der Schnittpunkte immer mit dem Pol zusammen 
und da der Schnittpunkt der Tangentenpaare in diesen Punk- 
ten die Polare erzeugen soll und die Tangente im Pole fest 
ist, so ist die Polare eines Punktes des Kegelschnittes die 
Tangente in diesem Punkte; oder: ist der Pol ein Punkt 
des Kegelschnittes, so ist die Polare die Tangente 
in diesem Punkte. 

III. Sind umgekehrt alle Punkte der Polare ausserhalb 
des Kegelschnittes, so ist der Pol ein Innenpunkt; ist die 
Polare eine Sekante der Curve, so ist der Pol der gemein- 
schaftliche Punkt der Tangenten in den beiden Schnittpunk- 
ten der Sekante, und ist die Polare eine Tangente, so ist der 
Pol der Berührungspunkt. 

189. In Fig. 108 soll E der Pol und F ein Punkt der 
Polaren sein. Durchschneidet die Gerade EF den Kegel- 
schnitt, so werden die beiden Schnittpunkte durch die Punkte 
E und F harmonisch getrennt Nr. 18 63; es liegt folglich einer 
dieser Punkte innerhalb, der andere ausserhalb der Curve, 
so dass auch E ein Punkt der Polaren sein wird, wenn wir F 
als Pol ansehen. 

Durchschneidet die Gerade EF den Kegelschnitt nicht, 
so wird die Berührungssehne der von E ausgehenden Tan- 
genten durch F gehen, denn diese Sehne ist die Polare von E. 

Ist also F ein Punkt der Polaren von E, so ist 
auch umgekehrt E ein Punkt der Polaren von F. 

Man kann denselben Lehrsatz auch so ausdrücken: 

Geht eine Gerade / durch den Pol einer anderen 
Geraden e, so geht auch umgekehrt e durch den Pol 
von /, 

Denn sind E und F die respectiven Pole von e und /, 
so wird, da nach Voraussetzung E auf der Polaren von F 



§ 20. Pole und Polaren. 227 

liegt, auch F auf der Polaren von E sein, d. h. e wird durcli 
F den Pol von / gehen. 

Zwei Punkte, wie E und F, deren jeder auf der Polaren 
des andern liegt, heissen in Bezug auf den Kegelschnitt 
conjugirte oder reciproke Punkte. Man nennt auch zwei 
solche Geraden, wie e und/, deren jede durch den Pol der 
andern geht, conjugirte oder reciproke Geraden. 

Man kann dem letzten Lehrsatz nun folgenden Ausdruck 
geben : 

Sind zwei Punkte reciprok, so sind auch ihre 
Polaren reciprok und umgekehrt. 

190. Derselbe Lehrsatz kann noch in einer andern 
Form erscheinen: 

Jeder Punkt der Polaren eines Punktes E hat als Polare 
eine durch E gehende Gerade. 

Jede durch den Pol einer gegebenen Geraden e gehende 
Gerade hat einen Punkt von e als Pol '^). 

Stellen wir uns mit andern Worten vor, dass ein ver- 
änderlicher Pol F eine gegebene Gerade e durchlaufe, so wird 
die Polare von F stets durch einen fixen Punkt E gehen, 
welcher der Pol der gegebenen Geraden ist; und umgekehrt, 
dreht sich eine Gerade / um einen fixen Punkt E, so be- 
schreibt der Pol von / eine gerade Linie e, welche die Polare 
des gegebenen Punktes E ist. 

Oder auch: Der Pol einer gegebenen Geraden e ist der 
Mittelpunkt desjenigen Büschels, dessen Strahlen die Polaren 
sämmtlicher Punkte von e sind und die Polare eines gege- 
benen Punktes E ist der Ort des Poles derjenigen Geraden, 
welche durch E gehen 



191. Aufgabe. Ein Pol S 
ist gegeben; man soll seine 
Polare s construiren. 

I. Sind fünf Punkte A, B, 0, 
D, E des Kegelschnittes bekannt, 



Aufgabe. Eine Gerade s 
ist gegeben- man soll ihr en 
Pol S construiren. 

Sind fünf Tangenten a, b, c, 
(i, e des Kegelschnittes bekannt, 



""■) Desargues, loc. cit., S. 191. 
Poncelet, loc. cit, Nr. 195. 



228 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



so liat man nur zwei Transver- 
salen S A und S B zu ziehen 
und die Punkte A' und B' zu 
construiren, in welchen sie die 
Curve zum zweitenmal schneiden. 
Die Gerade s, welche den Schnitt- 
punkt von A B' und A' B mit 
demjenigen von AB und A'B' 
verbindet, wird die Polare des 
gegebenen Punktes sein (169). 
(Fig. 163.) 

Fig. iC3. 




II. Setzen wir voraus, der 
Kegelschnitt sei durch fünf Tan- 
genten a, 6, c, d, 6 bestimmt 
(Fig. 165). Wir ziehen durch 
S zwei Transversalen u und v 
und construiren ihre Pole U und 
V; die Gerade UV wird die 
Polare von S sein (190). Zur 
grösseren Einfachheit ziehen wir 
die Transversale ii durch den 
Punkt a b ; nachdem die Tan- 
gente c' gezogen wurde (124), 
welche durch den Punkt u c 
geht, wird der Pol U der Schnitt- 
punkt der Diagonalen des Vier- 
seits acb c' sein, Nachdem 
ebenso die Transversale v durch 



so hat man nur durch die 
Punkte s a und sb die zweiten 
Tangenten a' und b' zu ziehen 
(Nr. 124, links). Die Diago- 
nalen des Vierseits a b a' b' wer- 
den sich in einem Punkte S 
schneiden, welcher der Pol der 
gegebenen Geraden sein wird 
(Fig. 164). 



Fig. 164. 




Setzen wir voraus, der Kegel- 
schnitt sei durch fünf Punkte 
A, B, C, D, E bestimmt (Fig. 166). 
Wir nehmen zwei Punkte U und 

V auf s und construiren ihre 
Polaren u und d. Der Punkt 
UV wird der Pol von s sein (190). 
Zur grösseren Einfachheit neh- 
men wir den Punkt U auf der 
Geraden AB; nachdem jetzt 
der Durchschnitt C des Kegel- 
schnittes mit der Geraden U C 
construirt ist, wird die Polare u 
die Verbindungslinie der Schnitt- 
punkte der Gegenseiten des Vier- 
ecks ACBC sein. Ist ebenso 

V ein Punkt der Geraden A 0 



§ 20. Pole und Polaren, 



229 



den Punkt a c z. B. gezogen 
und die Tangente b' construirt 
worden ist, welche durch den 

Fig. 165. 




Punkt V b geht, wird der Pol V 
der Schnittpunkt der Diagona- 
len des Vierseits abcb' sein. 



z.B. und wird der Schnittpunkt 
B' des Kegelschnittes mit V B 
construirt, so wird die Polare 

Fig. 166. 




V diejenige Gerade sein, welche 
die Schnittpunkte der Gregen- 

I Seiten des Vierecks ABCB' 

1 verbindet. 



192. In Fig. 166 a mögen E und F zwei reciproke Punkte 
und G der Pol der Geraden EF sein; G wird sowohl zu E 
als zu F ein reciproker Punkt sein, d. h, die drei Punkte E, 
F, G sind paarweise reciprok. Daraus folgt, dass jede Seite 
des Dreiecks EEG die Polare der Gegenecke ist und dass 
die drei Seiten paarweise reciproke Geraden sind. 

Ein solches Dreieck, wie EEG, in welchem jeder Eck- 
punkt der Pol der gegenüberliegenden Seite ist, heisst con- 
jugirtes Dreieck oder Poldreieck des Kegelschnittes. 

193. Soll ein Poldreieck construirt werden, so kann man 
einen Eckpunkt E (Fig. 166 a) beliebig wählen;, man coDstruire 
dann die Polare von E, nehme auf dieser Geraden einen beliebi- 
gen Punkt F und construire endlich die Polare von F. Diese 
wird durch E gehen, weil die Punkte E und F reciprok sind. 
Ist G der Schnittpunkt der Polaren von E und F, so werden E 



230 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



und Gr, r und Gr Paare reciproker Punkte sein, also ist E F G 
ein Poldreieck. 

Mit anderen Worten: ist E ein beliebiger Punkt und zieiit 
man durch E irgend zwei Transversalen, welche den Kegelschnitt 

Fig. 166 a, 




in A und D, B und 0 schneiden; ist ferner E der Schnittpunkt 
von AC und BD, Gr derjenige von AB und CD, so wird EEGr 
ein Poldreieck sein. 

Man könnte auch eine Gerade e beliebig nehmen, ihren Pol 
E construiren, durch E eine beliebige Gerade f ziehen, die Pole 
von e und / durch die Gerade g verbinden und das Dreieck efg 
wird ein Poldreieck sein; denn die Geraden e, f, g sind paar- 
weise reciprok. 

Nachdem eine Gerade e beliebig gewählt wurde, kann man 
die Tangentenpaare a und d, b und c aus zweien ihrer Punkte 
ziehen: verbindet f die Punkte ac und bd, und g die Punkte ab 
und cd, so wird efg ein Poldreieck sein. 

194. Mit dem eben Gesagten ist folgende Eigenschaft 
erwiesen : 

I. Die Diagonalpunkte des vollständigen Vier- 
ecks, das aus vier beliebigen Punkten eines Kegel- 
schnittes gebildet wird, sind die Eckpunkte eines 
Poldreiecks. Die Diagonalen des vollständigen Vier- 



§ 20. Pole und Polaren. 



231 



seits, das von vier beliebigen Tangenten an den 
Kegelschnitt gebildet wird, sind die Seiten eines 
Poldreiecks 

Oder auch: 

Die Diagonalpiinkte eines vollständigen Vierecks sind die 
Eckpunkte eines Poldreiecks zu jedem dem Viereck umschrie- 
benen Kegelschnitt. Die Diagonalen eines vollständigen Vier- 
seits sind die Seiten eines Poldreiecks zu jedem dem Vierseit 
eingeschriebenen Kegelschnitt. 

II. Aus den Eigenschaften der umschriebenen Vierseite 
und der eingeschriebenen Vierecke (129-^135) folgt überdies 
(Fig. 166 a): 

Ist EFG ein Poldreieck eines gegebenen Kegelschnittes und 
ABO ein derselben Ourve eingeschriebenes Dreieck, von welchem 
zwei Seiten beziehungsweise durch die Eckpunkte O und P gelien^ 
80 wird die dritte Seite B 0 durch den dritten Eckpunkt E gehen 
und jede Seite des eingeschriebenen Dreiecks wird durch den 
entsprechenden Eckpunkt des Poldreiecks und die Verbindungs- 
linie der beiden andern Eckpunkte harmonisch getheilt. 

Die drei Geraden E A, PB, CG laufen in einem Punkte D 
der Ourve zusammen, daraus folgt, dass die beiden Dreiecke col- 
linear sind; folglich schneiden sich die drei Linienpaare PG und 
BO, GE und CA, EP und AB in drei Punkten einer Geraden. 

V^ir überlassen dem Studirenden die Mühe, die correlative 
Eigenschaft auszusprechen 

195. Von den drei Eckpunkten des Dreiecks E F G ist 
immer der eine innerhalb, die beiden andern ausserhalb der 
Curve. Denn ist E ein Innenpunkt, so schneidet die Polare 
von E den Kegelschnitt nicht; folglich sind F und G Aussen- 
punkte; ist aber E ein Aussenpunkt, so schneidet die Polare 
von E die Curve und ihre Schnittpunkte sind durch F und 
G harmonisch getrennt, also liegt der eine dieser Punkte 
innerhalb, der andere ausserhalb der Curve. 

Aus dieser Eigenschaft und derjenigen von Nr. 188 sclilies- 



■"■) Desargues, loc. cit., S. 186. 
■"-!) Poncelet, loc. cit., S. 104. 



232 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



sen wir, dass zwei Seiten des Poldreiecks stets die Curve 
schneiden, die dritte aber ganz ausserhalb liegt. 

196. Setzen wir voraus, dass zwei vollständige Vierecke 
AB CD und A'B'C'D' (Fig. 167) die nämlichen Diagonal- 
punkte E, F und G haben, d. h. dass 

BC, AD, B'C, A^D' im Punkte E, 
CA, BD, CA', B'D' „ „ F, 
AB, CD, A'B', CD' „ „ G 

zusammenlaufen. 

Befindet sich z. B, Punkt A' auf AB, so muss, da A'B' 
und AB durch G gehen, auch B' auf AB liegen; da ferner AB 



Fig. 167. 
E 




D' 



oder A' B' durch die Geraden G E und G F von C D , sowie 
von CD' harmonisch getrennt sein muss, so liegen die 
Punkte C, D, C, D' auf derselben Geraden oder die acht 
Punkte A, B, C, D, A', B', C, D' liegen auf zwei Geraden 
(Fig. 167). 

Schliessen wir diesen Fall aus, d. h. setzen wir voraus^ 
dass man durch die fünf Punkte A, B, C, D, A' einen Kegel- 
schnitt legen könne, so behaupten wir, dass die Punkte B', 
C, D' auf dem nämlichen Kegelschnitt liegen (Fig. 168). Denn 
weil G der Pol von EF ist (da E, F und G die Diagonal- 
punkte des eingeschriebenen Vierecks AB CD sind), so sind 
die beiden Schnittpunkte des Kegelschnittes und der Trans- 
versalen G A' B' durch den Pol G und die Polare E F har- 
monisch getrennt; aber der eine dieser Schnittpunkte ist A', 
folglich ist der andere B'; denn weil E, F und G auch die 



26. Pole und Polaren. 



233 



Diagonalpunkte des Vierecks A'B'C'D' sind, so sind die 
Punkte A' und B' durch G und EF harmonisch getrennt. 
Man beweist ebenso, dass die Punkte C und D' dem Kegel- 
schnitte angehören. Oder: 

Haben zwei vollständige Vierecke dieselben 
Diagonalpunkte, so liegen die acht Eckpunkte ent- 
weder auf zwei Geraden oder auf einem Kegelschnitt. 



Fig. 168. 

G 




Da die Geraden AB und A'B' in G zusammentreifen, 
so schneiden sich sowohl die Geraden AA' und BB' als die 
Geraden AB' und A'B auf EF, der Polaren von G. Diese 
Eigenschaft führt zu dem Verfahren, den Punkt B' zu construi- 
ren, wenn die Punkte A, B, C, D, A' gegeben sind. Der 
Punkt G' wird als Schnittpunkt der Geraden A'F und B'E 
und der Punkt D' als Schnittpunkt der Geraden B'F, A'E 
und C'G gefunden. 

197. Ich setze jetzt voraus, dass zwei Kegelschnitte vier 
gemeinsame Tangenten a, 5, c, d haben, also demselben Vier- 
seit eingeschrieben sind. Die vier Berührungspunkte des einen 
sollen A, B, C, D, die vier Berührungspunkte des andern A', 
B', 0', D' sein. Vermöge des Lehrsatzes von Nr. 132 hat das 
von den Diagonalen des umschriebenen Vierseits ah cd ge- 
bildete Dreieck die Diagonalpunkte des eingeschriebenen Vier- 
ecks A B 0 D und ebenso die Diagonalpunkte des Vierecks 
A'B'C'D' als Eckpunkte; also haben die Vierecke AB CD 
und A'B' CD' die nämlichen Diagonalpunkte. Folglich liegen 



234 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



nach dem vorhergehenden Lehrsatze (196) die acht Punkte 
A, B, C, D, A', B', C, D' alle entweder auf zwei Geraden 
oder auf einem Kegelschnitt. 

198. Vertauscht man, wie gewöhnlich, die Punkte mit 
den Geraden, so können die correlativen Sätze bewiesen wer- 
den, d. h. : 

Haben zwei vollständige Vierseite dieselben 
drei Diagonalen, so gehen entweder die acht Seiten 
durch zwei Punkte (vier durch den einen und vier 
durch den andern) oder sie sind Tangenten an den- 
selben Kegelschnitt. 

Schneiden sich zwei Kegelschnitte in vier Punkten, so 
gehen die acht Tangenten in diesen Punkten entweder alle 
durch zwei Punkte (vier durch den einen und vier durch den 
andern) oder sie sind Tangenten an denselben Kegelschnitt '^). 

199. Gibt man die Diagonalpunkte E, F, G und einen 
Eckpunkt A eines Vierecks AB CD, so ist das Viereck voll- 
ständig bestimmt und kann construirt werden. Denn D ist 
derjenige Punkt von AE, der durch E und GF von A har- 
monisch getrennt ist; ebenso ist C derjenige Punkt von AF, 
der durch F und GE von A harmonisch getrennt ist und B 
ist derjenige Punkt von AG, der durch G und EF von A 
harmonisch getrennt ist. 

Hat man andererseits einen Kegelschnitt und ein Pol- 
dreieck EFG, so kann man auf der Curve einen Punkt A 
als Eckpunkt eines eingeschriebenen Vierecks A B 0 D neh- 
men, dessen Diagonalpunkte E, F und G sind (die andern 
Eckpunkte B, C und D sind die zweiten Schnittpunkte des 
Kegelschnittes mit den Geraden AE, AF und AG). Daraus 
folgt: 

Alle durch einen gegebenen Punkt A gehenden 
Kegelschnitte mit demselben Poldreieck EFG gehen 
durch drei andere bestimmte Punkte B, C, D. 



■"-) Staudt, loc. cit, Nr. 293. 



20. Pole und Polaren. 



235 



200. Die Aufgabe: „Den Kegelschnitt zu construiren, der 
durch zwei gegebene Punkte A und A' geht und zu welchem 
das gegebene Dreieck EFG Poldreieck ist," wird auf folgende 
Art gelöst: 

Man wird, so wie wir oben gezeigt haben, die drei Punkte 
B, C, D construiren, welche mit A ein vollständiges Viereck bil- 
den, dessen Diagonalpunkte E, P und G sind. So kennt man dann 
fünf Punkte A, A', B, 0, D des Kegelschnittes und kann mit 
Hülfe des Pascal'schen Satzes noch weitere Punkte finden. Man 
könnte auch die drei Punkte B', C, D' construiren, welche mit 
A' ein vollständiges Viereck bilden, dessen Diagonalpunkte E, 
P und G sind; die acht Punkte A, B, 0, D, A^ B', C, D' 
würden dem gesuchten Kegelschnitte angehören. 

201. Nehmen wir an, es handle sich darum, einen Kegel- 
schnitt zu beschreiben, der vier gegebene Geraden a, 6, c, d be- 
rühre und durch einen gegebenen Punkt S gehe (Pig. 169). Die 
Diagonalen des Vierseits ab c d bilden ein Poldreieck EEG des 
Kegelschnittes; construirt man also die drei Punkte P, Q, R, 

Fig. 169. 



C 

welche mit S ein Viereck bilden, dessen Diagonalpunkte E, P 
und G sind, so gehören die drei so construirten Punkte ebenfalls 
dem verlangten Kegelschnitte an. Es kann aber vorkommen, 
dass kein Kegelschnitt der Aufgabe genügt, sowie auch, dass 
zwei solche Ourven existiren (170, rechts); in diesem zweiten 
Palle also werden, da die Construction der Punkte P, Q und P 
linear ist, die beiden Kegelschnitte durch diese Punkte gehen. 
Oder: 




236 



Elemente der projectivischea Geometrie. 



Haben zwei demselben Vierseit abcd eingeschrie- 
bene Kegelschnitte einen gemeinsamen Punkt S, so 
schneiden sie sich in drei anderen Punkten P, Q und R 

♦'S ^ 

und das von den Diagonalen des umschriebenen Vier- 
seits abcd gebildete Dreieck fällt mit dem von den Dia- 
gonalpunkten des eingeschriebenen Vierecks PQRS 
gebildeten Dreieck zusammen. 

"Was nun die Gonstruction der Punkte P, Q und R und spe- 
ciell des Punktes P anbetrifft, welcher auf der Geraden E S liegt 
(Fig. 169), so bemerken wir, dass die Punkte P und S durch E 
und EG harmonisch getrennt sein müssen (186); aber die durch 
E gehende Diagonale {a b) (c d) wird ebenfalls in E und E har- 
monisch getheilt; wir haben also zwei harmonische Gebilde, die 
wegen dem entsprechend gemeinschaftlichen Punkte E perspec- 
tivisch sind , folglich laufen die Geraden P {ab), S (c d) , EG, 
welche die anderen Paare entsprechender Punkte verbinden, in 
einem Punkte zusammen (44, 62). Man muss also S mit einem 
Endpunkt einer der durch E gehenden Diagonalen, z. B. mit dem 
Punkte cd, verbinden 5 diese Gerade wird P G in einem Punkte 
treffen, den man mit dem andern Endpunkte derselben Diago- 
nalen, nämlich mit dem Punkte ab durch eine Gerade verbinden 
wird, welche E S in dem gesuchten Punkte P schneidet*). 

202. Die correlativen Sätze und Constructionen , an deren 
Beweisen der Studirende wohl thun wird, sich zu üben, sind 
die folgenden: 

Alle eine gegebene Gerade berührenden Kegel- 
schnitte, welche ein gegebenes Dreieck als Pol- 
dreieck haben, berühren drei andere bestimmte 
Geraden. 

Den Kegelschnitt zu construiren, welcher zwei gegebene Ge- 
raden berührt, und ein gegebenes Dreieck als Poldreieck hat. 

Haben zwei demselben Viereck umschriebene 
Kegelschnitte eine gemeinsame Tangente, so haben 
sie noch drei andere Tangenten gemeinsam. 

Die drei gemeinsamen Tangenten zweier Kegelschnitte zu 
construiren, welche durch vier gegebene Punkte gehen und eine 
gegebene Gerade berühren (170, links). 



") Brianchon, loc. cit., S. 45, 



— Maclaurin, De lin. Geom. § 43, 



§ 20. Pole und Polaren. 



237 



203, In Pigur 170 sei A B G D ein vollständiges Viereck, 
dessen Diagonalpunkte E, F und Gr sind; ferner seien 

L und P die Sclinittpunkte von F Gr mit A D und B 0, 
M „ Q „ „ „ „ BD „ CA, 

N „ R „ „ „ EE „ OD „ AB. 

Die seclis so erhaltenen Punkte sind die Eckpunkte eines 
vollständigen Yierseits, denn das Dreieck EEG ist zu jedem der 



Fig. '170. 




B 



Dreiecke ABC,*DGB, CDA, BAD collinear; die respectiven 
Collineationscentren sind D, A, B, 0. Daraus folgt, dass die 
vier Temen von Punkten PQR, PMN, LQN, LMR auf eben 
so vielen Geraden (Collineationsaxen) liegen. 

Diese vier Geraden bilden ein Vierseit, dessen Diagonalen 
LP, MQ, NE das Dreieck EEG bilden. Daraus folgt, dass 
der dem Viereck A B 0 D eingesckriebene und durch L gebende 
Kegelschnitt auch durch die Punkte N, P und B geht (201); so 
gibt es auch einen dem Viereck A B D C eingeschriebenen Kegel- 
schnitt, der durch B, M, N und Q, geht und einen dem Viereck 
AOBD eingeschriebenen, der durch Q, P, M und L geht. 

Eür jeden dieser Kegelschnitte sind die vier durch die Eigur 
gegebenen Tangenten (die vier Seiten des vollständigen Vierecks 
A B C D) harmonisch; folglich sind es auch die vier Berührungs- 
punkte (III, 161). Betrachten wir nämlich eine beliebige Seite 
dieses Vierecks, A B zum Beispiel, so finden wir dieselbe in den 
Punkten B und G harmonisch getheilt (das zeigt die Betrachtung 
•des vollständigen Vierecks 0 D E E) ; die Punkte A , B , G sind 
die Schnittpunkte der Tangente A B mit den drei übrigen Tan- 
genten, während B der Berührungspunkt der ersten Tangente 
ist; also werden die vier Tangenten durch eine beliebige andere 



238 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Tangente des betrachteten Kegelschnittes in vier harmonischen 
Punkten geschnitten *). 

Ist AB OD ein Parallelogramm, so rücken die Punkte E, 
G, M, Q ins Unendliche und LNPR wird auch ein Paral- 
lelogramm. Yon den drei oben betrachteten Kegelschnitten wird 
in diesem Pall der erste eine Ellipse sein, welche die Seiten 
des Parallelogramms AB CD in ihren Mittelpunkten berührt-, der 
zweite ist eine Hyperbel, welche die Seiten AB und OD in ihren 
Mittelpunkten berührt und die Asymptoten A 0 und BD hat; der 
dritte ist eine Hyperbel (mit denselben Asymptoten) , welche die 
Seiten A D und B 0 in ihren Mitten berührt. 

204. In Bezug auf ein umschriebenes Vierseit haben wir 
schon in Nr. 136 aus der Folgerung des Lehrsatzes von 
Brianchon (135) das Verfahren abgeleitet, nach welchem die 
Tangenten eines Kegelschnittes construirt werden können, 
von dem drei Tangenten a, b, c und zwei Berührungspunkte 
B und C gegeben sind (Fig. 108). Verbinden wir einen be- 
liebigen Punkt E von B C mit den Punkten ab und ac; diese 
Geraden g und / werden beziehungsweise c und b in zwei 
Punkten treffen, durch welche man nur eine Gerade zu legen 
hat, um eine Tangente d des Kegelschnittes zu bekommen. 

Die vier Tangenten a, 6, c, d bilden ein vollständiges 
Vierseit, von welchem zwei Diagonalen gf = {ab) (cd) und 
/= (ac) {bd) in E zusammentreffen; also muss (135) die 

Fig. 171. 




Berührungssehne A D der Tangenten a und d die Berührungs- 
sehne B C der Tangenten b und c ebenfalls in E schneiden. 



■"') Steiner, loc. cit, , S. 160, § 43, 4. — Staudt, Beiträge zur 
Geometrie der Lage (Nürnberg, 1856, S, 57, 60), Nr. 329. 



§ 20. Pole lind Polarei). 



239 



Die durch E und die Punkte a h und a c gezogenen Geraden 
sind zwei Diagonalen des Vierseits abcd^ also reciproke Ge- 
raden; daraus folgt (Fig. 171): 

Ist ein Dreiseit ahc einem Kegelschnitt umschrieben , so 
sind die Verbindungslinien eines beliebigen Punktes E der 
Polaren eines Eckpunktes (h c) mit den beiden andern Eck- 
punkten (a h) und (a c) reciproke Geraden. 

Oder umgekehrt: Sind zwei Geraden (c, b) Tangen- 
ten an einen Kegelschnitt, so schneiden zwei reci- 
proke Geraden (/, g), die aus einem beliebigen 
Punkt (E) der Berührungssehne gezogen werden, 
die beiden gegebenen Tangenten in Punkten, die 
einer dritten Tangente (a) angehören. 

205. Wir werden nun die correlative Eigenschaft dar- 
legen und zu dem Zwecke annehmen, es seien drei Punkte 
A, B, C eines Kegelschnittes und die Tangenten h und c in 
zweien dieser Punkte gegeben (Eig. 108). Eine durch den 
Punkt h c beliebig gezogene Gerade e trifft A B und A C in 
zwei Punkten G und F ; die Geraden G 0 und F B schneiden 
sich in einem Punkte D des Kegelschnittes. 

Die vier Punkte A, B, D , C bilden ein vollständiges 
Viereck, von welchem zwei Diagonalpunkte auf e liegen; also 
werden der Punkt h c und der Schnittpunkt der Tangenten 
in A und D auf e fallen (129). Die Punkte G und F sind 
als Diagonalpunkte des Vierecks AB CD reciprok; folglich 
(Fig. 171): 

Ist ein Dreieck ABC einem Kegelschnitt eingeschrieben, 
so sind die Punkte F und G, in welchen zwei Seiten von 
einer beliebigen durch den Pol S der dritten Seite gezogenen 
Geraden geschnitten werden, reciprok. 

Oder umgekehrt: Verbindet man zwei gegebene 
Punkte B, C eines Kegelschnittes mit zwei recipro- 
ken Punkten G, F, die mit dem Pol S der Verbin- 
dungssehne der gegebenen Punkte BC in einer Ge- 
raden liegen, so schneiden sich diese Geraden in 
einem Punkte A der Curve. 



240 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



§ 21. Centrum und Durchmesser. 

206. Nehmen wir einen unendlich fernen Punkt als Pol 
(Fig. 172) und ziehen durch diesen Pol eine Transversale, 
welche den Kegelschnitt in zwei Punkten A und A' schnei- 

Fig. 172. 




det. Das Segment AA' wird durch den Pol und einen Punkt 
der Polaren harmonisch getheilt (186); der Punkt der Polaren 
wird also die Mitte von AA' sein (52); mit anderen Worten: 

Zieht man in einem Kegelschnitt eine beliebige 
Anzahl paralleler Sehnen, so ist der Ort ihrer Mit- 
telpunkte eine Gerade und diese Gerade ist die 
Polare des unendlich fernen Schnittpunktes der 
Sehnen 

Man nennt diese Gerade Durchmesser in Bezug auf 
die Sehnen, welche er halbirt. Trifft der Durchmesser den 
Kegelschnitt in zwei Punkten, so werden diese die Berüh- 
rungspunkte der nach dem Pol gerichteten Tangenten, d. h. 
derjenigen Tangenten sein, welche den halbirten Sehnen pa- 
rallel sind. Zieht man die Tangenten an die Endpunkte A 
und A' einer dieser Sehnen, so werden sie sich in einem 
Punkte des Durchmessers schneiden. Sind AA' und BB' 
zwei halbirte parallele Sehnen, so schneiden sich die Geraden 
A B und A' B', sowie die Geraden A B' und A' B auf dem 
Durchmesser (186). 

Kann man umgekehrt aus einem Punkte des Durchmes- 



*) Apoll onius, Conic, lib. I, 46, 47, 48-, üb. II, 5, 6, 7, 
28—31, 34-37. 



21. Centrum und Diirclimesser. 



241 



sers zwei Tangenten a und a an den Kegelschnitt ziehen, 
so wird die Bemhrungssehne A A' durch den Durchmesser 
halbirt; und zieht man durch diesen Punkt eine Gerade, 
welche mit dem Durchmesser die beiden Tangenten harmo- 
nisch trennt, so wird diese Gerade den halbirten Sehnen 
parallel sein. Zieht man aus zwei Punkten des Durchmessers 
zwei Tangentenpaare a und a', h und h\ so wird die Ver- 
bindungslinie der Punkte a h und 5', sowie die Verbindungs- 
linie der Punkte a b' und a' b ebenfalls den halbirten Sehnen 
parallel sein (187). 

207. Jedem unendlich fernen Punkte, d. h. jedem Bü- 
schel paralleler Sehnen entspricht ein Durchmesser. Alle 
Durchmesser gehen durch denselben Punkt; denn sie sind 
die Polaren der Punkte einer und derselben, nämlich der un- 
endlich fernen Geraden; der Schnittpunkt der Durchmesser 
ist der Pol der unendlich fernen Geraden (190). 

208. Da die unendlich ferne Gerade eine Tangente an 
die Parabel und ihr Berührungspunkt der Pol dieser Geraden 
ist (188), so sind alle Durchmesser der Parabel unter sich 
parallel (oder nach dem unendlich fernen Punkte gerichtet) 
(207); und umgekehrt ist jede Gerade, welche die Parabel 
in unendlicher Ferne schneidet, ein Durchmesser derselben. 

209. Ist S ein beliebiger Punkt, aus welchem man zwei 
Tangenten a und a' an den Kegelschnitt ziehen kann (Fig. 172), 



so wird die Berührungssehne A A' oder die Polare von S von 
dem durch S gehenden Durchmesser in R halbirt; denn S 
und der unendlich ferne Punkt von AA' sind reciproke 



l'ig. 173. 




L. Gremona, Elem. d. project. Geometrie. 



16 



242 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Punkte. Schneidet der Durchmesser die Curve in M und M',, 
so sind die Tangenten in diesen Punkten der Sehne AA' i^a- 
rallel und eben diese Punkte sind durch den Pol S und seine 
Polare A A' harmonisch getrennt (186). 

Ist also der Kegelschnitt eine Parabel (Fig. 173), in 
welchem Falle der Punkt M' unendlich ferne rückt, so ist der 
Punkt M die Mitte des Segmentes SR oder: 

Die Gerade, welche den Mittelpunkt einer Pa- 
rabelsehne mit ihrem Pole verbindet, w^ird durch, 
die Curve halbirt '^). 

210. Ist der Kegelschnitt keine Parabel, so ist die un- 
endlich ferne Gerade nicht mehr Tangente der Curve, folg- 
lich ist der Pol dieser Geraden, oder der Schnittpunkt der 
Durchmesser, ein Punkt in endlicher Entfernung. Da zwei 
Punkte des Kegelschnittes, die mit dem Pol in einer Geraden 
liegen, durch den Pol und die Polare harmonisch getrennt 
sind (186), so ist der Pol die Mitte zwischen den beiden 
Curvenpunkten , wenn die Polare unendlich fern ist. Jede 
Sehne des Kegelschnittes also, welche durch den Pol der un- 
endlich fernen Geraden geht, wird durch diesen Punkt halbirt. 

Wegen dieser Eigenschaft heisst der Pol der unendlich 
fernen Geraden oder der Schnittpunkt der Durchmesser der 
Mittelpunkt des Kegelschnittes. 



Trägt man die allgemeinen Eigenschaften des Poles und 
der Polaren (186, 187) auf den Mittelpunkt und die unend- 
lich ferne Gerade über, so erhält man (Fig. 174): 

Sind A und A' zwei Punkte des Kegelschnittes in ge- 



Apollonius, loc. cit. , lib. I, 35. 



Fig. t74. 




§ 21. Centrum und Durchmesser. 



243 



rader Linie mit dem Centrum, so sind die Tangenten in A 
und A' parallel. 

Sind A und A', B und B' zwei Punktenpaare des Kegel- 
schnittes in gerader Linie mit dem Centrum, so sind die Ge- 
raden A B und A' B', sowie die Geraden A B' und A' B pa- 
rallel und die Figur A B A' B' ist ein Parallelogramm. 

Sind a und a zwei parallele Tangenten, so geht ihre 
Berührungssehne und die Gerade, welche den Streifen aa 
halbirt, durch den Mittelpunkt. 

Sind a und a\ h und h' zwei Paare paralleler Tangen- 
ten, so geht die Verbindungslinie der Punkte ah und a' h' 
und die Verbindungslinie der Punkte ah' und a' h durch 
das Centrum ; ist mit andern Worten a b a' h' ein umschrie- 
benes Parallelogramm, so schneiden sich die Diagonalen im 
Centrum. 

211. Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, so schneidet 
die unendlich ferne Gerade die Curve, folglich ist der Mittel- 
punkt ein Punkt ausserhalb der Curve (188), in welchem die 
Tangenten an die unendlich fernen Punkte, d. h. die Asym- 
ptoten sich schneiden (Fig. 181). 

Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, so trifft die unendlich 
ferne Gerade die Curve nicht, folglich ist der Mittelpunkt 
innerhalb der Curve (Fig. 174, 175). 

Fig. 175. 




212. Zwei Durchmesser des Kegelschnittes (Ellipse oder 
Hyperbel *) heissen conjugirte, wenn sie reciproke Geraden 



In der Parabel hat es keine Paare conjugirter Durchmesser; denn 
weil der Mittelpunkt unendlich ferne liegt, fällt der Durchmesser, 
welcher zu den durch einen gegebenen Durchmesser halbirten Sehnen pa- 
rallel ist, mit der unendlich fernen Geraden zusammen. 



244 



Elemente der projeetivisclien Geometrie. 



sind, d. h. wenn der erste durch den Pol des zweiten und 
folglich der zweite durch den Pol des ersten geht (189). 

Da der Pol eines Durchmessers der unendlich ferne 
Punkt derjenigen Sehnen ist, welche er halbirt, so ist der 
conjugirte Durchmesser 6' eines Durchmessers b parallel zu 
den durch h halbirten Sehnen: umgekehrt halbirt h' die Seh- 
nen, die parallel h sind'''). 

Zwei conjugirte Durchmesser und die unendlich ferne 
Gerade sind die Seiten eines conjugirten Dreiecks oder Pol- 
dreiecks (192), von welchem der Mittelpunkt ein Eckpunkt 
ist; die beiden andern Eckpunkte sind unendlich ferne. 

Da in einem Poldreieck zwei Seiten den Kegelschnitt 
durchschneiden, während die dritte ganz ausserhalb liegt 
(195) und weil die unendlich ferne Gerade für die Hyperbel 
eine Sekante ist, für die Ellipse aber nicht, so folgt daraus, 
dass von zwei conjugirten Durchmessern der Hyperbel nur 
ein einziger die Curve schneidet, Wcährend die Ellipse von 
allen ihren Durchmessern geschnitten wird. 

213. Aufgabe. Eünf Punkte A, B, C, D, E eines 
Kegelschnittes sind gegeben; man soll dessen Centrnm 
<3o n s truiren. 

Man hat nur die in Nr. 191 rechts H gegebene Construction 
zu wiederholen, indem man annimmt, dass die Gerade s unendlich 
ferne liege. Man wird den Punkt 0' suchen, in welchem der 
Kegelschnitt von einer durch C zu A B parallel gezogenen Ge- 
raden zum zweitenmal geschnitten wird, hierauf den Punkt B' 
bestimmen, wo der Kegelschnitt von der durch B gezogenen Pa- 
rallelen zu AC zum zweitenmal getroffen wird; die Gerade u, 
welche die Schnittpunkte der Gegenseiten des Vierecks A C B C 
verbindet und die Gerade welche die Schnittpunkte der Gegen- 
seiten des Vierecks A B C B' verbindet, w^erden sich in dem ge- 
suchten Punkte 0, dem Pol der unendlich fernen Geraden oder 
dem Oentrum des Kegelschnittes schneiden. 

Die Geraden u und v sind die in Bezug auf A B und A 0 
conjugirten Durchmesser; zieht man durch 0 die Gerade ii' pa- 



""') Apollonias, loc. cit, , üb. II, 20. 



§ 21. Centriim und Durchmesser. 



245 



rallel AB und die Gerade v' loarallel AC, so werden uu' und 
y ü' zwei Paare conjugirter Durchmesser sein. 

Ist der Kegelschnitt durch fünf Tangenten bestimmt, so findet 
man seinen Mittelpunkt durch ein Verfahren, das weiter unten 
(229) auseinandergesetzt wird. 

214, Vier Tangenten an einen Kegelschnitt bilden ein 
vollständiges . Vierseit, dessen Diagonalen die Seiten eines 
Poldreiecks sind (194). Nehmen wir an, dass diese Tangen- 
ten paarweise parallel sind (Fig. 174), so rückt eine Diago- 
nale ins Unendliche, die beiden andern sind also conjugirte 
Durchmesser (212) oder: 

In jedem Parallelogramm, das einem Kegel- 
schnitt umschrieben wird, sind die Diagonalen zwei 
conjugirte Durchmesser. 

Die Berührungspunkte der vier Tangenten bilden ein 
vollständiges Viereck, dessen Diagonalpunkte die Eckpunkte 
des Poldreiecks sind (132, 194). Ein Diagonalpunkt dieses 
Vierecks ist der Mittelpunkt des Kegelschnittes, die beiden 
andern sind unendlich ferne, d. h. die sechs Seiten des Vier- 
ecks sind die Seiten und Diagonalen eines eingeschriebenen 
Parallelogramms; die Seiten sind paarweise den Diagonalen 
des umschriebenen Parallelogramms parallel und die Diago- 
nalen schneiden sich im Centrum. 

215. Stellen wir uns umgekehrt (Fig. 174) ein beliebi- 
ges, eingeschriebenes Parallelogramm ABA'B' vor und be- 
trachten es als ein vollständiges Viereck; da seine drei Dia- 
gonalpunkte die Eckpunkte eines Poldreiecks sein müssen, 
so wird der eine Mittelpunkt des Kegelschnittes und die bei- 
den andern die unendlich fernen Punkte von zwei conjugirten 
Durchmessern sein, oder: 

In jedem einem Kegelschnitt eingeschriebenen 
Parallelogramm sind die Seiten zwei conjugirten 
Durchmessern parallel und schneiden sich die Dia- 
gonalen im Centrum. Oder auch: 

Die beiden Sehnen, welche einen veränderli- 
chen Punkt A eines Kegelschnittes mit den End- 



246 



Elemente der pi-ojectivisclien Geometrie. 



punkten eines festen Durchmessers BB' verbinden, 
sind immer zwei conjugirten Durchmessern parallel. 

216. Aus Nr, 214 schliesst man unmittelbar: Zwei pa- 
rallele Tangenten (a, a ) werden von zwei conjugirten Durch- 
messern in vier Punkten geschnitten, die mit einander ver- 
bunden, zwei andere parallele Tangenten (6, h') geben. 

Zieht man durch die Endpunkte (A, A')' eines Durch- 
messers Parallele zu zwei conjugirten Durchmessern, so treffen 
sie sich in zwei Punkten der Curve, die mit einander ver- 
bunden, einen andern Durchmesser geben. 

Sind zwei parallele Tangenten a. a' mit den Berührungs- 
punkten A und A' und eine dritte Tangente h gegeben und 
zieht man aus dem Punkte A eine Parallele zu dem durch 
a h gehenden Durchmesser, so trifft diese die dritte Tangente 
6 in ihrem Berührungspunkte B, 

Sind zwei parallele Tangenten a und a\ ihre Berührungs- 
punkte A und A' und ein anderer Punkt B des Kegelschnittes 
gegeben, so wird die Tangente in B die eine Tangente a in 
einem Punkte desjenigen Durchmessers schneiden, der pa- 
rallel A' B geht und die andere Tangente a' in einem Punkte 
desjenigen Durchmessers treffen, der parallel AB ist. 

217. Nehmen wir jetzt an, der Kegelschnitt sei ein 
Kreis (Fig. 176), d. h. der Ort des Scheitels eines rechten 

Fig. 176. 



Winkels AMB, dessen Schenkel AM und BM sich um zwei 
feste Punkte A und B drehen. Diese beweglichen Schenkel 
erzeugen zwei gleiche und darum projectivische Büschel; also 
wird die Tangente in A derjenige Strahl des ersten Büschels 




§ '21. Centrum imd Durchmesser. 



247 



sein, welcher dem Strahl BA des zweiten Büschels entspricht 
(r07). Die Tangente in A muss also mit BA einen rechten 
Winkel bilden; ebenso wird die Tangente in B auf AB senk- 
recht stehen. Da die Tangenten in A und B parallel sind, 
so ist A B ein Durchmesser und der Punkt 0, die Mitte von 
AB, ist der Mittelpunkt des Kreises (210). 

Da AB ein Durchmesser ist, so werden die Geraden 
A M und B M die Richtungen von zwei conjugirten Durch- 
messern haben, welches auch die Stellung des Punktes M sein 
mag (215); also: 

Zwei conjugirte Durchmesser des Kreises stehen 
immer senkrecht aufeinander. 

Da die Diagonalen jedes dem Kreis umschriebenen Pa- 
rallelogramms conjugirte Durchmesser sein müssen, so schnei- 
den sie sich unter einem rechten Winkel; also ist jedes 
e in em Kr eis um schrieb ene Parallelogramm ein Rhom- 
bus. In einem Rhombus ist der Abstand von zwei Gegen- 
seiten gleich demjenigen der beiden andern; wenn mr also 
in dem umschriebenen Rhombus zwei Gegenseiten verändern, 
indem wir die beiden andern festhalten, so sehen wir, dass 
der Abstand von zwei parallelen Tangenten constant ist. Der 
Abstand von zwei parallelen Tangenten ist diejenige Gerade, 
welche ihre Berührungspunkte verbindet; denn diese Gerade 
die ein Durchmesser ist, schneidet den conjugirten Durch- 
messer und die ihm parallelen Tangenten unter rechten Win- 
keln; also sind alle Durchmesser gleich. 

Die Diagonalen jedes eingeschriebenen Parallelogramms 
sind Durchmesser, diese sind aber alle gleich, folglich sind 
alle eingeschriebenen Parallelogramme Rechtecke. 

218. Hat man in irgend einem Kegelschnitt (Fig. 172) 
eine beliebige Gerade s mit dem Pol S, so werden die mit s 
parallelen Sehnen von dem durch S gehenden Durchmesser 
halbirt; denn S und der unendlich ferne Punkt von s sind 
reciproke Punkte, also geht die Polare des zweiten Punktes 
durch den ersten. Wir können auch sagen: 

Ist ein Durchmesser demjenigen zugeordnet, der 



248 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



diiTcli einen gegebenen Punkt geht, so ist er paral- 
lel zu der Polaren dieses Punktes. 

I. Schneidet der durch S gehende Durchmesser den Kegel- 
schnitt in zwei Punkten M und M', so werden diese durch 
den Pol S und die Polare s harmonisch getrennt*); ist also 
0 die Mitte Yon MM' oder der Mittelpunkt des Kegelschnittes 
und E, der Schnittpunkt dieses Durchmessers und der Po- 
laren s, so haben wir (56) 

0 S . 0 E = Öm! 

II. Daraus folgt eine Construction des halben conjugirteii 
Durchmessers der Sehne AA' eines Kegelschnittes, Yon wel- 
chem man noch drei andere Punkte gibt. Wir suchen den 
Mittelpunkt 0 (213) und verbinden ihn mit der Mitte von 
AA'; hierauf construiren wir die Tangente in A, welche OR 
in S trifft und nehmen die mittlere Proportionale OM zwi- 
schen OR und OS; OM wird der gesuchte halbe Durch- 
messer sein. 

Befindet sich 0 zwischen R und S, so dass 0 R und 0 S 
verschiedene Vorzeichen haben, so trifft der Durchmesser 0 R 
die Curve nicht; aber auch in diesem Falle wird die Länge 
OM, d. i. die mittlere Proportionale zwischen OR und OS, 
der Werth des halben conjugirten Durchmessers der 
Sehne AA' genannt. 

Eine entsprechende Definition kann für eine beliebige 
Gerade gegeben werden (223). 

III. Ist der Kegelschnitt ein Kreis, so erhalten wir wegen 
der rechtwinkligen Lage der conjugirten Durchmesser (217) 
den Satz: 

Die Polare eines beliebigen Punktes in Bezug 
auf den Kreis steht senkrecht auf dem durch den 
Pol gehenden Durchmesser. 

219. Aus dieser letzteren Eigenschaft kann man einen 
sehr wichtigen Lehrsatz ableiten. Betrachten wir die Punkte 
A, B, C,... einer geraden Punktreihe s als Pole (Fig. 177); 
die Durchmesser 0 (A, B, 0 . . .), welche sie aus dem Centrum. 

'•) Apollonius, loc. cit., I, 34, 36-, II, 29, 30. 



§ 21. Centrnm und Durchmesser. 



249 



0 des Kegelschnittes projiciren, werden einen Büschel bilden, 
der zu der Pimktreihe perspectivisch ist. Ein anderer Bü- 
schel wird von den Geraden a, 5, c... den Polaren zu A, 
B, C, . . . gebildet, denn diese letzteren gehen alle (190) durch 



denselben Punkt S, welcher der Pol von s ist und da nach 
der obigen Eigenschaft (wenn der Kegelschnitt ein Kreis ist) 
die Geraden 0 (A, B, C, . . .) beziehungsweise auf a, h, c, . . . 
senkrecht stehen, so sind die beiden Büschel gleich. Die 
Punktreihe der Pole A, B, C, . . . ist also projectivisch zu dem 
Büschel der Polaren a, 6, c... 

Dieser Schluss ist nicht nur für den Kreis, sondern ebenso 
für jeden andern Kegelschnitt wahr. Denn ein beliebig ge- 
gebener Kegelschnitt kann als Projection eines Kreises ange- 
sehen werden (113, 114); in der Projection entsprechen den 
harmonischen Gebilden eben solche Gebilde (44) ; einem Punkt 
und seiner Polaren in Bezug auf den Kegelschnitt entsprechen 
ein Punkt und seine Polare in Bezug auf den Kreis und um- 
gekehrt, einer Punktreihe von Polen und dem Büschel ihrer 
Polaren in Bezug auf den Kegelschnitt werden eine Punkt- 
reihe von Polen und der Büschel ihrer Polaren in Bezug auf 
den Kreis entsprechen; aber diese Punktreihe und dieser 
Büschel sind projectivisch, oder: 

Die von einer beliebigen Anzahl von Polen ge- 
bildete gerade Punktreihe und der Büschel ihrer 
Polaren in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt 
sind zwei pr ojecti vische Gebilde'''). 



Fig. i77. 




M 



•-'0 Möbius, loc. cit. , S. 445. 



250 



Elemente der projecti vi sehen Geometrie, 



220. Die Punkte B, C,... mögen einer Geraden s 
angehören (Fig. 178); ihre Polaren, die alle durch einen festen 
Punkt S, den Pol von s, gehen, sollen die Geraden a, c, . . . 



sein; die Schnittpunkte dieser Geraden a, 6, c, . . . mit s sollen 
A', B', G', . . . heissen. Da A und A' reciproke Punkte sind, 
so wird die Polare von A' durch A gehen und zwar wird es 
eben die Gerade S A sein, weil S zu jedem Punkt von s reci- 
prok ist. Der Büschel ah c. . . ist projectivisch zu der Punkt- 
reihe ABC... (219) und perspectivisch zu der Punktreihe 
A'B'C'...; also sind diese beiden Punktreihen projectivisch. 
In diesen beiden Punktreihen aber entsprechen sich zwei 
Punkte wie A und A' doppelt; denn betrachten wir A' als 
einen Punkt der ersten Eeihe, so schneidet seine Polare, das 
ist SA, die Gerade s im Punkte A. Also bilden die Paare 
der reciproken Punkte A A', B B', CG',... eine Involution 
(93) "^y. Hat die Involution zwei Doppelpunkte, so wird jeder 
derselben (z. B. M) ein reciproker Punkt zu sich selbst, also 
der Art sein, dass seine Polare durch den Pol selbst geht; 
also wird (188) M ein Punkt der Curve und SM die Tan- 
gente in diesem Punkte sein. 

Die Paare der Geraden a a\ b h\ c c', . . . der Polaren der 
Punkte AA, BB', CG', .•• bilden eine Involution, einmal ver- 
möge des Lehrsatzes von Nr. 219; dann aber auch, weil diese 
Geraden je e Punkte aus dem Centrum S projiciren, d. h.: 



""') Man setzt voraus, dass 5 keine Tangente an den Kegelsclmitt sei. 
Wäre Ä Tangente, so w^ürden, da A, B, C, ... beliebige Punkte dieser 
Oeraden sind, die Punkte Ä', B', C',,.. alle mit dem Beriüirungspimkte 
S zusammenfallen. 



Fig. 178. 




§ 21. Centrum und Durchmesser. 



251 



Eine beliebige Gerade (die nicht Tangente an den 
Kegelschnitt ist) enthält eine unendliche Anzahl von 
Paaren reciproker Punkte, die eine Involution 
bilden. 

Schneidet die Gerade den Kegelschnitt, so sind die beiden 
Schnittpunkte die Doppelpunkte der Involution. Der Centrai- 
punkt der Involution liegt auf demjenigen Durchmesser, der 
durch den Pol der gegebenen Geraden geht (218). 

Durch einen beliebigen Punkt (der nicht auf dem 
Kegelschnitt liegt) geht eine unendliche Anzahl von 
Paaren reciproker Geraden, welche eine Involution 
bilden. 

Ist der Punkt ausserhalb der Curve, so sind die durch 
ihn gehenden Tangenten die Doppelstrahlen der Involution, 
d. h. (96): 

Zwei Tangenten und zwei reciproke Geraden, 
die von demselben Punkte ausgehen, bilden einen 
harmonischen Büschel. 

Ist der gegebene Punkt unendlich ferne, so hat man eine 
Involution von parallelen, paarweise reciproken Geraden; ihr 
Centraistrahl ist ein Durchmesser der Curve (99). 

221. In Figur 179 sei AB OD ein einfaches, dem Kegel- 
schnitt eingeschriebenes Viereck, F der Schnittpunkt der Diago- 

Fig. 179. 




nalen A 0 und BD, E und G die Schnittpunkte der Paare der 
Gegenseiten, so werden die Punkte E, F und G paarweise 



252 



Elemente der projecti vi sehen Geomeü'ie. 



reciproke Punkte sein (193). Ans einem beliebigen Punkte I von 
E G ziehen wir die Tangenten I P und I Q an den Kegelschnitt 
und projiciren auch die Eckpunkte des Vierecks. Die beiden 
Tangenten sind durch IE und IE harmonisch getrennt, denn 
diese Geraden sind reciprok, weil E der Pol von IE ist (220). 
Die Geraden I E und I F bilden auch mit I A und I 0 eine har- 
monische Gruppe, denn die Diagonale AO des von den Geraden 
AB, BC, OD und DA gebildeten vollständigen Vierseits wird 
durch die beiden andern Diagonalen B D und E G harmonisch 
getheilt, und diese vier Strahlen sind gerade diejenigen, welche 
die vier harmonischen Punkte von A C aus dem Oentrum I pro- 
jiciren. Aus demselben Grunde trennen auch die Geraden I E 
und I F die Geraden I B und I D harmonisch. Die beiden Tan- 
genten, die Geraden lA, IC und die Geraden IB, ID sind also 
drei Paare conjugirter Geraden derselben Involution, deren Doppel- 
strahlen IE und IE sind (96). Oder: 

Lehrsatz. Ist ein Viereck einem Kegelschnitt ein- 
geschrieben und zieht man aus einem Punkte derjeni- 
gen Geraden, welche die Schnittpunkte der Paare der 



Gegenseiten verbindet, die Tangenten an die Curve 
und projicirt aus diesem Punkte die beiden Paare der 
Gegenecken, so erhält man drei Paare conjugirter 
Strahlen einer Involution. 

I. Nach der Folgerung aus dem Lehrsatz von Desargues 
(143, rechts) ist es möglich , in das Vierseit A B 0 D einen Kegel- 
schnitt zu beschreiben, der die Geraden IP und IQ berührt. 



Fig. 180. 




§ 21. Centrum und Durchmesser, 



253 



II. Die Folgerung zu dem eben bewiesenen Lehrsatz kann 
so ausgedrückt werden : 

Ist ein einfaches Vierseit A B C D einem Kegelschnitt um- 
schrieben (Fig. 180) und zieht man durch den Schnittpunkt seiner 
Diagonalen eine beliebige Transversale, so trifft sie die Ourve 
und die beiden Paare der Gregenseiten A B und CD, B C und 
A D in drei Paaren conjugirter Punkte einer Involution, 

III, Vermöge des Lehrsatzes von Desargues (143, links) 
kann man durch die beiden Schnittpunkte des Kegelschnittes und 
der Transversalen und durch die vier Eckpunkte des Vierseits 
einen Kegelschnitt legen '^'). 

222. Die Theorie der reciproken Punkte gibt eine Auf- 
lösung der Aufgabe: 

Die Durchschnitte eines durch fünf Punkte oder 
fünf Tangenten bestimmten Kegelschnittes mit einer 
gegebenen Geraden s zu construiren. 

Man nimmt auf s zwei Punkte U und V, construirt ihre Po- 
laren u, V (191) T welche s in U' und V treffen. Hat die durch 
die Paare der reciproken Punkte U U' und V Y' bestimmte In- 
volution zwei Doppelpunkte M und N, so werden diese die ge- 
suchten Schnittpunkte des Kegelschnittes mit s sein *i). 

Durch ein correlatives Verfahren wird die Aufgabe gelöst; 
Durch einen gegebenen Punkt S die Tangenten an die durch fünf 
Tangenten oder fünf Punkte bestimmte Curve zu legen. 

223. Zwei reciproke Punkte auf der Geraden s mögen A 
und A' heissen; 0 sei der Schnittpunkt von s mit dem durch den 
Pol S gehenden Durohmesser (es ist der conjugirte Durchmesser 
zu den zu s parallelen Sehnen); 0 wird der Centraipunkt der In- 
volution sein, welche auf s durch die Paare der reciproken Punkte 
gebildet wird; folglich ist 

0 A . 0 A' := const. (96). 

Schneidet s den Kegelschnitt in zwei Punkten M und l^T, so 
werden diese Punkte die Doppelelemente der Involution sein und 
man erhält: 

0 A , 0 A' = 0M^= (TnI 



^'■) Chasles, Sections coniques, Nr. 122 und 126. 
■•^) Staudt, Geometrie der Lage, Nr. 305. 



254 



Elemente der prqjectivischen Geometrie. 



Schneidet die Gerade s die Ourve nicht, so wird der con- 
stante Werth von 0 A . 0 A' negativ sein (96); in diesem Falle 
gibt es zwei conjugirte Punkte der Involution H und H' oder in 
Bezug auf den Kegelschnitt zwei reciproke Punkte, deren Mitte 
der Punkt 0 ist und 

OA.OA'=rOH.OH'=_ ÖH^= — oll'^ 

Das Segment HH' heisst die ideelle Sehne des Kegel- 
schnittes *) ; im ersten Falle dagegen ist M N eine reelle Sehne. 
jSTach dieser Definition kann man sagen, dass ein Durchmesser 
die Mittelpunkte aller reellen und ideellen Sehnen enthalte, die 
dem conjugirten Durchmesser parallel sind. 

Haben zwei Kegelschnitte eine reelle Sehne M N gemein- 
schaftlich, so ist damit gesagt, dass beide durch die Punkte M 
und N gehen. Sagt man dagegen, dass die beiden Kegelschnitte 
eine ideelle Sehne H H' gemeinschaftlich haben , so bedeutet das 
so viel, dass die Punkte H und H' in Bezug auf beide Kegel- 
schnitte reciproke Punkte sind und dass beide Durchmesser der 
zwei Kegelschnitte, welche die Pole von HH' enthalten, durch 
die Mitte von HH' gehen. 

224. Ein involutorischer Strahlenbüschel hat im Allge- 
meinen (163) ein Paar rechtwinkliger conjugirter Strahlen; 
oder : 

Durch einen beliebigen Punkt kann man immer 
ein Paar rechtwinklige reciproke Gerade ziehen, 
welche die Winkel der von dem gegebenen Punkte 
ausgehenden Tangenten halbiren, wenn j ener Punkt 
ausserhalb der Curve liegt. 

225. Nehmen wir jetzt statt des beliebigen Punktes S 
den Mittelpunkt 0 des Kegelschnittes (Hyperbel oder Ellipse); 
zwei reciproke Geraden werden zwei conjugirte Durchmesser 
sein; folglich (220): 

Die Paare conjugirter Durchmesser bilden eine 
Involution. Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, so sind die 
Asymptoten die Doppelstrahlen der Involution; damit ist auch 



*) Poncelet, loc. cit,, S. 29. 



§ 21, Ceiitrum und Durchmesser. 



255 



gesagt, dass zwei coiijiigirte Durchmesser der Hy- 
perbel immer durch die Asymptoten harmonisch ge- 
trennt sind'^). Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, so hat 
die Involution keine Doppelstrahlen. 

Betrachten wir zwei Paare conjugirter Elemente in einer 
Involution; das eine Paar ist entweder durch das andere ge- 
trennt oder nicht, folglich hat entweder die Involution ihre 
Doppel elemente oder sie hat keine solchen (98); oder: 

Von zwei Paaren conjugirter Durchmesser der 
Ellipse ist immer das eine aa durch das andere?)// 
getrennt (Fig. 175); 

Von zwei Paaren conjugirter Durchmesser der 
Hyperbel ist das eine aa' niemals durch das andere 
h h' getrennt (Fig. 181). 

226. Die Involution der conjugirten Durchmesser wird 
(224) ein Paar rechtwinklige conjugirte Durchmesser enthalten. 
Gäbe es noch ein zweites Paar, so stünde jeder Durchmesser 
auf seinem conjugirten senkrecht (163) und Hesse man in 
diesem Falle den Scheitel eines Winkels, dessen Schenkel 
durch die festen Endpunkte eines Durchmessers gehen, auf 
der Curve hingleiten, so wäre dieser Winkel immer ein Rech- 
ter (215), der Kegelschnitt wäre also ein Kreis. 



Jeder Kegelschnitt also, der weder eine Parabel noch ein 
Kreis ist, hat ein einziges Paar rechtwinkliger conjugirter 
Durchmesser, Man nennt diese beiden Durchmesser aa' die 



Fig. 181. 




^"0 De la Hire, loc. cit., Bucli II, S. 13, Corr. 4. 



256 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Axen (Fig. 175 und 181). In der Hyperbel lialbiren die 
Axen (225, 52) die Winkel der Asymptoten m. n (Fig. 181). 

Betrachtet man eine Axe als einen Durchmesser, der die 
darauf senkrechten Sehnen halbirt, so hat auch die Parabel 
eine Axe. Weil nämlich die auf der gemeinsamen Richtung 
aller Durchmesser senkrechten Sehnen zu einander parallel 
sind, so liegen ihre Mittelpunkte auf einer Geraden (206), 
welche die Axe der Parabel ist (Fig. 173). 

227. Wenn fünf Punkte eines Kegelschnittes gegeben sind, 
so wird man den Mittelpunkt 0 und zwei Paare conjugirter 
Durchmesser uu'^ vv' oonstruiren können, wie in Nr. 213 gezeigt 
wurde. Ist das eine Paar durch das andere getrennt, so wird 
der Kegelschnitt eine Ellipse sein; im entgegengesetzten Falle ist 
er eine Hyperbel (225). Construirt man in diesem zweiten Falle 
die Doppelstrahlen der durch die Paare u u' und v v' bestimmten 
Involution, so werden diese Doppelstrahlen die Asymptoten der 
Curve sein. 

Construirt man (163) im einen wie im andern Falle die recht- 
winkligen conjugirten Strahlen der Involution, so wird man die 
Axen des Kegelschnittes bekommen. 

Man kann auch die Richtung der Axen finden, ohne vorher 
den Mittelpunkt und die Paare der conjugirten Durchmesser zu 
oonstruiren *}. Zu diesem Zwecke beschreibt man den Kreis 
ABC und construirt (176, X) den vierten Schnittpunkt C dieser 
Cu.rve mit dem durch die fünf gegebenen Punkte A, B, C, F, G- 
bestimmten Kegelschnitt (Fig. 156). Eine beliebige Transversale 
wird die beiden Ourven und die Paare der Gegenseiten des ge- 
meinsamen eingeschriebenen Vierecks A B 0 C in solchen Punkten 
schneiden, welche Paare einer Involution bilden (143). Die Dop- 
pelpunkte P und Q dieser Involution, wenn es solche gibt., wer- 
den in Bezug auf beide Curven reciprok sein (96, 220), d. h. sie 
werden das gemeinsame Paar (164) derjenigen beiden Involutionen 
sein, welche von den reciproken Punkten in Bezug auf den Kreis 
und von den reciproken Punkten in Bezug auf den Kegelschnitt 
auf der Transversalen gebildet werden (220). Stellen wir uns 
vor, man habe die unendlich ferne Gerade als Transversale ge- 
nommen. Da diese Gerade den Kreis nicht schneidet, so wird 



•"■} Poncelet, loc. cit., Nr. 394. 



§ 21. Centriim und DurchmeKSsei-. 



257 



wenigstens eine dieser beiden Involutionen keine Doppelpunkte 
haben, folglich (164) sind die Punkte P und Q wirklich vor- 
handen. Da diese Punkte unendlich ferne und in Bezug auf beide 
Gurven reciprok sind, so werden sie (206, 212) die Pole von zwei 
conjugirten Durchmessern des Kreises und auch von zwei con- 
jugirten Durchmessern des Kegelschnittes sein; die conjugirten 
Durchmesser des Kreises sind aber rechtwinklig (217), also sind 
P und Q die Pole der Axen des Kegelschnittes. Dieselben Punkte 
P und Q sind auch durch jedes Paar der Gregenseiten des Vier- 
ecks A B C 0' harmonisch getrennt; daraus folgt, dass P und Q 
die unendlich fernen Punkte der Halbirungslinien derjenigen 
Winkel sind, welche von den Paaren der Gegenseiten gebildet 
werden (53), Um also die gesuchten ßichtungen der Axen zu 
erhalten, hat man nur die Halbirungslinien von einem Paar Gegen- 
seiten des Vierecks A B C C (von dem Paar A B und G C zum 
Beispiel) zu ziehen (Pig. 156). 

228. Setzen wir voraus, man habe ein vollständiges 
Vierseit qrst und einen beliebigen Punkt S (Fig. 149). Wir 
haben schon gesehen (145, rechts), dass die Stralilenpaare aa', 
hh\ welche aus S zwei Paare von Gegenecken projiciren, eine 
Involution bestimmen, in welcher die aus S an irgend einen 
dem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitt gezogenen Tan- 
genten conjugirte Strahlen sind. Nehmen wir an, die Invo- 
lution habe zwei Doppelstrahien m und n; sie werden dieses 
Tangentenpaar harmonisch trennen (96), folglich sind diese 
Doppelstrahien in Bezug auf den Kegelschnitt reciproke Ge- 
raden. Daraus folgt (170, rechts): 

Gehen zwei Kegelschnitte, die einem gegebenen Vier- 
seit eingeschrieben sind, durch einen gegebenen Punkt, 
so sind ihre Tangenten in diesem Punkte in Bezug auf 
alle, demselben Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte 
reciprok. 

Statt einen Punkt S willkürlich zu nehmen, können wir 
die Gerade m als gegeben voraussetzen; geht diese Gerade 
durch keinen Eckpunkt des Vierseits, so wird es einen ein- 
zigen Kegelschnitt geben, der die fünf Geraden m, q, r, s, t 
berührt (116). 

L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 17 



258 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Dieser Kegelsclmitt berühre m im Punkte S, so wird 
cliirch S ein zweiter Kegelsclmitt gehen, der dem Vierseit 
eingeschrieben ist; seine Tangente in S sei n. Die Geraden 
m und n werden also in Bezug auf alle dem Vierseit ein- 
geschriebenen Kegelschnitte reciprok sein; oder (189): 

Die Pole einer beliebigen Geraden m in Bezug 
auf alle demselben Vierseit eingeschriebenen Ke- 
gelschnitte liegen auf einer andern Geraden n. 

I. Da die Geraden 711 und n die Doppelstrahien der In- 
volution sind, in welcher die aus S an zwei Gegenecken ge- 
zogenen Strahlen conjugirt sind, so theilen die Geraden 
und n jede Diagonale des Vierseits harmonisch. 

IL Die correlativen Sätze heissen: 

Berührt eine Gerade zwei demselben Vierseit umschrie- 
bene Kegelschnitte, so sind die beiden Berührungspunkte in 
Bezug auf alle, demselben Vierseit umschriebenen Kegel- 
schnitte reciprok. 

Die Polaren eines gegebenen Punktes M in Bezug auf 
alle, demselben Viereck umschriebenen Kegelschnitte, gehen 

Fig. 182. 




durch einen festen Punkt N. Die beiden Punkte M und N 
trennen jedes Paar der Gegenseiten des vollständigen Vier- 
ecks harmonisch. 

III Setzen wir im ersten Lehrsatze voraus, dass die 
Gerade m unendlich fern sei, so werden die Pole von m die 
Mittelpunkte der Kegelschnitte sein (210) oder: 

Die Mittelpunkte aller, demselben Vierseit ein- 
geschriebenen, Kegelschnitte liegen auf einer Ge- 
raden (Fig. 182); diese Gerade geht durch die Mitten 
der Diagonalen des Vierseits *). 



") Newton, loc. cit, , Buch I, Lemma 25, Zus. 3. 



§ 21. Gentrum und Durchmesser. 



259 



IV. Nehmen wir im zweiten Lehrsätze an, es sei auch 
der Punkt M unendlich fern; die Polaren Yon M werden die 
conjugirten Durchmesser von denjenigen sein, die M zum 
unendlich fernen Punkte hahen; oder: 

In allen den Kegelschnitten, die einem festen Viereck 
umschriehen werden, gehen die Durchmesser, die zu einem 
der Richtung nach gegebenen conjugirt sind, durch einen 
festen Punkt. 

229. Der Lehrsatz von Newton (228) liefert ein einfaches 
Hülfsmittel ; den Mittelpunkt eines Kegelschnittes zu finden, von 
welchem fünf Tangenten &, c, e gegeben sind (Fig. 183). 
Die vier Tangenten c, d bilden em Vierseit; verbinden wir 

Fig. '183. 



0 




dem gesuchten Mittelpunkte 0 



Verwendet man je vier von den fünf Tangenten, so erhält 
man fünf Vierseite; die fünf Geraden, welche durch die Mitten 
der Diagonalen eines jeden Vierseits gehen, treffen also alle im 
Mittelpunkte 0 desjenigen Kegelschnittes zusammen, der dem Pünf- 
seit abcde eingeschrieben wird. 

Derselbe Lehrsatz dient dazu, die Richtung des Durchmes- 
sers der Parabel zu construiren, welche durch vier Tangenten «, 



260 



Elemente der projectivisohen Geometrie. 



6, c, d bestimmt ist. Denn der unendlich ferne Punkt der Ge- 
raden, welche die Mittelpunkte der Diagonalen des Vierseits ah cd 
enthält, wird der Pol der unendlich fernen Geraden sein in Bezug 
auf einen, demselben Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitt (228); 
er ist also der unendlich ferne Punkt der eingeschriebenen Pa- 
rabel. Diese gerade Verbindungslinie der Mittelpunkte ist also 
selbst ein Durchmesser der Parabel (Pig. 182). 

§ 22. ßeciprok- polare Figuren^ 

230. Ist ein Fundamental -Kegelschnitt IC gegeben und 
beschreibt ein veränderlicher Pol eine Gerade, so dreht 
sich seine Polare, wie wir schon (190) gesehen haben, um 
einen bestimmten Punkt und umgekehrt, dreht sich eine als 
Polare betrachtete Gerade um einen festen Punkt, so durch- 
läuft sein Pol eine bestimmte Gerade. 

Betrachten wir jetzt alle Tangenten einer gegebenen 
Curve G als Polaren oder stellen uns vor, dass die beweg- 
liche Polare die gegebene Curve umhülle. Ihr Pol wird eine 
andere Curve beschreiben, welche wir mit C bezeichnen 
wollen. Die Punkte von C sind also die Pole der Tangenten 
an C. 

Ich behaupte nun, dass umgekehrt die Punkte von G 
auch die Pole der Tangenten an C sind. Denn sind M' und 




N' zwei Punkte von C (Fig. 184)^ so werden ihre Polaren 
m und n zwei Tangenten an C und der Schnittpunkt m n 
wird der Pol der Sehne M'N' sein (190). Nehmen wir an, 
der Punkt W nähere sich unaufhörlich dem Punkte M'; dann 



§ 22. Reciprok - polare Figuren. 



261 



\Yird die Sehne M' N' immer mehr in die Lage der Tangente 
in M' an die Curve C rüclcen; die Gerade n wird sich gleich- 
zeitig immer melir der Lage von m nähern und der Schnitt- 
punkt mn rückt immer mehr auf den Punkt zu, in welchem 
m die Curve C berührt. Ist endlich die Entfernung M'N' 
unendlich klein geworden, so wird die Tangente in M' an C 
die Polare des Berührungspunktes von m und C geworden 
sein. Gleichwie also die Tangenten von C die Polaren der 
Punkte von C sind, so sind auch die Tangenten von C die 
Polaren der Punkte von C; berührt eine Gerade m die Curve 
C in M, so ist der Pol M' von m ein Punkt der Curve C 
und die Polare m' von M ist eine Tangente an die Curve C 
im Punkte M\ 

Zwei Curven G und C der Art, dass jede derselben der 
Ort der Pole der Tangenten und gleichzeitig auch die Um- 
hüllungscurve der Polaren der Punkte der andern ist, heissen 
reciprok-polar. 

231. Eine beliebige Gerade r trifft eine der reciproken 
Curven in Punkten; die Polaren dieser Punkte sind ebenso 
viele von dem Pole R' der Geraden r ausgehende Tangenten 
an die andere Curve. Die zweite Curve hat also ebenso viele 
von einem gegebenen Punkte R' ausgehende Tangenten , als 
die erste Curve Schnittpunkte mit der Geraden r, der Polaren 
von R' hat und umgekehrt. 

232. Setzen wir jetzt voraus, die Curve C sei ein Kegel- 
schnitt, a und h zwei seiner Tangenten ; sie werden von allen 
anderen Tangenten c, d, e, . . . in entsprechenden Punkten 
von zwei projectivischen Punktreihen geschnitten (113). Mit 
andern Worten, wir betrachten C als Umhüllungscurve der 
Geraden c, d, e,... welche die entsprechenden Punkte von 
zwei projectivischen Punktreihen a und 5 verbinden (114). 

Die Curve C wird die Pole A', B', C, D', E', . . . der 
Tangenten a, 6, c, d, e, . . . von C enthalten. Die Geraden 
A' (C, D', E', . . .) werden die Polaren der Punkte a (c, d, e,. . .) 
sein und werden einen Büschel bilden, der zu der Reihe a 



262 



Elemente der projectivisclien Greometrie. 



der Pole projectiviscli ist; ebenso werden die Geraden 
B' (C, J)\ E', ,..) die Polaren der Punkte h (c, d, e,...) sein 
und einen Büschel bilden, der zu der Punktreilie h der Pole 
projectivisch ist (219). Die beiden Punktreihen a (c.d.e...) 
und h (c.d.e...) sind aber projectiviscli, also sind es auch 
die Büschel A' (C . D' . E' . , .) und B' (C . B' . E\ . Daraus 
folgt, dass C der Ort des Schnittpunktes der entsprechenden 
Strahlen von zwei projectivischen Büscheln ist oder auch 
(114): 

Die reciprok-polar e Curve eines Kegelschnittes 
ist ein zweiter Kegelschnitt. 

233. [st ein Fundamental -Kegelschnitt IC und ein an- 
derer Kegelschnitt C gegeben, dessen reciprok- polare Curve 
G' bestimmt werden soll, so kann man fragen, ob G' eine El- 
lipse, eine Hyperbel oder eine Parabel sei. Die unendlich 
ferne Gerade ist die Polare des Centrums 0 von K, also ent- 
sprechen den unendlich fernen Punkten von G' diejenigen 
Tangenten von C, welche von 0 ausgehen. Daraus folgt, dass 
der Kegelschnitt C eine Ellipse oder eine Hyperbel sein wird, 
je nachdem der Punkt 0 innerhalb oder ausserhalb des Kegel- 
schnittes C liegt; Q' wird eine Parabel sein, wenn 0 ein Punkt 
von C ist. 

Ist A der Pol einer Geraden a in Bezug auf C und a' 
die Polare von A und A' der Pol von a in Bezug auf K, so 
wird A' der Pol von a' in Bezug auf C sein, weil einer har- 
monischen Gruppe von vier Polen eine harmonische Gruppe 
von vier Polaren entspricht (219) und umgekehrt. Also wird 
der Mittelpunkt M' von C in Bezug auf K der Pol der Ge- 
raden m sein, welche in Bezug auf G die Polare von 0 ist. 
Zwei conjugirte Durchmesser von C' werden zwei Punkten von 
m entsprechen, die in Bezug auf C reciprok sind etc. 

234. Setzen wir voraus, man gebe in der Ebene des 
Fundamental-Kegelschnittes eine Eigur (1) oder irgend eine 
Zusammenstellung von Punkten, Geraden und Curven und 
construiren wir zu jedem Punkte ihre Polare, zu jeder Ge- 



22. Reciprok - polare Figuren. 



263 



raden ilireii Pol imcl zu jeder Curve ihre reciprok- polare 
Garve. So erhalten eine neue Figur. Die beiden Figuren 
heissen reciprok-polare Figuren, weil jede von ihnen die 
Pole der Geraden der andern, die Polaren der Punkte der 
andern und die polaren Curven der Curven der andern enthält. 

Zwei reciprok-polare Figuren sind nach dem Gesetz der 
Dualität in der ebenen Geometrie (27) correlative Figu- 
ren; denn jedem Punkte der einen entspricht eine Gerade 
der andern, jeder Punktreihe der ersten entspricht ein Bü- 
schel der zweiten. Sie liegen auch in derselben Ebene; ihre 
Lagen in dieser sind bestimmt^ können aber vertauscht 
werden, weil jeder Punkt der einen Figur und die entspre- 
chende Gerade der andern an die Bedingung gebunden sind, 
dass sie in Bezug auf einen festen Kegelschnitt Pol und Po- 
lare sein müssen. Man sagt, dass sie involutorisch lie- 
gen. Zwei Figuren, die nur nach dem Gesetz der Dualität 
correlativ sind, haben dagegen in Bezug auf ihre Lage keiner- 
lei Zusammenhang '^). 

235. Enthält eine der beiden reciprok -polaren Figuren 
eine Punktreihe (von Polen), so schliesst die andere einen 
Büschel (von Polaren) ein und diese beiden entsprechenden 
Gebilde sind projectivisch (219). Wenn also die Punkte der 
Punktreihe Paare einer Involution bilden, so sind auch die 
Strahlen des entsprechenden Büschels involutorisch und den 
Doppelpunkten der ersten Involution werden die Doppelstrah- 
len der zweiten entsprechen (95). Gibt es einen Kegelschnitt 
in der einen Figur, so gibt es auch einen solchen in der an- 
dern (232); den Punkten des ersten Kegelschnittes werden 
die Tangenten des zweiten und den Tangenten des ersten die 
Punkte des zweiten entsprechen; den eingeschriebenen Poly- 
gonen der einen Figur werden die umschriebenen Polygone 
der andern entsprechen (230). Zeigt die erste Figur den Be- 
weis eines Lehrsatzes oder die Auflösung einer Aufgabe, so 
wird die zweite den Beweis des correlativen Lehrsatzes oder 



■"J Steiner, loc. cit. , S. VII der Vorrede. Ges. W. p. 234. 



264 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



die Auflösung der correlativen Aufgabe versinnliclieii, welche 
man erhält, indem man die Elemente „Punkt" und „Gerade" 
vertauscht. 

236. Lehrsatz, Die Eckpunkte von zwei Poldrei- 
ecken eines Kegelschnittes sind Punkte eines zweiten 
und ihre Seiten sind Tangenten eines dritten Kegel- 
schnittes 

In Fig. 185 seien ABO und DEP in Bezug auf den Fun- 
damental -Kegelschnitt I£ zwei Poldreiecke (192); wir beweisen 



zuerst, dass zwei von den sechs Seiten die vier übrigen in zwei 
projectivisohen Gruppen von je vier Punkten schneiden. 

Die Seite B C trifft D E und D F in und C| und die 
Seite EF trifft AB und AG in E| und Fj. Die Punkte B und 
0 sind die Pole der Geraden CA und AB- der Schnittpunkt B^ 
von B G und D E hat zur Polaren die Gerade A F , welche ihre 
Pole verbindet; ebenso hat der Schnittpunkt Gj von B G und 
DF die Polare A E. Die Gruppe der vier Pole B, G, Bj , C^ 
ist also (219) zu der Gruppe der vier Polaren A (G, B, F, E) 
projectivisch, sie ist also auch zu der Gruppe derjenigen Punkte 
F|E^FE projectivisch, in welchen diese vier Geraden von der 
Transversalen E F geschnitten werden. So hat man 



diese Gleichung beweist die Projecti vität der beiden Gruppen 
von je vier Punkten, in welchen die Geraden BG und EF 
von AB, CA, DE und FD geschnitten werden. Diese sechs 



•'0 Steiner, loc. cit., S. 308, § 60, 46. — Chasles, loc. cit. 
Nr. 215. 



Fig. 185. 




(BGB^ G^) = (F.^Ej FE) 



oder (38) 



(BGB.^GO = (E,^F^iEF) 



§ 22. Reciprok - polare Figuren. 



265 



Geraden sind die sechs Seiten der gegebenen Dreiecke, sind also 
(114, II') Tangenten an einen und denselben Kegelschnitt 

Die Pole dieser sechs G-eraden sind die sechs Eckpunkte der- 
selben Dreiecke; also sind (232) diese sechs Eckpunkte Punkte 
eines und desselben Kegelschnittes C, welcher in Bezug auf den 
Fundamental-Kegelschnitt Ä zu C reciprok-polar ist. 

I. Man kann diesen Lehrsatz auch so ausdrücken: Berührt 
der Kegelschnitt O fünf von den sechs Seiten zweier Poldreiecke 
eines und desselben Kegelschnittes M, so berührt er auch die 
sechste Seite; und der durch fünf Eckpunkte bestimmte Kegel- 
schnitt geht auch durch den sechsten. 

Daraus schliesst man : berührt ein Kegelschnitt € die Seiten 
eines Poldreiecks a b c eines andern Kegelschnittes IC. so gibt es 
unendlich viele andere Poldreiecke dieser letzteren Ourve, die der 
ersteren umschrieben sind. Denn ist d eine beliebige Tangente 
an CJ, so ziehen wir aus D, dem Pol von d in Bezug auf I£, eine 
zweite Tangente e an C; ist dann f in Bezug auf II die Polare 
des Punktes rfe, so wird d e f ein Poldreieck zu sein (193). 
Da nu.n C schon fünf Seiten 6, c, c zweier Poldreiecke der 
Ourve M. berührt, so muss € auch die sechste Seite f berühren- 
was zu beweisen war. Kann man aus dem Punkte D zwei Tan- 
genten e' und f an I£ legen, so werden die vier Geraden e, 
e', f eine harmonische Gruppe bilden, weil die Geraden e und f 
in Bezug auf M. reciprok sind (220); die Geraden <?' und f sind 
also reciprok in Bezug auf C 

Der Ort des Punktes D ist der Kegelschnitt C, d. i. die 
reciprok-polare Ourve von C in Bezu.g auf M.; folglich: 

Ist ein Kegelschnitt € einem Poldreieck eines andern Kegel- 
schnittes Ii. eingeschrieben, so ist der Ort desjenigen Punktes, 
aus welchem ein harmonischer Büschel von vier Tangenten an 
die beiden Curven € und K gezogen werden kann, ein dritter 
Kegelschnitt €)', welcher in Bezug auf K die reciprok-polare Ourve 
von C ist. 

IL Entsprechend können wir auch sagen: geht ein Kegel- 
schnitt C durch die Eckpunkte eines Poldreiecks eines anderen 
Kegelschnittes K, so ist er auch einer unbeschränkten Anzahl 
anderer Poldreiecke desselben Kegelschnittes I£ umschrieben ; und 
diejenigen Geraden, welche €' und K in zwei Paaren entspre- 
chender harmonischer Punkte schneiden, sind alle Tangenten an 



266 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



denselben Kegelschnitt welcher in Bezug auf M die reciprok- 
polare Gurve von C ist. 



237. Betrachten wir einen Kegelschnitt C und zwei um- 
schriebene Dreiecke OQ'R'und O'PS (Fig. 186). Diebeiden 
Tangenten P S und Q' R' w^erden von den vier andern Seiten 
O'P, OQ', OB', O'S in zwei entsprechenden Gruppen P QB S 



und P'Q'R'S' von zwei projecti vischen Punktreihen u und u' 
geschnitten (113); folglich sind die Strahlenbüschel 0 (P, Q, B, S) 
und 0' (P', Q', R', S'), w^elche diese Punkte beziehungs- 
weise aus 0 und 0' projiciren, ebenfalls projecti visch. Die 
Punkte P, Q', R', S, in welchen sich die entsprechenden 
Strahlen schneiden, liegen also (114) auf einem Kegelschnitte 
C, welcher durch die Projectionscentren 0 und 0' geht. Oder: 

Sind zwei Dreiecke einem Kegelschnitt um- 
schrieben, so sind sie auch einem anderen Kegel- 
schnitt eingeschrieben. 

Gehen wir dagegen von der Betrachtung des Kegelschnit- 
tes C und der eingeschriebenen Dreiecke OQ'R' und O'PS 
aus, so werden wir in ganz analoger (correlativer) Weise den 
correlativen und inversen Lehrsatz des vorhergehenden be- 
weisen : 

Sind zwei Dreiecke einem Kegelschnitt einge- 
schrieben, so sind sie auch einem andern Kegel- 
schnitt umschrieben *). 

I. Daraus folgt unmittelbar: 



"■•"} Brian clion, loc, cit., S. 35. — Steiner, loc. cit. , S, 173, § 46, II, 



Fig. 186. 

C 




0 



§ 22. Reciprok- polare Figuren. 



267 



Der Kegelschnitt, der durcli 
fünf Eckpunkte zweier einem 
andern Ivegelsclanitt mnschrie- 
benen Dreiecke gelit, geht auch 
durch den sechsten Eckpunkt. 



Der Kegelschnitt, der fünf 
Seiten zweier einem andern 
Kegelschnitt eingeschriebenen 
Dreiecke berührt, berührt auch 
die sechste Seite. 



Oder auch: 

Haben zwei Kegelschnitte eine solche Lage, dass 
dem einen ein Dreieck eingeschrieben werden kann, 
welches zugleich dem andern umschrieben ist, so 
gibt es unzählige andere Dreiecke, welche dieselbe 
Eigenschaft besitzen ''■^). 

IL Wir haben in der -Figur vier projectivisclie Gebilde: 
die beiden Punktreihen u und u\ welche die Tangenten des 
Kegelschnittes C bestimmen und die beiden Büschel 0 und 
0', welche die Punkte von C bestimmen; der Büschel 0 ist 
perspectivisch zu der Punktreihe u und auch der Büschel 0' 
liegt perspectivisch zu der Punktreihe u'. Wenn also eine 
beliebige Tangente von C die Träger u und u' in A und A' 
schneidet, so treffen die Strahlen OA und O'A' in einem 
Punkte M von C zusammen; wird, umgekehrt, ein Punkt M 
von C aus den Centren 0 und 0' projicirt, so werden die 
projicirenden Strahlen u und u' in zwei Punkten A und A' 
derselben Tangente von G schneiden. Oder: 



Drehen sich zwei Seiten eines 
veränderlichen Dreiecks AA'M 
um zwei feste Punkte 0 und 0' 
eines gegebenen Kegelschnittes, 
während die gegenüberliegenden 
Eckpunkte zwei Geraden u und 
u' und der dritte Eckpunkt den 
Kegelschnitt durchlaufen, so ist 
die dritte Seite stets Tangente 
an einen bestimmten Kegel- 
schnitt, welcher die beiden Ge- 
raden w und u' berührt. 



Wenn zwei Eckpunkte eines 
veränderlichen Dreiecks A A' M 
zwei Tangenten u und w' eines 
gegebenen Kegelschnittes durch- 
laufen, während die gegenüber- 
liegenden Seiten sich um zwei 
feste Punkte 0 und 0' drehen 
und die dritte Seite obigen Kegel- 
schnitt berührt, so durchläuft 
der dritte Eckpunkt einen be- 
stimmten Kegelschnitt, welcher 
durch die Punkte 0 und 0' geht. 



^) Poncelet, loc. cit. , Nr. 565. 



268 



Elemente der projectivischen. Geometrie. 



238. Nehmen wir an, es werden in einem Dreieck T E S 
die Seiten RS, ST, TR (Fig. 186^) von einer Transversalen 
in A', B', C geschnitten und setzen voraus, dass die Polaren 
dieser Punkte in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt IC 
(der in der Figur nicht gezeichnet ist) dieselbe Transversale 
in den Punkten A, B, C schneiden. Die drei Paare reci- 
proker Punkte AA', BB', CG' werden eine Involution bil- 



Fis:. '186,. 




den (220); folglich (103) laufen die Geraden TA, RB, SC 
in einem Punkte Q zusammen. Setzen wir des Weiteren 
voraus, es sei T reciprok zu A' und der Punkt R reciprok zu 
B', so sind TA und RB die Polaren von A' und B' (in Bezug 
auf den gegebenen Kegelschnitt K); der Schnittpunkt Q dieser 
Polaren wird folglich der Pol der Transversalen A' B' sein. 
Nun ist C ein weiterer Punkt dieser Geraden und reciprok 
zu C; seine Polare ward QC sein; QC geht aber durch S, 
folglich sind auch S und C' reciproke Punkte. Betrachten 
wir jetzt das von der Transversalen und den Seiten des Drei- 
ecks TRS gebildete vollständige Yierseit, so kommen wir zu 
dem L ehr s atze: 

Bilden die Endpunkte (T, A'), (R, B') zweier Dia- 
gonalen eines vollständigen Yierseits zwei Paare 
reciproker Punkte in Bezug auf einen gegebenen 



§ 22. Reciprok- polare Figuren. 



269 



Kegelsclinitt, so sind auch die Endpunkte (S, C) 
der dritten Diagonale in Bezug auf denselben Ke- 
gelschnitt reciprok"^'). 

1. Der correlative Lehrsatz möge übungsweise von dem 
Studirenden bewiesen werden : 

Werden zwei Paare Gegenseiten eines vollstän- 
digen Vierecks von Geraden gebildet, die in Bezug 
auf einen Kegelschnitt reciprok sind, so sind auch 
die beiden andern Seiten in Bezug auf denselben 
Kegelschnitt reciproke Geraden. 

Um dieses vollständige Viereck zu erhalten, hat man nur 
die reciprok -polare Figur des in dem Hesse'schen Lehrsatz 
betrachteten Vierseits, d, h. die Figur zu nehmen, welche 
von den Polaren der sechs Punkte (T, iV), (R, B'), (S, 0') 
gebildet wird. 

II Der folgende Satz ist eine Folgerung des eben be- 
wiesenen Lehrsatzes : 

Sind zwei Dreiecke in Bezug auf einen Kegel- 
schnitt reciprok, so sind sie coUinear 

Es sei ABC irgend ein Dreieck (Fig. 187); die Polaren 
der Eckpunkte in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt 



bilden ein anderes, zum ersten reciprokes Dreieck A' B' C, 
d. h. die Seiten des ersten sind auch die Polaren der Eck- 
punkte des zweiten. E sei der Schnittpunkt der Seiten C A 
und CA' und F derjenige von AB und A' B'. Die Punkte 



■"") Hesse, De octo punctis intersectionis trium superficierum secimdi 
ordinis (Dissertatio pro venia legendi, Regiomonti , 1840), S. 17, 
-"-1) Chasles, loc. cit, , Nr. 135. 



Fi^. '187. 




270 



Elemente der projecti vischen Geometrie, 



B und E sind reciprok, denn E liegt auf CA' der Polaren 
Yon B; ebenso sind die Punkte C und E reciprok. Wir haben 
also in dem von den Geraden BC, CA, AB und EF gebil- 
deten Vierseit zwei Paare Gegenecken B, E und C, E, welche 
in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt reciproke Pole sind; 
folglich sind es auch die beiden andern Eckpunkte, nämlich 
der Punkt A und der Schnittpunkt D der Geraden B C und 
E E; Die Polare von A , das ist B' C, geht also durch den 
Schnittpunkt D von BC und EE; mit andern Worten: die 
Paare der Gegenseiten der beiden Dreiecke ABC und A'B'C 
schneiden sich in drei Punkten D, E und E einer Geraden. 
Daraus folgt (14), dass die Verbindungslinien der Eckpunkte 
AA', BB', CG in einem Punkte 0, dem Pol von DEE, zu- 
sammenlaufen. 

IIL Combinirt man diesen Lehrsatz mit demjenigen von 
Nr. 118, so kann man folgende Eigenschaft erkennen: 

Sind zwei Dreiecke in Bezug auf einen Kegelschnitt K 
reciprok, so liegen die sechs Punkte, in welchen die Seiten 
des einen die nicht-entsprechenden Seiten des anderen schnei- 
den, auf einem Kegelschnitt G; die sechs Geraden, welche die 
Eckpunkte des einen mit den nicht entsprechenden Eck- 
punkten des andern verbinden, sind Tangenten an einen 
andern Kegelschnitt C, welcher in Bezug auf K zu C reci- 
prok-polar ist (232) '''); diese sechs Geraden sind in der That 
in Bezug auf K die Polaren der sechs obigen Punkte. 

Ist eines der beiden Dreiecke (A' B' C) dem andern 
(ABC) eingeschrieben, so fallen die drei Kegelschnitte in einen 
zusammen, welcher dem ersten Dreieck umschrieben, dem 
zweiten eingeschrieben ist (137, 139). 

IV. Zwei coUineare Dreiecke ABC und A' B' C sind ge- 
geben; man soll denjenigen Kegelschnitt construiren, in Bezug 
auf welchen sie reciprok sind. Um die Punkte zu erhalten, in 
welchen dieser Kegelschnitt z. B. die Gerade B C trifft, hat man 
nur zu beachten, dass diese Punkte die Doppelelemente derjenigen 



") Wir nennen zwei Seiten B C und B' C der beiden Dreiecke ent- 
sprechend, wenn jede dem Pol der andern gegenüberliegt. 



§ 21. Reciprok - polare Figuren. 



271 



Involution sind , in welclier B dem Schnittpunkt von B 0 und 
0' A' und 0 dem Schnittpunkt von B G und A' B' entspricht 
(220). Da die Punkte A' und B die Pole der Geraden B 0 und 
G' A' sind, so werden diese Punkte und der Durchschnitt der 
beiden Geraden die Eckpunkte eines Poldreiecks sein (192). Sollte 
es also vorkommen, dass man beim Aufsuchen der Schnittpunkte 
des Kegelschnittes und der Geraden BO und G' A', wie wir 
soeben gethan haben, zwei Invokitionen ohne Doppelelemente 
findet j so muss man daraus schliessen, dass der Kegelschnitt 
nicht vorhanden ist; denn wenn er wirklich vorhanden wäre, so 
müssten ihn zwei Seiten des Poldreiecks schneiden (195). 

Der Gollineationsmitteipunkt 0 der beiden gegebenen Drei- 
ecke (Fig. 187) ist der Pol der Gollineationsaxe DEF; die pro- 
jectivische Verwandtschaft (219) zwischen den Punkten (Polen) 
der Axe und den vom Gollineationscentrum ausgehenden Strahlen 
(Polaren) ist durch die drei Paare entsprechender Elemente D 
und AA', E und B B', P und 0 G' bestimmt; man wird darum 
mit Hülfe des Lineals die Polare (oder den Pol) eines beliebigen 
andern Punktes der Axe (eines beliebigen andern von 0 aus- 
gehenden Strahles) construiren können (66). 

Was wir soeben von dem Punkte 0 und der Gollineationsaxe 
aussagten, kann auch an irgend einem Eckpunkt des einen Drei- 
ecks und seiner Polaren (das ist die entsprechende Seite des an- 
dern Dreiecks) wiederholt werden. Denn betrachtet man z. B. 
den Eckpunkt A' und die Seite BG, so ist die projectivische 
Verwandtschaft zwischen den von A' ausgehenden Strahlen und 
den Punkten von B 0 durch die drei Paare entsprechender Ele- 
mente, A' B' und G, A' C' und B, A' 0 und D bestimmt. 

Das Vorhergehende vorausgesetzt, kann man auch die Polare 
eines beliebigen Punktes P oder den Pol einer beliebigen Geraden 
p construiren. Ist nämlich P gegeben, so können wir schon die 
Pole der Geraden PO, PA, PB, PG, PA',... construiren, 
welche alle auf einer geraden Linie X, der gesuchten Polaren 
von P liegen. Gibt man dagegen die Gerade p, so müssen die 
Polaren derjenigen Punkte, in welchen sie B G, GA, ... trifft, 
in einem Punkte, dem Pol von p, zusammenlaufen. 

Beachten wir, dass alle diese Bestimmungen von Polen und 
Polaren linear (vom ersten Grade) und von der Gonstruction des 
Eundamental-Kegelschnittes unabhängig sind, dass letztere aber 
eine Aufgabe des zweiten Grades ist, weil sie auf die Gonstruction 



272 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



der Doppelelemente einer Involution herauskommt. Die Con- 
struction der Pole und Polaren ist also immer möglicli, auch 
wenn der Fundamental -Kegelschnitt gar nicht existirt. Mit an- 
dern Worten: die beiden gegebenen coUinearen Dreiecke be- 
stimmen zwischen den Punkten und Geraden der Ebene eine 
solche reciproke (involutorisch liegende, 234) Verwandtschaft, 
dass jedem Punkte eine Gerade, jeder Geraden ein Punkt ent- 
spricht, dass den Strahlen eines Büschels die Punkte einer Punkt- 
reihe entsprechen, die zu dem Büschel projectivisch ist und um- 
gekehrt. Wir wollen übereinkommen, einen beliebigen Punkt 
und die ihm entsprechende Gerade Pol und Polare und diese 
Gesammtheit von Polen und Polaren, welche alle Eigenschaften 
derjenigen besitzt, die durch einen Fundamental - Kegelschnitt 
(188) bestimmt ist, ein Polarsystem zu lieissen. 

Zwei coUineare Dreiecke bestimmen also ein Polarsystem. 
Existirt ein Fundamental-Kegelschnitt, so ist er der Ort der Pole, 
die auf ihren bezüglichen Polaren liegen und auch die Umhül- 
lungscurve der Geraden, die durch ihre bezüglichen Pole gehen. 
Existirt kein Fundamental -Kegelschnitt, so gibt es auch keinen 
Pankt, der auf seiner eigenen Polaren liegt *). 

§ 23. Folgeriiiigeii und Constnictioiieii, 

239, Setzen wir voraus, dass in dem Lehrsatze von Nr. 205 
die Eckpunkte B und C des eingeschriebenen Dreiecks ABO 
die unendlich fernen Punkte der Hyperbel sind; dann wird S 
(Fig. 171) der Mittelpunkt der Ourve sein und der Lehrsatz wird 
folgender : 

Zieht man aus einem Punkte der Hyperbel die Parallelen zu 
den Asymptoten, so treiben sie einen beliebigen Durchmesser in 
zwei reciproken Punkten F und G; oder auch: 

Zieht man durch zwei reciproke Punkte, die mit 
dem Centrum der Hyperbel in einer Geraden liegen, die 
Parallelen zu den Asymptoten, so müssen sie sich auf 
der Gurve schneiden. 

Hierau.s ergibt sich ein Verfahren, die Hyperbel punktweise 
zu construiren, wenn die Asymptoten und ein Punkt M gegeben 
sind. Man nimmt auf der Geraden SM, welche den Schnittpunkt 



•••) Staudt, loc. cit., Nr. 241. 



§ 23, Folgerungen und Coastvuctionen. 



273 



S der Asymptoten mit dem gegebenen Punkte M verbindet, zwei 
conjugirte Punkte der durch den Gentralpunkt S und den Doppel- 
punkt M bestimmten Involution ; diese Punkte sind in Bezug auf 
den Kegelschnitt reciprok (220); legt man also durch sie Paral- 
lele zu den Asymptoten, so werden die Eckpunkte des entstan- 
denen Parallelogramms Punkte der zu construirenden Curve sein. 

240. Wenden wir in gleicher Weise den Lehrsatz von 
Nr. 204 auf die Hj^perbel an, indem wir voraussetzen, dass die 
Seiten b und c des umschriebenen Dreiecks a h c die Asym- 
ptoten seien: 

Zieht man irgend zwei parallele Geraden (f, g) durch die 
Schnittpunkte der Asymptoten mit einer beliebigen Tangente der 
Hyperbel, so sind diese Geraden reciprok; oder auch: 

Zwei parallele reciproke Geraden schneiden die 
Asymptoten in zwei Punkten, v/elche derselben Tan- 
gente der Hyperbel angehören. 

Man leitet hieraus ein Verfahren ab, die Tangenten einer 
Plyperbel zu construiren, wenn die Asymptoten b und c und eine 
Tangente m gegeben sind. Zu diesem Zwecke hat man nur pa- 
rallel zu m zwei conjugirte Geraden derjenigen Involution (99) zu 
ziehen, in welcher m ein Doppelstrahl und der parallele Durch- 
messer der Centrälstrahl ist, Diese beiden Geraden sind in Be- 
zug auf den Kegelschnitt reciprok; verbindet man also ihre 
Schnittpunkte mit den Asymptoten mit einander, so wird man 
zwei Tangenten der Gurve haben. 

241. Zwei beliebige Punkte einer Parabel mögen B und 0 
sein: A sei der Schnittpunkt der Ourve mit demjenigen Durch- 
messer, der durch die Mitte von B C geht. Zwei reciproke Punkte 
auf diesem Durchmesser, d. h. zwei Punkte, die gleich weit von 
A entfernt sind (106), heissen F und G; vermöge des Lehrsatzes 
von Nr. 205 schneiden sich die Geraden PB und CG, sowie die 
Geraden B G und C P in Punkten der Curve . 

Daraus folgt die punktweise Construction der Parabel, die 
einem Dreieck ABO umschrieben ist und die eine von A nach 
der Mitte von B C gezogene Gerade zum Durchmesser hat. 

Nehmen wir auf der Sehne B C zwei reciproke Punkte H 
und H'j d. h. solche Punkte, die durch B und G harmonisch ge- 
trennt sind. Da die Punkte H und H' mit dem Pol des durch 
L. Cremona, Eiern, d. project. Geometrie. 18 



274 



Elemente der projectivi sehen Geometrie. 



A gehenden Durchmessers in gerader Linie sind, so werden wir 
mit Anwendn.ng des Lehrsatzes von Nr. 205 einen Punkt der 
Parabel erhalten, indem wir den Durchschnitt von A H mit dem 
durch H' gehenden Durchmesser construiren (einen zweiten Punkt 
im Durchschnitt von A H' mit dem Durchmesser durch H). So 
ergibt sich ein neues Mittel, pu.nktweise die Parabel zu construi- 
ren, die den oben gegebenen Bedingungen entspricht. 

242. Im Lehrsatz von Nr. 204 sei die Tangente c unendlich 
ferne; dann folgt: 

Sind a und b zwei Tangenten einer Parabel und zieht man 
durch einen beliebigen Punkt des zu a conjugirten Durchmessers 
zwei reoiproke Gleraden, von denen eine durch den Punkt ab 
geht, so ist die andere parallel b und umgekehrt. 

So erhalten wir eine Methode, mit Hülfe der Tangenten die 
Parabel zu construiren, von welcher zwei Tangenten a und t, 
der Berührungspunkt A von a mid die Richtung der Durchmesser 
gegeben sind. Wir ziehen durch A den Durchmesser *) ; er wird 
t in 0 treffen; die zweite durch 0 gezogene Tangente t' wird 
diejenige Gerade sein, welche durch den Durchmesser OA und 
die Parallele zu a von t harmonisch getrennt ist. Ziehen wir nun 
durch 0 zwei reciproke Geraden, d. h. zwei Geraden h und h\ 
welche t nnd i' harmonisch trennen ; die durch den Punkt h a ge- 
zogene Parallele zu h' und die durch den Punkt h' a gezogene 
Parallele zu h werden Tangenten an die gesuchte Parabel sein. 

243. Wird in dem Lehrsatz von Nr. 204 vorausgesetzt, es 
sei die Gerade a unendlich ferne und die Geraden b und c zwei 
Tangenten der Parabel, so ergibt sich: 

Die durch einen Punkt der Berührungssehne gezogenen Pa- 
rallelen zu zwei Tangenten der Parabel sind reciprok. Durch 
Anwendung desselben Lehrsatzes haben wir also: 

Zieht man durch einen Punkt der Berührungssehne 
zweier Tangenten b und c einer Parabel zwei Geraden, 
h parallel zu b und h' parallel zu c, so wird die Verbin- 
dungslinie der Punkte hc und k' b eine Tangente an die 
Crrrve sein 



■"') D, i. die Polare des unendlich fernen Punktes von a. 
'■'1) De la Hire, loc. cit,, Buch III, S. 21. 



§ 23. Folgerungen und Constnictionen. 



275 



Daraus ergibt sich eine Oonstrnction der Tangenten an eine 
Para,be], welche durch zwei Tangenten und ihre Berührungspunkte 
"bestimmt ist. 

244. Setzen wir voraus, im Lehrsatz von Nr. 205 sei 
das eingeschriebene Dreieck A M, d. h, es liegen zwei Eck- 
piinlrte A und A^ in gerader Linie mit dem Centrum 0 des 
Kegelschnittes (Ellipse oder Hyperbel Fig. 188); der Pol der 
Seite AAj wird der unendlich ferne Schnittpunkt der durch 
den Durchmesser AA^ halbirten Sehnen sein. Dieser Lehr- 
satz (205) wird dann: 

Gerade Lini en, welche aus zwei reciproken Punk- 
ten P und P' nach den Endpunkten A und A^ des- 



jenigen Durchmessers gezogen werden, dessen con- 
jugirter Durchmesser parallel P P' ist, schneiden 
sich auf dem Kegelschnitt. 

L Die analog P P' genommenen Paare reciproker Punkte 
auf dem A A^ zugeordneten Durchmesser bilden eine Invo- 
lution (220), deren Centraipunkt der Mittelpunkt 0 des Kegel- 
schnittes ist. Hat diese Involution zwei Doppelelemente B, 
Bj, so gehören diese Punkte der Curve an, die folglich eine 
Ellipse ist. Hat die Involution keine Doppelpunkte, so ist 
der Kegelschnitt eine Hyperbel (212); man kann dann zwei 
Punkte B und B^ finden, die in der Involution conjugirt und 
folglich in Bezug auf den Kegelschnitt reciprok sind und in 
deren Mitte 0 liegt (96). Im einen wie im andern Fall ver- 
steht man unter der Länge des A A^ zugeordneten Durch- 
messers das Segment B B^ (218, 223). 



Fig. 188 




276 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Für die Ellipse hat man (223) 

0 P . 0 P' = Coiist. = 0 B = OB; ~, 
für die Hyperbel 

0 P . 0 P' = Const. 0 B . 0 B,^ =: — 0B^= — 0 B^. 

IL Der vorhergehende Lehrsatz vermittelt die Auflösung 
der Aufgabe: 

Man soll punktweise den Kegelschnitt construiren, 
von welchem zwei conjugirte Durchmesser AAj undEB, 
der Grösse und der Lage nach gegeben sind. 

Im Fall der Ellipse (Fig. 188) gehören die vier Punkte A, 
Aj^ , B, B| der Curve an; im Fall der Hyperbel (Fig, 189) soll 
AA| derjenige Durchmesser sein, welcher den Kegelschnitt trifft. 

Fig. 189. 




Wir construiren über dem Durchmesser B B| mehrere Paare 
Gonjugirter Punkte P P' derjenigen Involution, deren Centraipunkt 
0 ist und für welche die Punkte B und B, im ersten Fall Doppel- 
punkte, im zweiten Fall conjugirte Punkte sind. Die Strahlen 
AP und A| P' (sowie die Strahlen A| P und AP') werden sich 
auf der Curve schneiden. 

III. Die parallel AP und A^P' gezogenen Geraden OX 
und OX' sind zwei conjugirte Durchmesser (215). Die con- 
jugirten Durchmesser bilden eine Involution (225), folgiicli 
bilden die Paare der X und X' analogen Punkte (in welchen 
die Durchmesser die Tangente in A schneiden) ebenfalls eine 
Involution, deren Centraipunkt A ist, weil OA und die AX 
parallele Gerade 0 B zwei conjugirte Durchmesser sind. Ist 
der Kegelschnitt eine Hyperbel, so hat die Involution der 
conjugirten Durchmesser zwei Doppelstrahlen, welche die 
Asymptoten sind; also sind die Punkte K und Kj, in welchen 



§ 23. Folgerungen und Constructionen, 



277 



AX die Asymptoten trifft, die Doppelpunkte der Involution 

X r. . . 

IV. Aus den congruenten Dreiecken OPA und A X 0 
folgt: AX = — OP und aus den congruenten Dreiecken 
OP'A^ und AX'O ebenso A X' = 0 P' ; man hat aber 



Oder aucli: 

Das Kechteck der Segmente, welche z>Yei conju- 
girte Durchmesser auf einer fixen Tangente, Yom 
Berührungspunkt aus gemessen, abschneiden, ist 



stets gleich dem Quadrat \-f OB / über dem halben 
Durchmesser, der jener Tangente parallel ist. 

V. Im Falle der Hyperbel sind die Punkte K und die 
Doppel elemente derjenigen Involution, in welcher A der Cen- 
traipunkt, X und X' zwei conjugirte Punkte sind; es ist also 



AX . AX' = AK = 0 B, folglich A K = 0 B. 

Damit ist bewiesen, dass die Figur OAKB ein Parallelo- 
gramm ist, d, h. 

Wenn man über zwei conjugirten Durchmes- 
sern der Hyperbel ein Parallelogramm construirt, 
so fallen die Diagonalen mit den Asymptoten zu- 
sammen *-). 

Um einzusehen, dass AB der zweiten Asymptote parallel 
ist, hat man nur den harmonischen Büschel zu betrachten 
(225), der von den beiden Asymptoten und den beiden con- 
jugirten Durchmessern OA und OB mit der Transversalen 
A B gebildet wird. Der Schnittpunkt der einen Asymptote 



*) In der Fig. 189 ist nur einer der Punkte K, bezeichnet. 

"■"■') Um sicli die Zeichen zu erklären, hat man nur zu beachten, dass 
im Falle der Ellipse OP und 0 P' die gleiche Richtung, AX und A X' 
aber entgegengesetzte Richtung haben 5 im Falle der Hyperbel sind OP 
und 0 P' entgegengesetzt, AX und A X' gleich gerichtet. 

"■2) Apollonius, loc, cit. , lib. II , S. 1. 



0 P . 0 P' = i: 0 B (96), also A X . A X' 



= -X 0 B . 




278 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



und der Transversalen ist der Mittelpunkt von A B : der 
Schnittpunkt der anderen wird also unendlich ferne liegen (52). 

YI. Der Schnittpunkt des Durchmessers 0 X und der 
Tangente im Punkte Aj sei X|. Da 0 X' und 0 zwei reci- 
proke Geraden sind, die durch einen Punkt der Berührungs- 
sehne AA^ der Tangenten AX und A^X^ gehen, so wird die 
Gerade X'X.^ (204) eine Tangente des Kegelschnittes sein. 

Der Berührungspunkt dieser Tangente ist M, der Schnitt- 
punkt der Geraden AP und A^P' (244). 

YII. Berücksichtigen wir auch noch, dass X'Xj eine Dia- 
gonale des Parallelogramms ist, welches von den Tangenten 
in A und A^ und den durch P und P' gezogenen Parallelen 
zu AA^ gebildet wird, so kommen wir auf folgende Art zu 
demselben Resultate. Die Punkte eines Durchmessers haben 
Parallele zu dem conjugirten Durchmesser zu Polaren (212); 
zieht man also durch die reciproken Punkte P und P' Paral- 
lele zu AAj, so wird die erste die Polare von P', die zweite 
die Polare von P sein; also sind diese Parallelen reciprok. 
Wenden wir jetzt den Lehrsatz von Nr. 204 auf diese reci- 
proken Geraden und die beiden Tangenten in A und an, 
so erhalten wir folgenden Satz: 

Sind zwei Gegenseiten eines Parallelogramms 
Tangenten an einen Kegelschnitt, die beiden an- 
dern Seiten aber reciproke Geraden, die dem Durch- 
messer, welcher den beiden Tangenten zugeordnet 
ist, parallel laufen, so sind die Diagonalen eben- 
falls Tangenten an den Kegelschnitt. 

VlIL So erhält man folgende Auflösung der Aufgabe: 
Vermittelst Tangenten den Kegelschnitt zu construi- 
ren, von welchem zwei conjugirte Durchmesser A A| 
und BB^ der Grösse und Richtung nach gegeben sind. 

Setzen Avir in dem Fall, wo diese Gurve eine Hyperbel ist, 
voraus, es sei BB^ derjenige Durchmesser, welcher nicht von der 
Curve geschnitten wird, bestimmen auf dieser Geraden ein Paar 
conjugirte Punkte P und P' in derjenigen Involution, welche den 
Mittelpunkt 0 der Gurve als Gentraipunkt und die Punkte B und 



§ 23, Folgerungen und Constructionen. 



279 



B| entweder als Doppelpunkte oder als conjugirte Punkte hat, je 
nachdem es sich darum handelt, eine Ellipse oder eine Hyperbel 
zu zeichnen; ziehen wir hierauf durch A und Aj^ Parallele zu 
BB| und durch P und P' Parallele zu AA, ; die Diagonalen des 
so erhaltenen Parallelogramms werden Tangenten an den gesuch- 
ten Kegelschnitt sein. 

IX. Die Segmente A X und A^ X^ sind gleich und ent- 
gegengesetzt; wir haben aber gesehen, dass 



AX.AX'=:q=OB, also A X' . A,j X.^ ~h 0 B 



Das Rechteck der Segmente, welche eine Yer- 
änderliche Tangente (X' Xj) auf zwei festen paralle- 
len Tangenten, von ihrem Berührungspunkt aus ge- 
messen, abschneidet, ist also gleich dem Quadrat 



OB j über dem halben Durchmesser, der den 
festen Tangenten parallel ist"'^^')- 

X. Da die Gerade 0 B den Streifen zwischen A X und 
A^X^ halbirt, so sind die Segmente, w^elche AM und Aj M 
beziehungsweise auf X^ und A X (von A^ und A aus ge- 
messen) abschneiden, doppelt so gross als OP und OP'; nach 
dem Satze I dieser X^ummer haben wir aber 



Folglich : 

Die von den Endpunkten eines gegebenen Durch- 
messers nach einem beliebigen Punkte des Kegel- 
schnittes gezogenen Geraden bestimmen auf den 
Tangenten, welche dem Durchmesser zugeordnet 
sind, zwei (von den Berührungspunkten aus gemessene) 
Segmente, deren Product constant ist '''^). 

XI. Da der Punkt X (216) der Schnittpunkt der Tan- 
gente in A und der X' X^ parallelen Tangente ist, so kann 
der Satz IV auch so ausgedrückt werden: 



oder: 




0 P . 0 P' = const. 



-"-) Siehe Nr. 123. 

■""1) Apoll onius, loc. cit., lib. III, 8. 53, 



280 Elemente der projectivisclien Geometrie. 

Das Rechteck der Segmente (A X, AX'), welche 
zwei Y eränclerlich e parallele Tangenten auf einer 
festen Tangente bestimmen, ist stets gleich dem 

Quadrat (^Ijl 0 B ) über dem halben Durchmesser, 
der jener festen Tangente x}arallel ist. 

XII. Der Lehrsatz von Nr. 244 dient auch dazu, folgende 
Aufgabe zu lösen: 

Man gibt die beiden Endpunkte A und A| des Durchmessers 
eines Kegelschnittes, .einen dritten Punkt M und die Richtung 
des AA^ zugeordneten Durchmessers; man soll die Länge des 
zweiten Durchmessers bestimmen. 

Wir ziehen durch 0, die Mitte von AA^, den Durchmesser, 
dessen Richtung gegeben ist; er wird von AM und A| M in P 
und P' geschnitten; dann suchen wir die mittlere Proportionale 
OB zwischen OP und OP'; so wird OB die Hälfte der gesuch- 
ten Länge sein. 

XIII. Der Lehrsatz IV führt zu einer Construction der 
Paare conjugirter Durchmesser und insbesondere der Axen einer 

Fig. 'iyo. 




Ellipse, von welcher zwei halbe conjugirte Durchmesser 0 A und 
0 B der Grrösse und Richtung nach gegeben sind (Pig. 190). 

Wir ziehen durch A die Parallele zu 0 B; diese Gerade wird 
die Tangente in A sein und zwei beliebige conjugirte Durch- 
messer werden sie in zwei Punkten X und X' so schneiden, 
dass 

AX. AX' r= — 

Nehmen wir also auf der Normalen in A zwei Segmente AG 
und AD gleich OB, so wird jeder durch C und D gezogene 
Kreis diese Tangente in zwei Punkten X und X' mit der in obiger 



§ 23. Folgerungen und ConstructioBen. 



281 



Gleicliung aLisgesprochenen Eigenschaft also in zwei Punliten 
schneiden, die, mit dem Centrum 0 verbunden, die Richtungen 
zweier conjugirten Durchmesser geben werden. Lässt man den 
Kreis durch 0 gehen, so wird der Winkel X 0 X' ein rechter; 
also werden OX und 0 X' die Eichtungen der Axen sein *). 

245. Ziehen wir durch die Endpunkte A und A' (Fig. 191) 
von zwei conjugirten Halbmessern 0 A und 0 A' eines Kegel- 
schnittes in beliebiger Richtung zwei parallele Sehnen A B 
und A' B'. Um die Punkte B und B' zu construiren , hat man 
nur die Pole dieser Sehnen zu verbinden; man wird so den 
Durchmesser OX' erhalten, weicher ihre Mitten enthält. Die 



Gruppen von je vier Strahlen 0 (X, X', A, B) und 0 (X, X, 
A', B') sind harmonisch (52) und darum projectivisch, also 
bilden die Strahlenpaare 0 (X X' . A A' . B B') eine Involution 
(94): da nun aber die beiden Paare 0 (XX\ A A') die In- 
volution der conjugirten Durchmesser bestimmen (98, 225), 
so sind auch 0 B und 0 B' zwei conjugirte Durchmesser. 
Oder : 

Zieht man durch die Endpunkte A und A' zweier 
conjugirten Halbmesser zwei parallele Sehnen AB 
und A'B', so sind die Punkte B undB' die Endpunkte 
von zwei andern conjugirten Halbmessern. 

Zwei Durchmesser AA und B B bestimmen vier Sehnen 
AB, welche die Seiten eines Parallelogramms sind (194, 215). 
Die bezüglichen conjugirten Durchmesser A'A' und B'B' lie- 
fern ebenso ein anderes Parallelogramm, dessen Seiten den- 



'''■) Chasles, Apercu S. 45 und 36'2.; Sections coniques, Is'r. 205. 



Fig. 191. 




282 



Elemente dei' projectivisclien Geometrie. 



jenigen des ersten parallel sind, d. Ii. jede Sehne AB ist 
zwei Sehnen A'B' parallel, zwei anderen A'B' nicht parallel. 

1. Die Schnittpunkte von AB und den Geraden 0 A' 
und OB' mögen H und K sein; der Durchmesser OX', wel- 
cher A'B' halbirt, geht auch durch die Mitte von HK; die 
Geraden A B und Ii K haben also den gleichen Mittelpunkt 
und AH = KB, ebenso AK = HB. Die Dreiecke OAK 
und OBH sind also gleich"'), ebenso die Dreiecke AK B' 
und BHA' und folglich auch die Dreiecke 0 AB' und OA'B. 
Oder: 

Das über zwei Halbmessern (OA, OB') construirte 
Parallelogramm ist gleich dem Parallelogramm, das 
über den beiden beziehungsweise conjugirten Halb- 
messern construirt wird. 

Auf dieselbe Art beweist man auch die Gleichheit der 
Dreiecke 0 AB und OA'B'. 

Die Dreiecke A H A' und B K B' sind aus demselben 
Grunde gleich ; die Dreiecke 0 A H und 0 B K und folglich 
auch die Dreiecke OAA' und OBB' sind gleich: mit andern 
Worten : 

Das über zwei conjugirten Halbmessern con- 
struirte Parallelogramm hat einen constanten In- 
halt. 

IL Die Mittelpunkte der nicht parallelen Sehnen AB 
und A'B' sollen M und N sein. Da AB und A'B' die Bich- 
tungen von zwei conjugirten Durchmessern haben (215) und 
ON der der Sehne A'B' zugeordnete Durchmesser ist, so wdrd 
ON parallel AB sein; ebenso sind OM und A'B' parallel; 
die Winkel OMA und 0 N A' sind also gleich oder Supple- 
mente. Da ausserdem die Dreiecke 0 M A und 0 N A' als 
Hälften der gleich grossen 0 A B und 0 A' B' inhaltsgieich 
sind, so haben wir die Gleichung 

0 M . A M = + 0 N . N A' 



Baltzer, Planim., S. 61. 
■■•1) Das durch die gegenseitige Lage der Segmente 0 M, K A' und 



§ 23. Folgervingen und Constriictionen. 



283 



Projiciren wir jetzt (Fig. 192) die Punkte A, M, B, A', 
N, B' aus dem unendlich fernen Punkte von 0 B auf die Ge- 
rade B'B'. Das Verhältniss der parallelen Segmente AM und 
ON, OM und NA' ist gleich demjenigen ihrer Projectionen, 
man wird also aus der obigen Gleichung schliessen, dass das 
Eechteck der Projectionen Yon OM und AM gleich dem 
Rechteck der Projectionen von 01s und NA' ist. Da die 



projicirenden Strahlen parallel 0 B sind, so sind die Projec- 
tionen von 0 M und M A beide gleich der Hälfte der Pro- 
jection von B A oder derjenigen von 0 A. Da N die Mitte 
von A'B' ist, so wird die Projection von ON die halbe Summe 
der Projectionen von 0 A' und 0 B' und die Projection von 
NA' die Hälfte der Projection von A'B' oder die halbe Dif- 
ferenz der Projectionen von OA' und OB' sein. Man hat also 

(Proj. 0 A)'^ = + Proj. (0 A' -f- 0 B') X Proj. (0 B' — 0 A') 



(Proj. 0 A')'^ ± (Proj. 0 A)^ = (Proj. 0 B')^. 

Würde man dieselben Punkte mit Hülfe von Parallelen 
zu OB' auf OB projiciren (Fig. 193), so erhielte man 
(Proj. 0 A)^ + (Proj. 0 A')^ = (Proj. 0 B)'^. 
Dam-it ist bewiesen: 

Werden zwei beliebige conjugirte Halbmesser 
mit Hülfe von Parallelen zu einem Durchmesser auf 



der Segmente ON, AM begründete doppelte Vorzeichen entspricht dem 
Fall der Ellipse (Fig. 191) und demjenigen der Hyperbel (Fig. 192). 



Fig. m. 




oder 



284 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



den conjugirteii Durchmesser projicirt, so ist (bei 
der Ellipse) die Summe oder (bei der Hyperbel) die 
Differenz der Quadrate der Projectionen stets gleich 
dem Quadrate dieses letzteren Halbmessers. 



Nach dem Pythagoräischen Lehrsatze ist die Summe 
der Quadrate der rechtwinkligen Projectionen einer Strecke 
auf zwei lothrechten Geraden gleich dem Quadrat der Strecke 
selbst''"); werden also zwei conjugirte Durchmesser rechtwinklig 
auf eine Axe des Kegelschnittes projicirt und die Quadrate 
der Projectionen eines jeden Durchmessers auf beide Axen 
addirt, so erhält man folgenden Lehrsatz: 

Die Summe (bei der Ellipse) oder die Differenz 
(bei der Hyperbel) der Quadrate von zwei b eliebigen 
conjugirten Halbmessern ist constant; sie ist stets 
gleich der Summe oder der Differenz der Quadrate 
der halben Axen '"^). 

246. Setzen wir voraus, dass die Seiten BC, CA, AB 
eines Dreiecks (Fig. 194) einen Kegelschnitt in den Punkten- 
paaren D D', E E', F F' durchschneiden. Sieht man dieses 
Dreieck so an, als sei es von den Transversalen DE und D'E' 
in den Punkten DD', E E', G G' geschnitten, so ergibt der 
Lehrsatz des Menelaus (104) folgende Gleichungen 



Fis. 193. 




B 



BD CE AG 



BD' CE' AG' 



CD ' A E ' B G 



CD' AE'*BG' 



'"■} Baltzer, Planim. , S. 63. 

■"■ij Apoll onius, loc. cit., lib. VII, S. 12, 13, 22, 25. 



§ 23. Folgerungen und Constructionen. 



285 



Das Viereck J) E E' D' ist dem Kegelschnitt eingesclirie- 
ben; die Transversale AB schneidet dessen Gegenseiten luid 
den Kegelschnitt in drei Punktenpaaren, die nach dem Lehr- 

Fig. '194. 




satz von Desargues (143) eine Involution bilden; wir haben 
also (100) die Grleichheit der Doppelverhältnisse 

(AB EG) = (B AF'G'), 

woraus 

(ABFG) = (ABG'F') (38) oder (ABFG) : (ABG'F) = 1 
in anderer Form 

AF.AF' AG. AG' 



B F . B F' ' ß G . B G' 



Multiplicirt man diese drei Gleichungen [a] und (/9) mit 
einander, so findet man 



(1) 



B D . B D' G E . C F/ AF.AF' 



CD. CD' AE.AE' BF. BF 

Diese Relation drückt einen berühmten Lehrsatz von 
Carnot aus *). 

I. Hat man, umgekehrt, auf den Seiten BC, CA, AB 
eines Dreiecks drei Punktenpaare DD', EE', FF' und befrie- 
digen die durch diese Punkte und die Eckpunkte bestimmten 
Seitenabschnitte die Gleichung (1), so gehören diese sechs 



""■) Geometrie de position, S. 437. 



286 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Punkte demselben Kegelschnitte an. Denn beschreiben wir 
den durch die fünf Punkte D, D', E, E', F bestimmten Kegel- 
schnitt, so möge F" dessen zweiter Schnittpunkt mit AB sein. 
Wir haben dann, vermöge des Carnot'schen Lehrsatzes, eine 
Gleichung, welche sich von der obigen Relation (1) nur darin 
unterscheidet, dass an der Stelle von F' der Punkt F" steht. 
Diese Gleichung gibt, verbunden mit (1) 

A F' : B F' =: A F" : B F" 

und hieraus 

(ABF'F'O = 1 oder (F"FBA) = 1, 

es müssen also (57) F' und F" coincidiren. 

II. Piückt der Punkt A ins Unendliche (Fig. 195), so 
nähern sich die Verhältnisse AF : AE, AF' : AE' der Ein- 
heit, folglich wird die Gleichung (1) in diesem Falle 

E D . B D ^ C E ■ C E^ 
C3TC"D'' BF.BF" 

Ziehen wir parallel BG eine Gerade, welche CEE' in 
Q und den Kegelschnitt in P und P' trifft; dann wird die 

Fig. lyö. 




letzte Gleichung , auf die Transversalen D D' und P P' ange- 
Avandt, geben 

QE . Qg C D . CD' _ 
C E . C E' ' Q P . Q P' "~ ' 

und, wenn man diese letzten zwei Gleichungen mit einander 
multiplicirt, erhält man: 

B D . B D' ^ Q P . Q P' 
BF . BF QE . QF;' 



§ 23. Folgerungen und Constructioiien. 



287 



mit andern Worten: 

Zieht man cUircli einen beliebigen Punkt (Q) in 
gegebenen Riclitungen zwei Transversalen durch 
einen Kegelschnitt, so stehen die Producte der Ab- 
schnitte (QP . QP' : QE . QE'), welche durch die Curve 
von dem Schnittpunkt der Transversalen aus auf 
diesen bestimmt werden, in einem constanten Ver-- 
hältniss 

in. Wird vorausgesetzt, es sei in der Gleichung (2) der 
Kegelschnitt eine Hyperbel und an der Stelle von B C eine 
Asymptote H K der Curve genommen , so wird das Yerhält- 
niss HD . HD' : KD . KD' gleich der Einheit; folglich 

HF. HF KE.KE', 

oder auch: 

Zieht man durch einen beliebigen Punkt H (oder H') 
einer Asymptote, parallel zu einer gegebenen Geraden, eine 
Transversale, welche die Hyperbel in zwei Punkten F und F' 
(oder D und D') schneidet, so ist das Rechteck der Abschnitte 
(oder FD . H'D') constant 

Trifft der Durchmesser, welcher der gegebenen Richtung 
H'D parallel geht, die Curve in zwei Punkten S und S', so 
wird, wenn 0 der Mittelpunkt ist, 

H'D . H'D' = 0 S . 0 S' = — 0 S\ 

Schneidet der Durchmesser OT, welcher der gegebenen 
Richtung HF parallel geht, die Curve nicht, so wird man 
eine Tangente ziehen können, die ihm parallel ist, das Qua- 
drat desjenigen Abschnittes dieser Parallelen, welcher zwischen 
der Asymptote und dem Berührungspunkte liegt, wird ver- 
möge des vorliegenden Lehrsatzes gleich dem Rechtecke 
HF. HF' sein; dieser Abschnitt aber ist (244) gleich der 
Hälfte OT des parallelen Durchmessers, also 

HF . HF' = OT^ oder: 



*) Apollonius, loc. cit., üb. III, S. 16—23. — Desargues, 
loc. cit, S. 202. — De la Hire, loc. cit, Buch V, S. 10, 12. 



288 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



Sclineidet eine Gerade die Hyperbel in F und 
F' (in D und D') und eine AsymiJtote in H (in IF), so 
ist das Product HF. HF (das Product H'D.H'D') gleich 
dem positiven oder negativen Quadrat des halben 
Durchmessers OT (OS), der jener Sekante parallel 
geht: man hat das Vorzeichen + oder^ — zu nehmen, 
je nachdem die Curve solche Tangenten hat, die der 
Sekante parallel sind oder nicht. 

IV. Schneidet die Sekante die andere Asymptote in L 
(in L'), so haben wir (151) 

HF' = FL oder H'D' = DL', 

folglich auch 

F H . F L = — 0 T^oder D H' . D L' = 0 S ; also: 
Schneidet eine durch einen Punkt F (D) einer 
Hyperbel gezogene G-erade ihre Asymptoten in H 
und L (in H' und L'), so ist das Product FH.FL 
(DH'.DU) gleich (X) dem negativ oder positiv ge- 
nommenen Quadrat des halben Durchmessers, der 
jener Sekante parallel ist ( — oder -f je nachdem die 
Curve solche Tangenten hat, die der Sekante parallel sind 
oder nicht). 

V. Man leitet daraus ein Verfahren ab, die Axen einer Hy- 
perbel zu construiren, von welcher 'Awei conjugirte 

Fig. 196. 




Halbmesser OF und OT der Grösse und Eichtung nach 
gegeben sind (Fig. 196). Wir construiren zuerst die Asymptoten. 
Ist OF derjenige Durchmesser, v^elcher die Curve schneidet, so 
ziehen wir zu diesem Zwecke durch F die Parallele zu 0 T ; das 



§ 23. Folgerungen und Constructionen. 



289 



wird die Tangente in F sein; dann nehmen wir auf dieser Geraden 
FP und TQ gleich OT, so werden OP und OQ die Asymptoten 
sein (244). Um jetzt die Richtungen der Axen OX und OY zu 
erhalten, hat man nur die Halbirungslinien der Asymptoten winkel 
oder die beiden rechtwinkligen, conjugirten Strahlen derjenigen 
Involution zu suchen, deren Doppelstrahlen OP und OQ sind 
(225, 226). 

Ziehen wir durch P die Parallele zu 0 X , sie schneide die 
Asymptoten in. B und B' ; nehmen wir auf 0 X den Abschnitt 
OS gleich der mittleren Proportionalen zwischen FB und FB', 
so wird OS die Länge der Halb-Axe in der Richtung von OX 
sein und diese wird die Gurve schneiden oder nicht schneiden, 
je nachdem die Abschnitte FB und FB' gleichen oder entgegen- 
gesetzten Sinn haben, Oonstruiren wir endlich das Parallelo- 
gramm, dessen eine Seite OS ist, von welchem eine zweite Seite 
die Richtung von 0 Y hat und dessen Diagonale mit einer Asym- 
ptote zusammenfällt^ die Seite OR wird die Länge der Halb-Axe 
in der Richtung von 0 Y sein (244). 

VI. Nehmen wir in der Ebene eines Dreiecks ABC zwei 
beliebige Punkte 0 und 0'; die Geraden OA, OB, 0 0 treffen 
beziehungsweise die Gegenseiten BO, OA, AB in den Punkten 
D, E und F; der Lehrsatz von Geva (104) gibt uns 

BD CE AF 
ÖD ■ AE * BF ~ ~~ 

Treffen auch die Geraden O'A, O'B, 0' C die Gegenseiten 
des Dreiecks in den Punkten D', E', F', so werden wir ebenso 
haben 

B D^ 0^' AF _ 

örr ' ÄE' ' BF — " 

Multipliciren wir diese beiden Gleichungen mit einander, so 
bekommen wir die Gleichung (1); also: 

Projicirt man aus zwei beliebigen Punkten die Eckpunkte 
eines Dreiecks auf die bezüglichen Gegenseiten, so erhält man 
sechs Punkte, die auf demselben Kegelschnitte liegen. 

So sind zum Beispiel die Mitten der drei Seiten eines Drei- 
ecks und die Fusspunkte der drei Höhen desselben sechs Punkte 
eines Kegelschnittes *). 

") Dieser Kegelschnitt ist ein Kreis. Siehe Steiner, ßd, XIX der 
Ännales de Mathematiques (Montpellier, 1828), S. 42. Ges. Werke, S. 195. 
L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 19 



290 



Elemente der prqjectivischen Geometrie. 



247. Aufgabe. Einen Kegelschnitt zu construiren^ 
der durcli drei gegebene Punkte B, C geht und in Be- 
zug auf welchen die conjugirten Punkte einer auf einer 
Geraden u gegebenen Involution reciproke Punkte sind 
(Pig. 197). 

Die Geraden AB und AC treffen u in D und E. Die diesen 
zugeordneten Punkte in der gegebenen Involution seien D' und 
E'. Der von D durch A und B harmonisch getrennte Punkt 



Fig. '197. 




sei D"; ebenso sei E'' der von E durch A und G harmonisch 
getrennte Punkt, Dann ist der Punkt D sowohl zu D' als zu 
D" reciprok, die Gerade D'D" wird also die Polare zu D sein; 
ebenso wird E'E" die Polare von E sein. 

Ziehen wir die Geraden B E und 0 D bis zu ihren bezüg- 
lichen Durchschnitten mit E' E" und D' D" in Eq und Dg; der 
erste dieser Punkte wird reciprok zu E, der zweite reoiprok zu 
D sein, Construirt man dann die Punkte B' und C so, dass die 
Gruppen BB'EEq und CC'DDq harmonisch sind, so werden 
sie der verlangten Curve angehören. 

In der Figur sind die Paare EP' und GG' diejenigen Punkte, 
welche auf ti die gegebene Involution reciproker Punkte bestimmen. 

248. Aufgabe. Den Kegelschnitt zu construiren, wel- 
cher durch vier gegeben e Punkte Q, R, S und T geht und 
eine gegebene Strecke MIST harmonisch theilt (Eig. 198). 

Die Gerade M IST schneidet die Paare der Gegenseiten des 
Vierecks QßST in A und A', B und B'. Trifft der gesuchte 
Kegelschnitt MN in zwei Punkten, so werden diese ein Paar der 
durch A A' und B B' bestimmten Involution bilden (143). Wenn 
folglich die Involution, deren Doppelpunkte M und N sind und 
die durch die Paare A A' und B B' bestimmte Involution ein ge- 



23. Folgerangen und Constructionen. 



291 



meinsames Paar P P' haben, so wird der gesuchte Kegelschnitt 
durch jeden der Punkte P und P' gehen (96, 164), 

Um diese Punkte zu construiren, beschreiben wir einen be- 
liebigen Kreis (164) und projiciren aus einem seiner Punkte 0 
die Punkte A, A', B, B', M, N in A^, Aj', Bj, B/, M,, auf 
der Peripherie. Ist V der Schnittpunkt der Geraden A^A/ und 
BjBj' und U der Schnittpunkt der Tangenten in und N| , so 



bestimmen die durch U und V gehenden Geraden auf der Peri- 
pherie und folglich (mit Hülfe der aus 0 gemachten Projectionen) 
auf der Geraden M iS[ die Paare der conjugirten Punkte in der 
einen und der anderen Involution. Trifft die Gerade U V den 
Kreis in zwei Punkten Pj P^', so hat man sie nur aus 0 zu pro- 
jiciren, um die gesuchten Punkte P und P' zu erhalten. 

Der Pol von U V in Bezug auf den Kreis sei W. Jede 
durch W gehende und den Kreis schneidende Gerade bestimmt 
auf diesem und folglich auch auf M N zwei durch P und P' har- 
monisch getrennte und darum in Bezug auf den gesuchten Kegel- 
schnitt reciproke Punkte. Schneidet also U V den Kreis nicht, 
d. h, kann man die Punkte P und P' nicht construiren, so wer- 
den wir durch W zwei Geraden ziehen, welche den Kreis schnei- 
den; wir projiciren dann aus dem Punkte 0 die Schnittpunkte 
auf die Gerade MN; so werden wir zwei Punktenpaare bekom- 
men, welche die Involution der in Bezug auf den Kegelschnitt 
reciproken Punkte bestimmen. Die Aufgabe wird so auf diejenige 
zurückgeführt, welche wir in der vorhergehenden Kummer be- 
handelt haben. 



Fig. '198. 




R 



292 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



249. Aufgabe. Den Kegelschnitt zu construiren, der 
durch vier gegebene Punkte Q, R, S und T und durch 
zwei conjugirte (nicht gegebene) Punkte einer auf einer 
Geraden u gegebenen Involution geht. 

Diese Aufgabe ist der vorigen analog; denn es handelt sich 
darum, dasjenige Paar conjugirter Punkte zu construiren, welches 
der gegebenen Involution und auch derjenigen Involution gemein- 
sam ist, weiche auf it durch die Paare der Gegenseiten des Vier- 
ecks QRST (143) bestimmt wird. Das gesuchte Paar ist wirk- 
lich vorhanden, wenn die gegebene Involution keine Doppelpunkte 
hat und die Punkte, welche es bilden, gehören dem gesuchten 
Kegelschnitte an. Hat die gegebene Involution zwei Doppelpunkte 
M und N, so fällt unsere Aufgabe ganz mit derjenigen von Nr. 248 
zusammen. 

Diese sowie die zwei vorhergehenden Aufgaben lassen offen- 
bar nur eine Lösung zu. 

250. Betrachten wir eine Hyperbel mit rechtwinkligen 
Asymptoten (Fig. 199). Da die Asymptoten allgemein zwei be- 
liebige conjugirte Durchmesser harmonisch trennen (225), so 
werden hier die Winkel der conjugirten Durchmesser durch 
die Asymptoten halbirt (53); zwei conjugirte Halbmesser sind 



aber die Seiten eines Parallelogramms, dessen Diagonalen 
die Richtung der Asymptoten haben (244); dieses Parallelo- 
gramm wird also hier ein Rhombus sein; mit andern Wor- 
ten: conjugirte Durchm esser sind gleich lang. Wegen 



Fig. '199. 




23. Folgerungen imd Constnictionen. 



293 



dieser Eigenschaft nennt man solclie Hyperbeln gleicli- 
seitig 'O- 

I. Da die von einem beliebigen Punkte M der Curve nacli 
den Endpunkten P und P' eines Durchmessers gezogenen Ge- 
raden die Richtungen von zwei conjugirten Durchmessern 
haben (215), so sind die Winkel, welche die Geraden PM 
und P'M mit jeder Asymptote bilden, gleich und entgegen- 
gesetzt. Bleiben die Punkte P und P' fest, während der 
Punkt M die Curve durchläuft, so beschreiben die Strahlen 
P M und P' M zwei entgegengesetzt-gleiche Büschel (80). 

IL Umgekehrt schneiden sich die entsprechenden Strah- 
len von zwei entgegengesetzt -gleichen Büscheln in Punkten, 
deren Ort eine gleichseitige Hyperbel ist. Dieser Ort ist ein 
Kegelschnitt, da die beiden Büschel projectivisch sind (78). 
Diese beiden Büschel haben je zwei rechtwinklige Strahlen, 
welche beziehungsweise den entsprechenden Strahlen des an- 
dern Büschels parallel sind (80); der Kegelschnitt hat also 
zwei unendlich ferne Punkte, welche auf zwei senkrechten 
Bichtungen liegen, folglich ist er eine gleichseitige Hyperbel. 
Die Mittelpunkte P und P' der beiden Büschel sind die End- 
punkte eines Durchmessers; denn die Tangente p in P ist 
derjenige Strahl, welcher der Geraden P'P, als Strahl p' des 
zweiten Büschels angesehen, entspricht und die Tangente q' 
in P' entspricht P P', als ein Strahl q des ersten Büschels an- 
gesehen (114), die Winkel pq und p' q' müssen aber gleich 
und entgegengesetzt sein; also müssen die Tangenten p und 
q' parallel sein, da p' und q zusammenfallen. 

ni. Die Eckpunkte eines Dreiecks ABC und sein 
Höhendurchschnitt D sind die Eckpunkte eines vollständigen 
Vierecks AB CD, in welchem jede Seite auf der gegenüber- 
liegenden senkrecht steht und dessen sechs Seiten auf der 
unendlich fernen Geraden drei Punktenpaare bestimmen, die 
aus einem beliebigen Centrum S durch drei Paare rechtwink- 
liger Geraden projicirt werden. Diese drei Paare gehören 



'"") Apolloniiis, loc. cit. , lib. VII, S. 21, — De la Hire, loc. 
cit,, Buch V, S. 13. 



294 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



also einer Involution an, in welcher jeder Strahl auf seinem 
conjugirten senkrecht steht (101 links, 95, 163). 

Dieser involutorische Büschel projicirt aber, nach dem 
Lehrsatze von Desargues (143), aus S die Involution der 
Punkte^ welche auf der unendlich fernen Geraden durch die 
Paare der Gegenseiten des Vierecks und durch die umschrie- 
benen Kegelschnitte (Hyperbeln) ^) bezeichnet werden. Also 
geben die Paare der conjugirten Strahlen der ersten Invo- 
lution die Eichtungen der Asymptoten dieser Kegelschnitte; 
oder : 

Alle Kegelschnitte, welche durch die Eckpunkte 
und den Höhendurchschnitt eines Dreiecks gehen, 
sind gleichseitige Hyperbeln. 

IV. Lässt man, umgekehrt, eine gleichseitige Hyperbel 
durch die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks gehen, so muss 
sie auch durch seinen Höhendurchschnitt D gehen. Steilen 
wir uns nämlich eine andere Hyperbel vor, die (125) durch 
die vier Punkte A, B, C, D und durch einen unendlich fernen 
Punkt der gegebenen Hyperbel bestimmt ist, so muss sie ver- 
möge des vorhergehenden Lehrsatzes gleichseitig- sein, folglich 
wird sie durch den zweiten unendlich fernen Punkt der ge- 
gebenen Curve gehen. So haben denn die beiden Hyperbeln 
fünf gemeinsame Punkte (A, B, C und zwei unendlich ferne 
Punkte), folglich fallen sie zusammen; Avas zu beweisen war. 
Oder: 

In jedem einer gleichseitigen Hyperbel einge- 
schriebenen Dreieck liegt der Höhendurchschnitt 
auf der Curve. 

V. Kommt der Punkt D dem Punkte A unendlich nahe, 
d. h. wird der Winkel BAC ein rechter, so haben wir: 

In jedem rechtwinkligen Dreieck EEG (Eig. 199), 
das einer gleichseitigen Hyperbel eingeschrieben 
wird, steht die Tangente im Scheitel E des rechten 
Winkels auf der Hypotenuse senkrecht. 

"'•■) Es gibt keine Ellipse und keine Parabel , die dem fragiiclien 
Viereck umschrieben ist (Nr. 170). 



§ 23o Folgerungen nncl Constrnctionen. 



295 



VI. Durch vier beliebig gegebene Punkte Q, R, S und 
T geht eine einzige gleichseitige Hyperbel (249). Der Höhen- 
durchschnitt eines jeden der Dreiecke QRS, EST, STQ 
und Q R T gehört der Curve an 

251. Nehmen wir an, ein Kegelschnitt, ein Punkt S und 
seine Polare s seien gegeben. Eine durch S gehende Grerade treffe 
den Kegelschnitt in A und A'. Will man die coUineare Pigur 
des gegebenen Kegelschnittes construiren (19), indem man S als 
Centrum, s als Axe der CoUineation und A' als entsprechenden 
Punkt von A nimmt, so wird jeder andere Punkt B', der einem 
Punkte B des Kegelschnitts entspricht, auch auf demselben Kegel- 
schnitte liegen. Denn trifft A B die Axe s in P, so ist der Schnitt- 
punkt B' von SB und A'P ebenfalls ein Punkt der Gurve (186). 
Die collineare Curve des gegebenen Kegelschnittes wird also der 
Kegelschnitt selbst sein. Zwei ents]3rechende Punkte (oder Ge- 
raden) sind durch S und s harmonisch getrennt '"^). 



Der unendlich fernen Geraden wird also die Gerade j ent- 
sprechen, die parallel s und von S und s gleich weit entfernt ist; 



■") Lehrsätze von Brianchon und Poncelet, ausgesprochen in 
einer Arbeit in Band XI der Annales de Matliematiques (Montpellier, 
1821) und wiederholt in Bd. I, S. 504 der Applications d'Analyse et de 
Geometrie von Poncelet (Paris, 1864). 

""'0 Man nennt diese Eigenschaft die harmonische CoUineation. Siehe 
Bellavitis, Saggio di Geometria derivata (Bd. VI der Nuovi Saggi der 
Akademie von Padua, 1838) § 50. 



Fig. 200. 





296 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



die SchnittpuBkte von j "und dem Kegelschnitt werden den un- 
endlicli fernen Punkten desselben Kegelschnittes entsprechen. 

Man zieht daraus ein sehr einfaches Verfahren, um zu er- 
kennen, ob ein gegebener Bo gen eines Kegelschnittes, so 
klein er auch sein mag, einer Ellipse, einer Parabel oder 
einer Hyperbel angehöre. Wir ziehen eine Sehne s des Bogens 
und construiren ihren Pol S; dann ziehen wir die Gerade j parallel 
s und gleich weit von S und s entfernt. Schneidet j den Bogen 
nicht, so gehört er einer Ellipse an (Eig. 200 a); berührt j den 
Bogen in einem Punkte J, so gehört er einer Parabel an, von 
welcher 8 J ein Durchmesser sein wird (Fig. 200 b) ; schneidet 
endlich j den Bogen in zwei Punkten J.| und J2 (Fig. 200 c), so 
ist die Curve eine Hj^perbel, deren Asymptoten S J] und S J2 
parallel sind *), 

252. Aufgabe. Die Lage (nicht aber die G-rösse) 
zweier conjugirten Durchmesser und eine Tangente mit 
ihrem Berührungspunkt sind gegeben; man soll die 
Curve construiren (Fig. 201). 

Wir nehmen an, die Tangente treffe in P und Q die gege- 
benen Durchmesser, deren Schnittpunkt 0 ist. Projiciren wir 
mit Hülfe einer Parallelen zu 0 Q den Berührungspunkt M nach 
P' auf 0 P ; ebenso mit Hülfe einer Parallelen zu 0 P nach Q' 



auf 0 Q. Jeder Punkt von 0 P ist der Pol einer Parallelen zu 
0 Q; zudem sind P und M reciproke Punkte, denn die Polare 
von M, das ist die Tangente selbst, geht durch P; also ist MP' 
die Polare von P; folglich sind auch P und P' reciproke Punkte. 

Wählen wir jetzt die Punkte A und A' so, dass 0 A — OA' 
gleich der mittleren Proportionalen zwischen 0 P und 0 P' ist, 
so wird A A' die Länge des Durchmessers in der Richtung von 
0 P sein (218). Ebenso w^ird man die Länge B B' des andern 



'"■) Poncelet, loc. cit., Nr. 225 und 226, 



Fig. 201. 




§23. Folgerungen und Constructionen. 



■297 



Durclimessers finden , indem man OB — OB' gieicli der mittle- 
ren Proportionalen zwischen 0 Q und 0 Q' macht. 

Fallen die Punkte P und P' auf dieselbe Seite des Punktes 
O, so hat die Involution der reciproken Punkte zwei Doppel- 
punkte A und A' (98), d. h. der Durchmesser 0 P schneidet die 
Gurve. Liegt dagegen 0 zwischen P und P', so hat die Invo- 
lution keine Doppelpunkte und der Durchmesser schneidet die 
Gurve nicht. In diesem Palle sind A und A' zwei reciproke 
Punkte in gleichen Abständen von 0. Die Figur veranschaulicht 
zwei Fälle: den der Ellipse (a) und den der Hyperbel (b). 

253. Aufgabe. Ein Punkt M und zwei Paare conju- 
girter Durchmesser a und «/, b und b' sind der Lage 
nach gegeben; man soll den Kegelschnitt construiren. 

Erste Auflösung (Fig. 202), Wir ziehen durch M zu 
jedem Durchmesser eine parallele Sehne, deren Mitte auf den con- 



jugirten Durchmesser fallen wird. Die zweiten Endpunkte A, 
A', B, B' der vier so erhaltenen Sehnen werden vier Punkte des 
gesuchten Kegelschnittes sein. 

Zweite Auflösung (Fig. 203). Bezeichnen wir den Durch- 
messer MOM' mit G und construiren den conjugirten Strahl c' in 



der durch die Paare aa' und bb' bestimmten Involution, so wird 
c' der c zugeordnete Durchmesser sein (225). Durch M und M' 



Fig. W% 




Fig. 203. 




298 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



ziehen wir parallel zu a und a' die Geraden M P und M' P', 
welche c' in P und P' treffen und sich, in einem Punkte der 
Cu.rve schneiden (216). Die Punkte P und P' sind reciprok (244):^ 
nimmt man also auf c' zwei andere Punkte Q und Q', die sich 
in der durch das Paar PP' und den Gentraipunkt 0 bestimmten 
Involution entsprechen, so werden sich MQ und M' Q' in einem 
Punkte der Ourve schneiden. Machen wir dann auf c\ 0 N = 
0 N' — der mittleren Proportionalen zwischen 0 P und 0 P', so 
werden ISI imd W die Endpunkte des Durchmessers c' sein (218). 

Dritte Auflösung. Durch die Endpunkte M und M' des 
durch den gegebenen Punkt gehenden Durchmessers ziehen wir 
die Parallelen zu a u.nd a' ] sie werden sich in einem Punkte A 
der Curve schneiden ; durch dieselben Punkte ziehen wir die 
Parallelen zu h und h' ] sie werden sich in einem andern Punkte 
B derselben Curve schneiden (216). Verlängern Avir A 0 und 
B 0 bis zu A' und B', so dass 0 A' A 0 und 0 B' =: B 0 
wird, so werden A' und B' ebenfalls Punkte des gesu.chten Kegel- 
schnittes sein (210). 

254. Aufgabe. Den Kegelschnitt zu construiren, von 
welchem man die Lage von zwei Paaren conjugirter 
Durchmesser a a' und hh' und eine Tangente t kennt. 

Erste Auflösung. Wir ziehen die Tangente i' parallel t 
und gleich weit vom Centrum 0 , verbinden die Schnittpunkte 
von t und t' mit a und a' \ so erhalten wir zwei andere parallele 
Tangenten u und u' (216) ; man wird noch zwei weitere Tan- 
genten ?; und ü' erhalten, indem man die Schnittpunkte von t 
und V mit h und h' mit einander verbindet (Fig. 204). 

Zweite Auflösung. Die conjugirten Durchmesser a und 
a\ b und b' treffen t in den Punkten A und A', B und B'. Die 



Punktenpaare AA', B B' bestimmen eine Involution, deren Cen- 
traipunkt der Berührungspunkt von t ist (244). Die Aufgabe 
wird so auf eine schon gelöste zurückgeführt (252). Hat die In- 



Fig. 204, 




§ 23. FolgeruBgen und Constructionen, 



299 



volution Doppelpunkte, so wird man die As^-mptoten erhalten, 
indem man diese Punkte mit 0 verbindet. 

255. Aufgabe. D en Kegels chnitt zu construiren, von 
welchem' zwei conjugirte Durchmesser a und a (der Lage 
nach) und zwei Punkte M und N gegeben sind (Pig. 205). 

Auflösung. Die zweiten Endpunkte der durch die gege- 
benen Punkte M und N gehenden Durchmesser mögen M' und 

Fig. 205. 



Ts 




N' sein. Wir ziehen durch M und M' die Geraden M H und 
M'H parallel zu a und a ] ebenso durch N und W die Geraden 
NK und N'K parallel zu a und a' . Die Punkte H und K werden 
der zu construirenden Ourve angehören. 

Aufgabe, Den Kegelschnitt zu construiren, von wel- 
chem zwei conjugirte Durchmesser h und h' (der Lage 
nach) und zwei Tangenten m und n gegeben sind (Fig. 206). 

Auflösung. Wir ziehen die Tangenten m' parallel m und 
n' parallel w, in gleichen Entfernungen vom Mittelpunkt 0, ver- 

Fig. im. 




binden die Schnittpunkte von m und m' mit a und a' durch die 
Geraden t und i', ebenso die Schnittpunkte von n und n mit a 
und a' durch u und u' \ so sind diese vier Geraden / , t', u' 
Tangenten an den gesuchten Kegelschnitt (216). 

256. Aufgabe. Fünf Punkte eines Kegelschnittes 
sind gegeben; man soll zwei conjugirte Durchmesser 
construiren, die einen gegebenen Winkel bilden *). 



■'•) De la Hii^e, loc. cit. , II, 38. 



300 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



Suchen wir zuerst einen Durchmesser AA' des Kegelschnit- 
tes (213) j beschreiben dann über diesem Durchmesser ein Kreis- 
segment, das den gegebenen Winkel fasst und suchen die wei- 
teren Schnittpunkte dieses Kreises mit der Curve (176, II). Ist 
M einer dieser Punkte, so werden AM und A' M die Eichtun gen 
von zwei conjugirten Durchmessern haben. Der Winkel AMA' 
ist dem gegebenen Winkel gleich; zieht man also zwei Durch- 
messer parallel AM und A'M, so ist die Aufgabe gelöst. 

Ist das Kreissegment ein Halbkreis, so gibt diese Construc- 
tion die Axen. 

257. Aufgabe, Den Kegelschnitt zu construiren, in 
Bezug aufweichen ein Dreieck EEG ein Poldreieck und 
ein gegebener Punkt P der Pol einer gegebenen Ge- 
raden p ist *). 

Auflösung. Die Gerade p treffe F G in einem Punkt A; 
die Polare von A wird durch E den Pol von E G und durch Pj 
den Pol von p gehen; diese Gerade wird also EP sein. Ebenso 
werden EP und GP die Polaren der Punkte B und 0 sein, in 
welchen p von G E und E E geschnitten wird. A' sei der Schnitt- 
punkt von EG und EP; dann sind EG und A A' zwei Paare 
reciproker Punkte und wenn die Involution, w^elclie sie bestim- 
men, zwei Doppelpunkte L und Lj hat, so werden diese Punkte 
der verlangten Curve angehören (220). Dieselbe Operation kann 
auf den beiden andern Seiten des Dreiecks EEG wiederholt werden. 

Ist der Punkt P innerhalb des Dreiecks EEG, so liegen die 
Punkte A', ß', C auf den begrenzten Seiten EG, GE, EE*i) 
Die Gerade p kann zwei Seiten schneiden oder ganz ausserhalb 
des Dreiecks sein. Im ersten Ealle haben beide Involutionen der 
beiden geschnittenen Seiten ihre Doppelpunkte (98); so erhalten 
wir vier Punkte der gesuchten Curve und die Aufgabe wird auf 
jene zurückgeführt, einen Kegelschnitt zu zeichnen, der durch 
vier gegebene Punkte geht und in Bezug auf welchen zwei an- 
dere gegebene Punkte reciprok sind (248). Im zweiten Eall tren- 
nen sich die beiden Paare der reciproken Punkte auf jeder Seite 
des Dreiecks EEG und die Involutionen haben keine Doppel- 

'"'') Staudt, Geometrie der Lage, Nr. 237. 

Wir sagen hier, ein Punkt A' liege auf der Seite FG des Drei- 
ecks, wenn er zwischen F und G liegt, eine Gerade schneide eine Seite 
F G , wenn ihr Schnittpunkt mit F G zwischen F und G fällt. 



§ 23. Folgerungen und Constructionen. 



301 



punkte (98); in diesem Falle trifft der Kegelschnitt keine Seite 
des Poldreiecks; er existirt also nickt (195). 

Ist der Punkt P aiisserhalb des Dreiecks, so liegt nur einer 
der drei Punkte A', B', G' auf der entsprechenden Seite. Wer- 
den die beiden andern Seiten von p geschnitten, so hat keine 
Involution Doppelpunkte und der Kegelschnitt existirt nicht. 
Schneidet dagegen p die erste Seite oder ist die Gerado p ganz 
ausserhalb des Dreiecks, so gibt es wirklich einen Kegelschnitt, 
den man, wie oben, construiren kann. 

In allen Pällen, d. h. sei der Kegelschnitt reell oder nicht, ist 
das Poiarsj^stem vorhanden (238). Dasselbe ist durch das Pol- 
dreieok EPGr, den Punkt P und die Glerade p bestimmt. Die Auf- 
gabe, d.ieses System zu construiren, ist linear, während die Construc- 
tion der Pundamental-Ourve eine Aufgabe des zweiten Grades ist. 

258. Aufgabe, Ein Fünfeck ABGDE ist gegeben- 
man soll den Kegelschnitt zeichnen, in Bezug auf wel- 
chen jeder Eckpunkt der Pol der gegenüberliegenden 
Seite wird *). 

Auflösung. Der Schnittpunkt von AB und CD sei E. 
Gonstruirt man (257) den Kegelschnitt M., in Bezug auf welchen 
ADF ein Poldreieck und E der Pol von BC ist, so werden die 
Punkte B und C, in welchen BG von AF und DF geschnitten 
wird , die Pole der Geraden E D und E A sein , welche den Punkt 
E mit den Punkten D und A verbinden. Es wird also jeder 
Eckpunkt des Fünfecks der Pol der gegenüberliegenden Seite 
oder der Kegelschnitt I£ wird die verlangte Gurve sein. 

Gonstruirt man den Kegelschnitt C, welcher durch die fünf 
Eckpunkte geht und den Kegelschnitt C, welcher die fünf Seiten 
des Fünfecks berührt (116), so werden diese Kegelschnitte in 
Bezug auf Ä reciprok-polar sein (232). 

259. Aufgabe. Fünf Punkte A, B, G, D, E (von denen 
keine drei in derselben Geraden liegen) sind gegeben; 
man soll einen Punkt M der Art bestimmen, dass der Bü- 
schel M (A.B.G.D.E) zu einem gegebenen Büschel abcde 
proj ectivisch wird (Fig. 207). 

Ziehen wir durch D zwei Geraden D D' und D E' in der 
Weise, dass der Büschel D (A . B . G . D' . E') zu abcde pro- 

•"■J Staudt, loc. cit., Nr. 238, 258. 



302 



Elemente der projectivisclien Geometrie. 



jectivisch wird (66 reclits), construiren den Punkt E', in welchem 
D E' den durch die vier Pankte A , B , G , D und die Tangente 
DD' bestimmten Kegelschnitt trifft (128), bestimmen hierauf 
den Punkt M, in welchem derselbe Kegelschnitt EE' schneidet. 
Der gesuchte Punkt wird M sein. Da nämlich M, A, B, C, 
D, E' Punkte desselben Kegelschnittes sind, so ist die G-ruppe 

Fig. 207. 




M (A.B. CD. E') projectivisch zu der Gruppe D (A.B. CD'. E^, 
welche nach Oonstruction zu dem gegebenen Büschel ab c d e 
projectivisch ist; es geht aber ME' durch E, also ist die Auf- 
gabe gelöst. 

Die reciproke Aufgabe soll übungsweise gelöst werden. 

Diejenige Gerade m zu suchen, welche fünf gegebene Geraden 
a, c, d, e, von denen nicht drei in demselben Punkt zusammen- 
laufen, in fünf Punkten trifft, die eine Gruppe bilden^ welche 
zu einer ßeihe von fünf gegebenen Punkten A, B, C, D, E pro- 
jectivisch ist 

260. Aufgabe. Einen Kreisbogen AB in drei gleiche 
Theile zu theilen 

Auflösung. Nehmen wir auf der gegebenen Kreislinie 
(Eig. 208) von A aus einen beliebigen Bogen AN, dann von B 
aus in entgegengesetzter Richtung den zweimal so grossen BN'. 
Ziehen wir die Tangente BT, so sind die Winkel AON und 
T B N' gleich und entgegengesetzt. Verändern sich N und N' 
gleichzeitig, so beschreiben die Strahlen ON und BN' zwei ent- 
gegengesetzt gleiche Büschel; der Ort ihres Schnittpunktes M 
wird also eine gleichseitige Hyperbel sein (250), deren Asym- 
ptoten die Richtungen der Halbirungslinien SX und SY der von 



Staudt, loc. cit., Nr. 263. 
-1) Staudt, Beiträge Nr. 432. ~ 
Nr, 37. 



Chasles, Sections coniqiies 



% 23. Folgerungen und Constmctionen. 



303 



den Geraden A 0 und B T gebildeten Winkel haben ; denn diese 
Geraden sind entsprechende Strahlen (Lagen der beweglichen 
Strahlen 0 N und B N', für welche die Bogen A N und B IST' 
gleich Null sind). Der Mittelpunkt der Hyperbel ist die Mitte 
der Geraden 0 B , welche die Centren der Büschel verbindet. 



Nachdem man die Hyperbel mit Hülfe des Pascal'schen 
Satzes construirt hat, erhält man einen Punkt in welchem sie 
den gegebenen Bogen AB schneidet; zwei entsprechende Punkte 
N und N' fallen in diesem Punkte zusammen, folglich ist P der- 
jenige Punkt, welcher von dem Bogen AB einen Drittel AP 
abschneidet. 

Die Hyperbel trifft die Kreislinie noch in zwei andern Punk- 
ten E, und Q. Der Pu.nkt R ist der Theilpunkt desjenigen ßo- 
gens, welcher AB zum Halbkreis ergänzt. Der Punkt Q ist der 
Theilpunkt desjenigen Bogens, welcher AB zur ganzen Kreislinie 
ergänzt. 

261, Wir haben gesehen (149), dass wenn P', P", Q' und 
Q" (Fig. 209) vier gegebene Punkte einer geraden Linie sind und 
wir durch P' und P" irgend einen Kegelschnitt legen, die Be- 
rührungssehne einer von Q' und einer von Q'^ ausgehenden Tan- 
gente an den Kegelschnitt durch einen der Doppelpu.nkte M' und 
N' derjenigen Involution geht, welche durch die Paare P'P'^ und 
Q,' Q" bestimmt ist. Die beiden von Q' ausgehenden Tangenten 
combinirt mit den beiden von Q" ausgehenden geben vier Be- 
rührungssehnen, von denen je zwei durch M' und N' gehen. 



Fig. 208. 




304 



Elemente der projecti vischen Geometrie. 



Hieraus leitet man ein Verfahren ab, die Doppelpunkte der 
Involution P' P", Q' Q" zu oonstruiren oder (98) zwei Punkte M' 
und N' zu finden, welche zwei gegebene Strecken P'P" und Q'Q" 
harmonisch theilen. Beschreiben wir durch P' und P" einen 



Fig. 209. 




Kreis und ziehen daran aus Q' die Tangenten t' und aus Q," 
die Tangenten t" und u''\ Die Berührungssehne der Tangenten 
l' und und diejenige der Tangenten u' und u" treffen die Ge- 
rade P' P" in den beiden gesuchten Punkten und N'. 

Diese Construction wurde von Brianchon *) zur Lösung der 
beiden Aufgaben verwendet, welche wir in Nr. 171 behandelt 
haben. 

1, Einen Kegelschnitt zu construiren, von weichem 
drei Punkte Pj P', P" und zwei Tangenten q und q' ge- 
geben sind. 

Die gegebenen Tangenten treffen P P' in Q und Q' und P P" 
in ß und R'. Aus Q und Q' ziehen wir die Tangenten an den 
durch PP'P" gelegten Kreis; die Berührungssehnen werden PP' 
in zwei Punkten M und iST schneiden; ziehen wir ebenso die 
Tangenten durch ß und ß', so werden die Berührungs sehnen 
PP" in zwei anderen Punkten M' und N' schneiden. Dann wird 
jede der Geraden MN', NN', M'N, MM' die Tangenten q und 
q' in zwei Berührungspunkten dieser beiden Geraden und des um 
das Dreieck PP'P" beschriebenen Kegelschnittes treffen. 

Diese Construction unterscheidet sich von der in Nr. 171 
(links) gegebenen nur durch das Verfahren, die Doppelpunkte 
MN, M'N' zu finden. 

2. Einen Kegelschnitt zu construiren, von welchem 
zwei Punkte P' und P" und drei Tangenten r/', q" ge- 
geben sind. 



'"') Brianclion, loc. cit. , S. 47 und 51. 



§ 23. Folgerungen und Constnictionen., 



305 



Die drei gegebenen Tangenten treffen P' P" in drei Punkten 
Q, Q', Q" (Fig. 209). Ans den Punkten Q, Q', Q" ziehen wir 
die Tangenten an einen beliebigen durch P'P" gebenden Kreis; 
die Berührungssehnen der von ausgehenden Tangenten com- 
binirt mit den von Q ausgehenden treffen P'P" in zwei Punk- 
ten M und N und die Berührungssehnen der von Q" ausgehen- 
den Tangenten, combinirt mit den von Q' ausgehenden, bestimmen 
ebenso zwei Punkte M' und N'. 

Die Berührungssehne der Tangenten q und q" an den ge- 
suchten Kegelschnitt wird also durch M oder N und die Berüh- 
rungssehne der Tangenten q' und q" durch M' oder gehen. 
Die vier Oombinationen MM', M N', NM', NN' geben die vier 
Auflösungen der Aufgabe. 

Die Aufgabe ist also auf die folgende zurückgeführt; einen 
Kegelschnitt zu beschreiben, der drei gegebene Geraden g\ q\ 
in der Weise berührt , dass die Berührungssehnen der Tangenten 
q q'\ q' q" beziehungsweise durch zwei gegebene Punkte M und 
M' gehen. Bezeichnen wir mit Q Q' Q" das von den drei gege- 
benen Tangenten gebildete Dreieck und mit A, A', A" die zu 
bestimmenden Berührungspunkte (Pig. 210). Nach einer Folge- 
rung aus dem Lehrsatze von Desargues (152) wird die Seite 



(/ ^ Q'Q" durch den Berührungspunkt A und die Sehne A' A" 
harmonisch getheilt. Werden diese vier harmonischen Punkte 
aus A" auf M Q" projicirt, so folgt daraus, dass der zwischen 
q' und q" liegende Abschnitt EQ" (von MQ") durch M und die 
Gerade A'A" harmonisch getheilt wird. 

Ziehen wir also M Q" : diese Gerade wird q" in E. schnei- 
den; bestimmen wir den Punkt V, welcher mit M die Strecke 
RQ" harmonisch theilt. Zu diesem Zwecke ziehen wir durch M 
eine beliebige Gerade, welche q" und q' in S und T schneiden 
wird und verbinden den Punkt Q mit dem Schnittpunkt U der 
L. Cremona, Elem. d. project. Geometrie. 20 



Fig. 210. 



M 




306 



Elemente der projectivischen Geometrie, 



Greraden S Q" und TR; diese Linie wird E Q," in V treffen. 
Ziehen wir jetzt YM'; diese Gerade wird q' und q" in A' und 
A" treffen und M A" endlich wird Q' Q" in A schneiden. 

262. Lelirsatz. Werden zwei Winkel von unveränderlicher 
Grösse AOS und A 0' S so um ihre Scheitel gedreht, dass der 
Schnittpunkt S des einen Schenkelpaares auf einer festen Geraden 
II bleibt, so beschreibt der ScL littpunkt A der beiden andern 
Schenkel einen Kegelschnitt (Fig. 211). 



Der Beweis ergibt sich unmittelbar daraus, dass die von den 
beweglichen Strahlen OA und 0 S, 0 S und 0' S, 0' S und O'A 



erzeugten Büschel projectivisch sind (36, 82). Dieser Lehrsatz 
wurde von Newton unter dem Namen „Organische Beschreibung 
der Kegelschnitte" bekannt gemacht *). 

Der Studirende wird sich die Aufgabe stellen, aus diesem 
Lehrsatz ein Verfahren abzuleiten, einen Kegelschnitt zu be- 
schreiben, der durch fünf gegebene Punkte 0, 0', A, B, C geht; 
oder, wenn diese fünf Punkte gegeben sind, die Grösse der bei- 
den Winkel AOS und A 0' S und die Gerade u der Art zu be- 
stimmen, dass der erzeugte Kegelschnitt durch die fünf gege- 
benen Punkte geht. 

Er kann auch übungsweise die folgenden Eigenschaften be- 
weisen : 

Beschreibt man über der Geraden 0 0', welche die Scheitel 
der beiden gegebenen Winkel verbindet, ein Kreissegment, das 
einen W^inkel fasst, der gleich dem Unterschied von vier rechten 



Fig. 211. 




0' 



■) Loc, cit. , Buch I, Lern. XXI. 



§ 23. Folgerungen und Constructionen. 



307 



Winkeln und der Summe der gegebenen Winkel ist, so wird der 
Kegelschnitt eine Hyperbel, eine Ellipse oder eine Parabel sein, 
je nachdem die Gerade u den Kreis schneidet, oder nicht schneidet, 
oder ihn berührt. — Die Asymptoten der Hyperbel, die Axen 
der Parabel zu bestimmen. 

Wann ist der Kegelschnitt ein Kreis? Wann ist er eine 
gleichseitige Hyperbel? 

263. Lehrsatz. Verändert sich ein Dreieck der Art, dass 
sich seine Seiten um drei gegebene Punkte 0, 0' und S drehen 
(Fig. 212), während zwei Eckpunkte A, A' zwei feste Geraden 




u und u' durchlaufen, so ist der Ort des dritten Eckpunktes M 
ein Kegelschnitt, welcher durch die Punkte 0 und 0', durch den 
Punkt uu' und durch die Punkte B' und 0' geht, in welchen -u 
und u' beziehungsweise von 0' S und 0 8 geschnitten werden. 

Fig. m. 




264. Lehrsatz. (Der vorhergehende Lehrsatz ist ein beson- 
derer Tall des folgenden.) Verändert sich ein Polygon der Art. 
dass sich seine Seiten um eben so viele feste Punkte 0| , O2 
O3,... drehen (Fig. 213), während seine Eckpunkte, bis auf 
einen, die festen Geraden , , «g , . . . durchlaufen, so beschreibt 
der letzte Eckpunkt einen Kegelschnitt; der Schnittpunkt von je 



308 



Elemente der projectivisciien Geometrie. 



zwei niciit aufeinander folgenden Seiten hat ebenfalls einen Kegel- 
schnitt zum geometrischen Ort 

Man soll diesen Lehrsatz und seinen correlativen bewei- 
sen *^). 

265, Lehrsatz. Sind zwei Winkel einem Kegelschnitt um- 
schrieben, so sind die vier Berülirungspunkte ihrer Sclienkel und 
ihre Scheitel sechs Punkte eines Kegelschnittes. 

Man wird diesen Satz beweisen, indem man zeigt, dass die 
beiden Büschel, weiche die vier ersten Punkte aus den Scheiteln 
der beiden Winkel projiciren, projectivisch sind; zu diesem 
Zweck wird man beachten, dass die vier ersten Strahlen eine 
Gruppe bilden, welche zu der Gruppe ihrer Pole in Bezug auf 
den gegebenen Kegelschnitt projectivisch ist. 

266, Lehrsatz (correlativ zu dem Vorhergehenden). Sind 
zwei Winkel einem Kegelschnitt umschrieben, so sind die vier 
Schenkel und die beiden Berührungssehnen sechs Tangenten 
desselben Kegelschnittes 

Man hat nur zu beweisen , dass die beiden Sehnen die vier 
anderen Geraden in zwei projectivisciien Gruppen von Punkten 
schneiden; die erste Gruppe ist projectivisch zu derjenigen, welche 
von den Polaren in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt ge- 
bildet wird. 

267, Aufgaben. L Auf derselben Geraden sind drei Ab- 
schnitte AA', BB', CO' gegeben; man soll einen Punkt suchen, 
von v/elchem aus man sie alle drei unter gleichen Winkeln sehen 
kann (83). 

Wann können diese Winkel rechte sein? (Siehe Nr. 98, IL) 
II. Zwei aufeinander liegende, projectivische Punktreihen 
sind gegeben; man soll einen Punkt suchen, der von einem ge- 
gebenen Punkt auf der Geraden durch die beiden nicht gegebe- 
nen entsprechend gemeinschaftlichen Punkte harmonisch getrennt 



") Lehrsalz von Maclaurin und Braikenridge (Philos. Trans, of 
London, 1735). 

-1) Poncelel, loc. cit, Nr. 50'^. 

■''■'•^) Chasles, Sections coniques, Kr. 213, 214. 

"■■'3) Oha sieg, Geom. sup., Nr. 269. 




§ 23. Folgerungen und Constructiohen. 



309 



III. Zwei Punktenpaare einer Geraden sind gegeben: man 
soll auf dieser Geraden einen fünften Pnnkt der Art bestimmen, 
dass das Product seiner Abstände von den Punkten des ersten 
Paares zu dem Product seiner Abstände von den Punkten d.es 
zweiten Paares in einem gegebenen Verliältniss steht *). 

IV. Man soll durch einen gegebenen Punkt eine Transver- 
sale ziehen, welche aaf zwei gegebenen Geraden, von zwei ge- 
gebenen Punkten aus gemessen, zwei Abschnitte bilde, deren 
Verhältniss oder Product gegeben ist*^). 

268. Lehrsatz. Nimmt man auf jeder Diagonale eines voll- 
ständigen Vierseits zwei Punkte, die sie harmonisch theilen, und 
liegen drei dieser sechs Punkte (auf jeder Diagonale einer) in 
gerader Linie, so sind auch die drei andern auf einer Geraden. 

Zusatz. Die drei Mittelpunkte der Diagonalen eines voll- 
ständigen Vierseits liegen in einer Geraden. 

269. Lehrsatz. Ist ein Dreieck ABC einem Kreis einge- 
schrieben und fällt man von einem Punkt 0 des Umfanges auf 



die Seiten schiefe Geraden 0 A', OB', 0 0' unter gleichen Win- 
keln (von gleichem Sinne), so liegen die Pusspunkte A', B', 0' 
dieser Schiefen auf einer Geraden (Pig. 214), 

Wir ziehen durch 0 die Geraden 0 A", 0 B", 0 C" parallel 
zu BC, OA, AB; man wird leicht beweisen, dass die Winkel 
AOA", BOB", 000" dieselbe Halbirungslinie haben; also haben 

"-'■) Aufgabe de sectione determinata von Apollonius. Siehe Cha's- 
les, Geom, sup., Nr. 281 oder Diesterweg. 

'■•■!) Aufgaben de sectione rationis und de sectione spatii 
von Apollonius. Siehe Chasles, Geom. sup., Nr. 296 und 298 oder 
Diesterweg. 



Fig. 214. 




310 



Elemente der projectivischen Geometrie. 



ancli die Winkel A 0 A', BOB', CO C dieselbe Eigenschaft, 
folglich bilden die Schenkel dieser drei Winkel (106, II) Paare 
einer Involution und die Punkte A', B', 0' liegen (103) in einer 
Geraden *). 

270. Lehrsatz. Ist ein Dreieck einem Kreis umschrieben 
und fällt man aus seinen Eckpunkten auf eine Tangente schiefe 
Geraden, die aus dem Mittelpunkt unter gleichen (der Grösse und 
dem Sinne nach) Winkeln gesehen werden, so laufen die drei 
Geraden in einem Punkte zusammen *i). 

Der Beweis ist demjenigen des vorhergehenden Lehrsatzes 
analog. 

271. Es wird eine sehr nützliche Uebung sein, die Theorie 
von den Polen und Polaren auf die Auflösung der Aufgaben des 
ersten Lind zweiten Grades mit ausschliesslichem Gebrauch des 
Lineals anzuwenden, indem man einen festen Kreis und seinen 
Mittelpunkt als gegeben voraussetzt. Hier folgen einige Bei- 
spiele, die zu behandeln sind: 

L Durch einen Punkt P die Parallele zu einer gegebenen 
Geraden e zu ziehen. 

Man muss den Pol E von e iiYid die Polare p von P 
suchen; A sei der Schnittpimkt der Geraden p und OE; die 
Polare a von A wird die gesuchte Gerade sein. 

IL Durch einen gegebenen Punkt P die Senkrechte zu einer 
gegebenen Geraden e zu ziehen. 

Wir ziehen durch P die Parallele zu 0 E ; dies wird die ge- 
suchte Gerade sein. 

III. Eine gegebene Strecke A B in zwei gleiche Theile zu 
theilen. 

Die Polaren von A und B sollen a und b sein: c sei der 
Durchmesser, der durch ab geht; die Gerade o(, welche die 
Gruppe ab c d zu einer harmonischen macht , wird die Mitte von 
A B zum Pol haben. 

IV. Einen gegebenen Kreisbogen M N zu halbiren. 
Oonstruiren wir den Pol S der Sehne MN- der durch S 

gehende Durchmesser wird den gesuchten Mittelpunkt geben. 

""') Chasles, loc. cit. , Nr. 386. 
-"-1) Chasles, loc. cit. , Nr. 387. 

'"'2) Pole und Polaren in Bezug auf einen gegebenen Kreis. 



§ 23. Folgerungen und Constructionen. 



311. 



V. Einen gegebenen Winkel zu halbiren. Ziehen wir durcb. 
einen Punkt des Kreises Parallele zu den Schenkeln des gege- 
benen "Winkels und die Aufgabe ist auf die vorhergehende zu- 
rückgeführt. 

VI. Eine Strecke A C um eine Länge gleich G B zu ver- 
längern. 

Die Polaren von A und G sollen a und c sein; d sei der 
Durchmesser, welcher durch den Punkt ac geht und c sei der 
Strahl, welcher die Gruppe ah cd zu einer harmonischen macht; 
der Strahl c wird zum Pol den gesuchten Punkt 0 haben. 

VII. Den Kreis zu construiren, dessen Mittelpunkt in dem 
gegebenen Punkt U und dessen Eadius gleich einer gegebenen 
Geraden U A ist. 

Verlängern wir AU um eine Strecke gleich UB, errichten 
in A und B die Senkrechten auf A B und halbiren die rechten 
Winkel A und B; diese Halbirungslinien schneiden sich in G 
und D. Man hat also nur den Kegelschnitt zu construiren, wel- 
cher AB und CD zu conjugirten Durchmessern hat (244, I). 



Yerbesserungen. 



Seite -10, Zeile 2 y. u.: '188—191 statt 74-76; 

die i3erichtigten Citate aus diesem Werke beziehen sicli auf die fünfte Auflage des 

Tl. Bandes der »Elemente der Mathematik« von Baltzer; 
Seite '14, Zeile 9 v. ob,: »Yerscliwindungspunkt« streichen; 

„ '16, „ '1 Y, u.: 23 statt 41 ; 

„ 20, ,, 3 V. u.; '191 statt 79; 
23, „ 1 Y. u.: 192 statt 81; 

„ 48, „ 1 V. u.: 1877 statt 1866, II. Änflage: 

., 64, „ 3 V. u.: beifügen § 10; 

„ 65, „ 1 V. u.: „ § 12; 

„ 88, „ 1 Y, u.; „ § 16, II; 

„ 93, „ 4 Y. u.; „ § 23, II.